建筑力学5内力内力图

1、1建筑力学第五章内力与内力图第五章内力与内力图教师：邹定祺教师：邹定祺2内容：1、内力的求解方法2、内力图的绘制方法重点：1、用简易法计算内力用简易法计算内力2、利用微分关系绘制内力图的方法，尤其是尤其是平面弯曲梁的剪力图和弯矩图平面弯曲梁的剪力图和弯矩图35.1基本概念5.1.1内力的概念 由于外力作用而引起的物体由于外力作用而引起的物体内部相互作用内部相互作用力力的的改变量改变量，称为附加内力，简称内力。，称为附加内力，简称内力。5.1.2求内力的截面法 为了显示某一截面的内力，必须用一假想的截面截开物体，才能显示出作用在该截面上的内力。 截面上的内力一般有轴力（FN)、剪力（FQ)和弯矩

2、(M)。 1、切开； 2、代力； 3、平衡。 Fix=0 Fiy=0 mo(Fi)=04F1F2F3F4MnnF1F2nnFQMFN5截面法求内力的步骤：1）截开：欲求某一截面上的内力时，就沿着该截面假想地把构件分成两部分，任意留下一部分作为研究对象，弃去另一部分。2）替代：用作用在截面上的内力，代替弃去部分对保留部分的作用。3）平衡：根据保留部分的平衡条件，建立平衡方程，确定未知内力。65.2轴向拉压杆的内力与内力图*一般工程中的拉压杆都是直杆。*拉压杆横截面上的内力是一个分布力系，其合力（FN)的作用线与杆轴线重合,称为轴力。规定，FN箭头指向背离截面（拉力）时为正。反之取负（使截面受压）

3、。*轴力图，正值得轴力画在横轴线的上侧，负值得轴力画在下侧。 轴向拉压杆的内力称为轴力.其作用线与杆的轴线重合,用符号 表示 1、切开； 2、代力； 3、平衡。7FFNFNFFFN8例：9FAB113F22C2F4KN9KN3KN2KN4KN5KN2KNF2F5.3扭转杆件的内力与内力图5.3.1 扭转的概念 在外力作用下，杆件各横截面均绕杆轴线相对转动，杆轴线始终保持直线，这种变形形式称为扭转变形。105.3.2扭转杆件的内力与内力图* 扭矩是作用在垂直于杆件轴线的平面内的力偶。杆件任意两个横截面之间相对转过得角度，称为扭转角。11外力偶Me外力偶扭矩Mt*扭矩正负号的规定：用右手螺旋法则，

4、以右手的四指表示扭矩的转向，当姆指的指向与截面外法线方向一致时，扭矩为正好；反之，为负号12外力偶矩工程中一般不直接给出作用于轴上的外力偶矩，只给出传动轴的转速及其所传递的功率。它们之间的关系为： 式中： 为作用在轴上的外力偶矩；P为传动轴所传递的功率；n为传动轴的转速。 通常，输入力偶矩为主动力偶矩，其转向与轴的转向相同；输出力偶矩为阻力偶矩，其转向与轴的转向13 r/minkWmNn9549PMe145.4平面弯曲梁的内力与内力图155.4平面弯曲梁的内力与内力图5.4.1弯曲变形的概念 以轴线变弯为主要特征的变形形式称为弯曲变形或简称弯曲。以弯曲为主要变形的杆件称为梁。1.平面弯曲平面弯

5、曲 常见梁的截面形式梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲称为平面弯曲。称为平面弯曲。1617平面弯曲的特点平面弯曲的特点：*具有纵向对称面具有纵向对称面*外力都作用在此面内外力都作用在此面内*弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线2.梁的计算简图 （1） 梁身的简化：用梁的轴线。 （2） 荷载的简化：集中力当外力的作用范围与梁的尺寸相比很小时，可视为作用在一点上。力偶当作用在梁上的两个集中力大小相等、反向相反，作用线相邻很近时，可视为集中力偶。分布力连续作用在梁上的全长或部分长度内的荷载表示为分布荷载。（3）支座的简化：

6、固定铰支座、可动铰支座、固定端支座。181）固定铰支座19螺栓AFxAAAAAyFAAAFyxFAAAFAxFAy2）可动铰支座20AAFA垫 块.3）固定端支座21yFAAFxmAFAxFAymAA223.梁的类型1）简支梁2）外伸梁3）悬臂梁235.4.2梁弯曲时横截面上的内力剪力和弯矩1.剪力和弯矩的概念. m F Fiy=0:. A B FAy-FQ=0. a m FQ=FAy. L M=0:. FAy FBy FAya-M=0. m M M=FAya. A . a m FQ F. FAy M FQ. B. m L-a. FBy24*无论取哪一部分为研究对象，同一截面左右两面上的剪力和

