数学物理方程111(xmsunn2013)

1、数学物理方程与特殊函数 （东南大学数学系 王元明编）2013级工学院课程讲解教师：孙小妹 电子邮箱： 手机号码办公地址：逸夫楼B座402 第一第一章：一些典型方程和定解条件的推导章：一些典型方程和定解条件的推导u1.1 基本方程的建立基本方程的建立 u1.2 初值条件与边界条件初值条件与边界条件u1.3 定解问题的提出定解问题的提出参考书目参考书目 闫桂峰闫桂峰. 数学物理方法数学物理方法. 北京理工大学出版社北京理工大学出版社,2009。李元杰李元杰. 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数. 高等教育出版社高等教育出版社,2009。D. Bleecker,

2、G. Csordas，李俊杰李俊杰 译译，基础偏微分方程基础偏微分方程。课程内容课程内容 贝贝塞塞尔尔函函数数特特殊殊函函数数勒勒让让德德函函数数研究数学物理方程的建立、求解方法和解的物理意义的分研究数学物理方程的建立、求解方法和解的物理意义的分析析Green 方方程程的的导导出出和和定定解解问问题题分分离离变变量量法法数数学学物物理理方方程程行行波波法法基基本本解解法法积积分分变变换换法法函函数数法法1.1 基本方程的建立基本方程的建立通过几个不同的物理模型推导出数学物理方程中三种典通过几个不同的物理模型推导出数学物理方程中三种典型方程：型方程：波动方程、热传导方程、波动方程、热传导方程、L

3、aplace方程。方程。例1 弦的振动方程（弦的振动方程（一维波动方程一维波动方程）问题提出： 考察一根均匀柔软的长为L的细弦，平衡时沿ox轴绷紧，除受不随时间而变的张力作用与弦本身的重力外，不受外力影响。给定弦的一个初始位移和初始速度，弦作横向振动，确定弦上各点的运动规律。设弦在xu平面内振动，在某一时刻t，弦的瞬时状态如图1-1，此时x点弦的位移为u(x,t).考察原长为dx的一小段弦（x,x+dx）.问题分析：sgd)( dxxT M x+d dx图1-1假设条件：（1）横向振动：全部运动在一个平面上，且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动。（2）微小振动：12 xudxdxxuds 21（3

4、）弦柔软、均匀. 张力 沿切线方向,密度 为常数；)(xT 受力分析：垂直方向：22),(sinsinttxudsgdsTT水平方向：coscosTT（1.1）利用假设条件，可得1cos, 1cos（1）,),(tansinxtxu（2）xtdxxu),(tansindxds （3）可得dxttxugdxxtxuxtdxxuT22),(),(),(（1.2）又利用dxxtxuxtxuxtdxxu22),(),(),(可得TgttxuxtxuT2222),(),(省略，令张力较大时，弦振动速度变化很快，22tu比g大很多，所以可以把Ta 2得到一维波动方程：g22222),(),(xtxuatt

5、xu（1.3）注注1 1：如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密如果弦上还受到一个与振动方向相同的外力，且外力密度为度为F(x,t)，外力可以是压力、重力、阻力，外力可以是压力、重力、阻力，则则22( , )sinsinu x tFdsTTgdsdst 22222( , ),uuaf x ttx弦的弦的强迫振动强迫振动方程为方程为( , )( , )F x tf x t 其其中中称称为为自自由由项项. . 非非齐齐次次方方程程齐齐次次方方程程；,0,0 ff注注2 2：类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）类似的可导出二维波动方程（例如薄膜振动）或三维波动方程（声波在空气中传播）或

6、三维波动方程（声波在空气中传播）, ,它它们们的形的形式为式为),()(2tzyxfuuuauzzyyxxtt 2, ,ttxxyyuauufx y t 2021-12-16例例 2. 传输线方程传输线方程 待研究物理量: 电流强度 i (x,t),电压 v (x,t)xR xL xG xC iii vvv R 每一回路单位的串每一回路单位的串联电阻联电阻,L 每一回路单位的串每一回路单位的串联电感，联电感，C 每单位长度的分路每单位长度的分路电容，电容，G 每单位长度的分路每单位长度的分路电导，电导，xxx2021-12-16Kirchhoff 第一,二定律tixLixRvvvvxGtvxC

7、iii )()( 00RitiLxvGvtvCxi微分形式两端对两端对x微分微分两端对两端对t微分微分*C相减相减GRvtvGLRCtvLCxvGRitiGLRCtiLCxi )()(22222222 传输线方程2222222211xvLCtvxiLCti 高频传输，G=0, R=0高频传输线方程与一维波动方 程 类 似2021-12-16 如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从如果空间某物体内各点处的温度不同，则热量就从温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫温度较高点处到温度较低点处流动，这种现象叫热传导。热传导。 考虑物体考虑物体G 内的热传导问题。函数内的热传导问题。函数u(x

8、,y,z,t) 表表示物体示物体G 在位置在位置 M(x,y,z) 以及时刻以及时刻 t 的温度。通过的温度。通过对任意一个小的体积元对任意一个小的体积元V内的热平衡问题的研究，建内的热平衡问题的研究，建立方程。立方程。假设：假设：假定物体内部没有热源，物体假定物体内部没有热源，物体的热传导系数为常数，即是各向同性的热传导系数为常数，即是各向同性的，物体的密度以及比热是常数。的，物体的密度以及比热是常数。SVM S n 热场热场 例 5. 热传导方程2021-12-16SVM S n 热场热场傅立叶实验定律傅立叶实验定律: :物体在无穷小时段物体在无穷小时段d dt内沿法线方向内沿法线方向n流