7、弯矩不仅数值相同，而且符号也一致。*FQ和M的正负号规定：. FQ FQ. 左 + 右 左 右. mi左 mi右 . 左 M M 右 左 右. mi左 M M mi右 . + -25用截面上法计算指定截面剪力和弯矩的步骤：1) 计算支座反力。2）用假想的截面在求内力处将梁截成两部分，取其一（力较少的）部分为研究对象。3）画出研究对象的受力图，截面上的剪力和弯矩一般都先假设为正。4）建立平衡方程，求内力。见例题【例5-5】如图(a)所示外伸梁，已知 q=4kN/m,F=6kN,求1-1截面上的剪力和弯矩。【解】（1）求支反力 如图(b)，设A、B处支反力为FAy、FBy，由平衡方程式MA=0 F

8、By 6-(q6)3-F7=0得 FBy=19kN ()MB=0 -FAy6+(q6)3-F1=0得 FAy=11kN ()校核 Fix=FAy+FBy-q6-F=11+19-46-6=0表明支反力计算正确。26A112m6m1mqFBAFAyFBy112m6m1mBFq（2）计算1-1截面的内力。将梁沿1-1截面截开，选左端为研究对象。截面上的弯矩和剪力按正方向假设， 如图（c）。列平衡方程F=0 ：FAy-q2 - FQ1=0得 FQ1=FAy-q2=11- 42=3kNM1-1=0: -FAy2+(q2)1+M1=0得 M1=FAy2-(q2)1 =112-421=14kN.mFQ1、M

9、1都为正号，表示FQ1、M1的真实方向与图(c)中所示的方向相同，即弯矩和剪力都是正的。27M1FQ1FAyA112mM1FQ1qF3m1m11FBy【例5-6】图(a)所示悬臂梁，q=3kN/m,F=10kN。求1-1截面上的剪力和弯矩。【解】对悬臂梁可不求支座反力，直接选右段为研究对象，截面上的剪力弯矩均按正方向假设，如图(b)所示。列平衡方程Fiy=0: FQ1-F-q 4=0 FQ1=F+q 4=10+3 4=22kNM1-1=0: -F 4 - q42 M1=0 M1=-F 4 - q42=-104 -342= -64kN.mFQ1为正号，表示FQ1的真实方向与图(b)中所示相同；M

10、1为负号，表示M1的真实方向与图中所示方向相反。28AB112m4mFq11M1FQ1FB4mq292.简易法计算内力简易法计算内力* *计算剪力时，根据脱离体建立投影方程计算剪力时，根据脱离体建立投影方程F Fiyiy=0,=0, 经过移项后可得经过移项后可得 F FQ Q=F=Fiyiy左左 或或 F FQ Q=-F=-Fiyiy右右 。* *计算弯矩时，根据脱离体建立对截面形心计算弯矩时，根据脱离体建立对截面形心o o的力的力矩平衡方程矩平衡方程M=0M=0，经过移项后可得，经过移项后可得 M Mo o= M= Mo o(F(Fi i左左) ) 或或 M MO O= M= Mo o(F(

11、Fi i右右) )当力矩使脱离体产生下凸变形时，其值取正号当力矩使脱离体产生下凸变形时，其值取正号, ,反之，取负号。反之，取负号。 *剪力和弯矩都按正方向假设。剪力和弯矩都按正方向假设。【例5-7】图(a)所示外伸梁，q=3kN,用简易内力计算法求两1-1、2-2截面的剪力和弯矩。【解】 （1）求支反力MA=0:FBy 6 (q8)4=0 FBy=16kN ()MB=0: -FAy 6+ (q 8 )2=0 FAy=8kN ()校核 Fiy=FAy+FBy - q 8 =16+8 -38=0说明支反力计算正确。（2）计算1-1、2-2截面内力，30A1122B3m6m2mqq11A22B3m

12、6m2mFAyFBy2m取1-1截面左端部分为研究对象计算1-1截面上的剪力和弯矩。按照顺时钟转剪力为正，下凸弯矩为正的原则，可求得: FQ1=F左=FAy - q3=8-33=-1kN (逆转） M1=FAy3 - q31.5=83 -331.5 =10.5kN.m （向下凸）同理，取2-2左面部分为研究对象计算2-2截面上的剪力和弯矩： FQ2=FAy - q6=8 - 36=-10kN （逆转）M2=FAy6 - q63=86 - 363=-6kN.m (上凸)计算结果相同。31AFAy=8kNq3m6m2mBFBy=16kN1122如果取截面右边为研究对象，结果一样：取1-1截面右端部

13、分为研究对象FQ1=-F右=-(FBy-q5)=-(16-3 5)=-kN (逆转）M1=FBy3 - q52.5=163 -352.5= 10.5kN.m(向下凸)取2-2左面部分为研究对象FQ2=-(FBy - q2)=-(16 - 32)=-10kN （逆转）M2=FBy0 - q21=0 - 321=-6kN.m (上凸)32AFAy=8kNq3m6m2mBFBy=16kN1122335.4.3 用内力方程法绘制剪力图和弯矩图1.内力方程 FQ=FQ(x) , M=M(x)2.剪力图和弯矩图正负号：. FQ. + -. x x. - +. M见例题【例5-8】画出简支梁受集中荷载时的剪

14、力和弯矩图。【解】（1）求支座反力MA=0: FBy l - Fa=0 FBy=Fa/l kN () MB=0: -FAy l +Fb=0 FAy=Fb/ l kN ()(2)列剪力和弯矩方程：AC段：FQ(x1)=FAy=Fb/l (0 x1a) M(x1)=FAyx1=Fbx/l (0 x1 a)34ABFabl(a)ABFAyFByablx1x2(b)CCFCB段：FQ(x2)=FAy-F=Fb/l F=-Fa/l (ax2l) M(x2)=FAyx2 F(x2- a)=Fbx2/l F(x2-a) =Fa(l-x2)/l (a x2 l) （3）画剪力图和弯矩图FQ图：FQ(x1)和F

15、Q(x2)均为常数，故，剪力图在AC段和CB段都是平行于x轴的直线。如图(c).M图：M(x1)和M(x2)都是一次函数，故，AC段和CB段的弯矩图都是斜直线。AC段：x1=0时 MA=0 , x1=a时 MC=Fab/lCB段：x2=a时 MC=Fab/l , x2=l时 MB=0.如图(d)。35Fb lFa lFQ图(kN)(c)Fab lM图(kN.m)(d) 由图(d)可知，在集中力作用处的截面上的弯矩值最大，其值为 Mmax=Fab/l 若集中力作用在梁的中点，如图(e)则：FQmax=F/2 Mmax=FL/4其剪力图和弯矩图分别如图(f)和(g).36Fl/2l/2lABCF/

16、2F/2FL/4FQ图(kN)M图(kN.m)(e)(f)(g)375.4.4用微分关系法绘制剪力图和弯矩图1.荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系. y q(x). q(x) FQ(x). . M(x) C M(x)+dM(x). . A B X. X dx dx FQ(x)+Dfq(x).由 Fiy=0: FQ(x)+q(x)dx-FQ(x)+dFQ(x)=0得 （5-8）剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的荷载集度。剪力图上某点的斜率等于梁上相应位置处的荷载集度。 ( )( )QdFxq xdx由 Mc=0: 高阶小量可以略去 -M(x)-FQ(x)dx-q(x)dx2/2+M(x)+d

17、M(x)=0得 (5-9)弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力。弯矩图上某点的斜率等于相应截面上的剪力。再对x求导得 （5-10）二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向，二阶导数的正负可用来判定曲线的凹凸向， 若若q(x)0,弯矩为上凸曲线，弯矩为上凸曲线， 即弯矩图的凹凸方向与即弯矩图的凹凸方向与q(x)指向一致指向一致382、常见梁剪力图、弯矩图与荷载三者间的关系常见梁剪力图、弯矩图与荷载三者间的关系1）剪力图与荷载的关系剪力图与荷载的关系(1)在均布荷载作用的区段，当在均布荷载作用的区段，当x坐标自左向右取时，坐标自左向右取时， 若若q(x)方向向下，则方向向下，则FQ图为下斜直线；图为

18、下斜直线； 若若q(x)方向向上，方向向上，FQ图为上斜直线。图为上斜直线。(2)无荷载作用区段，即无荷载作用区段，即q(x)=0， FQ图为平行图为平行x轴的直线。轴的直线。(3)在集中力作用处，在集中力作用处，FQ图有突变，突变方向与外力图有突变，突变方向与外力一致，且突变的数值等于该集中力的大小。一致，且突变的数值等于该集中力的大小。(4)在集中力偶作用处，其左右截面的剪力在集中力偶作用处，其左右截面的剪力FQ图是连图是连续无变化。续无变化。392）弯矩图与荷载的关系弯矩图与荷载的关系40 在均布荷载作用的区段，在均布荷载作用的区段，M图为抛物线。图为抛物线。(2)当当q(x)朝下时，朝

19、下时，22( )( )0d M xq xdx当当q(x)朝上时，朝上时，22( )( )0d M xq xdxM图为向下凹。图为向下凹。M图为向上凸。图为向上凸。(3) 在集中力作用处，在集中力作用处，M图发生转折。如果集中力图发生转折。如果集中力向下，则向下，则M图向下转折；反之，则向上转折。图向下转折；反之，则向上转折。(4) 在集中力偶作用处，在集中力偶作用处，M图产生突变，顺时针图产生突变，顺时针方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之，方向的集中力偶使突变方向由上而下；反之，由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。由下向上。突变的数值等于该集中力偶矩的大小。3)弯矩图与剪力图的关系

20、弯矩图与剪力图的关系41(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面上的剪力。力。(2) 当当FQ图为斜直线时，对应梁段的图为斜直线时，对应梁段的M图为二次抛物图为二次抛物线。当线。当FQ图为平行于图为平行于x轴的直线时，轴的直线时，M图为斜直线。图为斜直线。(3) 剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩剪力等于零的截面上弯矩具有极值；反之，弯矩具有极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力具有极值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。有不同正、负号的截面，弯矩也具有极值。一般，内力图总的变化趋势（从左向右），与

21、荷载的一般，内力图总的变化趋势（从左向右），与荷载的指向（箭头）一致。指向（箭头）一致。42一段梁上一段梁上的外力情的外力情况况剪力图的特征剪力图的特征弯矩图的特征弯矩图的特征最大弯矩所在最大弯矩所在截面的可能位截面的可能位置置不同荷载下剪力图与弯矩图的特征不同荷载下剪力图与弯矩图的特征q0向下的均布向下的均布荷载荷载无荷载无荷载集中力集中力PC集中力偶集中力偶mC向下倾斜的向下倾斜的直线直线或或下凸的二次下凸的二次抛物线抛物线在在Q=0的截面的截面水平直线水平直线+一般斜直线一般斜直线或或在在C处有突变处有突变P在在C处有尖角处有尖角或或在剪力突变在剪力突变的截面的截面在在C处无变化处无变化

22、C在在C处有突变处有突变m在紧靠在紧靠C的某的某一侧截面一侧截面433.利用上述规律，可更简便的绘制剪力图和利用上述规律，可更简便的绘制剪力图和弯矩图，步骤如下：弯矩图，步骤如下：1 1）计算支座反力。）计算支座反力。2 2）确定几个控制截面：杆件两端、分布荷载）确定几个控制截面：杆件两端、分布荷载的起点和终点、支座处（对剪力图，则为的起点和终点、支座处（对剪力图，则为支座左右两边相邻截面）、集中荷载作用支座左右两边相邻截面）、集中荷载作用点（对剪力图，则为集中荷载作用点左右点（对剪力图，则为集中荷载作用点左右两边相邻截面）、集中力偶作用点（对弯两边相邻截面）、集中力偶作用点（对弯矩图，则为集

23、中力偶作用点左右两边相邻矩图，则为集中力偶作用点左右两边相邻截面）。截面）。443）利用简易计算法，分别计算各个控制截面利用简易计算法，分别计算各个控制截面的剪力值的剪力值F FQ Q和弯矩值和弯矩值M M，并分别标在相应的，并分别标在相应的剪力图和弯矩图上。剪力图和弯矩图上。4 4）按照前面所述剪力图和弯矩图的变化规律）按照前面所述剪力图和弯矩图的变化规律, ,将剪力图和弯矩图上各控制点用相应的线段连将剪力图和弯矩图上各控制点用相应的线段连线。线。例题45【例5-9】画出均布荷载作用下简支梁的剪力图和弯矩图。【解】（1）求支座反力MB=0: -FAy l +q l l/2=0 FAy=q l

24、/2 （ ）MA=0: FBy l - q l l/2=0 FBy=q l/2 （ ）（2）定控制点：A右、B左。（3）FQA右=+q l/2 , FQB左=-q l/2 如图(c)，连斜线。 MA=0, MB=0, 连向下凹的抛物线，如图(d)。ABqlqABFAyFBylql/2ql/2ql 2/8FQ图M图(a)(b)(c)(d)ABAB【例5-10】简支梁受一集中力偶，画剪力、弯矩图。【解】（1）求支座反力可得 FAy=Me/l () , FBy =-Me/l () （2）定控制点：A右、B左、C左、C右。（3）FQA右=Me/l ，FQB左= Me/l AB上无均布荷载，也无集中荷载，FQ图为水平线，如(c)图。MC左=Mea/l ，MC右=-Mb/l ，MA=MB=0 , AC和CB段M图均为向下斜的斜线，如图(d)。46ABMeabllABMeFAyFByabMe/lMea/lMb/lA