9、过一个无穷小面积流过一个无穷小面积d dS的热量的热量d dQ与时间与时间d dt, ,面积面积d dS, ,物体温度沿物体温度沿曲面曲面d dS法线方向的方向导数成正法线方向的方向导数成正比比. .即即dSdtnukdQdSdtnuk)(负号的产生是由于热量的流向与温度梯度的正向方向相反2021-12-16从时刻从时刻 到时刻到时刻 经过曲面经过曲面S 流入流入区区域域V 的热量为的热量为1t2t211ttSuQkdS dtn 21txyztVkukukudVdtxyz 高斯公式高斯公式2021-12-16 210ttxyztVcukukukudVdtxyz 流入热量使物体内温度变化，在时间

10、间隔流入热量使物体内温度变化，在时间间隔 中物体中物体温度从温度从 变化到变化到 所需吸收热量为所需吸收热量为12 ,t t1( , , , )u x y z t2( , , ,)u x y z t 221, , , , ,dVQcu x y z tu x y z tV 比热比热密度密度2211ttttVVuucdt dVcdV dttt 由于所考察的物体内部没有热源由于所考察的物体内部没有热源, , 根据能量守恒定律根据能量守恒定律可得可得21,QQ 即即2021-12-16由于时间由于时间 , , 和区域和区域 V 都是任意选取的都是任意选取的, ,并且并且被积函数连续被积函数连续, ,

11、于是得于是得1t2t xyzuckukukutxyz ( (非均匀的各向同性体的热传导方程非均匀的各向同性体的热传导方程) )对于均匀的各向同性物体，对于均匀的各向同性物体， k为常数，记为常数，记2kac 则得齐次热传导方程则得齐次热传导方程: :2222222uuuuatxyz 三维热传导方程三维热传导方程2021-12-16若物体内部有热源若物体内部有热源 F(x,y,z,t), , 则热传导方程为则热传导方程为 2222222, , ,uuuuafx y z ttxyz其中其中 , , ,.Ffx y z tc 2021-12-16在上述热传导方程中在上述热传导方程中, , 描述空间坐

12、标的独立变量描述空间坐标的独立变量为为 , , 所以它们又称为三维热传导方程所以它们又称为三维热传导方程. . 当考当考察的物体是均匀细杆时察的物体是均匀细杆时, , 如果它的侧面绝热且在同如果它的侧面绝热且在同一截面上的温度分布相同一截面上的温度分布相同, , 则可以得到一维热传导则可以得到一维热传导方程方程 , ,x y z222uuatx 22222uuxyuat 类似类似, , 如果考虑一个薄片的热传导如果考虑一个薄片的热传导, , 并且薄片的并且薄片的侧面绝热侧面绝热, , 可以得到二维热传导方程可以得到二维热传导方程2021-12-16 当我们考察气体的扩散当我们考察气体的扩散,

13、,液体的渗透液体的渗透, , 半导体半导体材料中的杂质扩散等物理过程时材料中的杂质扩散等物理过程时, , 若用若用 表示所扩表示所扩散物质的浓度散物质的浓度, , 则浓度所满足的方程形式和热传导则浓度所满足的方程形式和热传导方程完全相同方程完全相同. . 所以热传导方程也叫所以热传导方程也叫扩散方程扩散方程. .u2021-12-16波动方程 声波、电磁波、杆的振动；热传导方程 物质扩散时的浓度变化规律, 长海峡中潮汐波的运动， 土壤力学中的渗透方程;Laplace方程 稳定的浓度分布, 静电场的 电位, 流体的势.总总 结：结：2021-12-16222220uuatx2220uuatx 2

14、2220uuxy 一维齐次波方程：一维齐次波方程：一维齐次热方程：一维齐次热方程：二维二维Laplace方程：方程：2021-12-16 描述某系统或某过程初始状况的条件称为。描述边界上的约束情况的条件称为 2021-12-16.0)(0)(齐次初始条件且xx)(),(00 xuxuttt )(),(xx 初始位移、初始速度分别为 ,称波动方程的初值条件波动方程的初值条件. .l 弦振动问题弦振动问题l 热传导方程热传导方程)(0 xut 称为热传导方程的初值条件热传导方程的初值条件. .一、初值问题2021-12-16 不同类型的方程，相应初值条件的个数不同。 初始条件给出的应是整个系统的初

15、始状态，而非 系统中个别点的初始状态。 泊松方程与laplace方程不提初值条件注注意意注注意意2021-12-16 例例. .长为 l 两端固定的弦，初始时刻将弦的中点拉起 hhut 0hulx 2/( )( )xu02llh lxxllhlx xlhut2l ),(220 ,20正确写法正确写法2021-12-161.2 1.2 初值条件与边界条件初值条件与边界条件二、边界条件l 弦振动问题0axu0),(tau（1）固定端，边界条件为或（2）自由端，边界条件为0axxuT即0axxu（3）弹性支承端，边界条件为axaxkuxuT或0axuxu2021-12-161.2 1.2 初值条件与

16、边界条件初值条件与边界条件（2）物体与周围介质处于绝热状态，则边界条件为0Snul 热传导问题),(tzyxf),(tzyxfuS（1）边界上的温度为则边界条件为，（3）物体内部与周围介质通过边界有热量交换，SSuuknuk)(11则边界条件为即SSuunu12021-12-16（I I）第一类边界条件）第一类边界条件1Suf *（IIII）第二类边界条件）第二类边界条件2Sufn （IIIIII）第三类边界条件）第三类边界条件3Suufn 从数学角度看，边值问题有三种类型：2021-12-16微分方程:含有自变量,未知函数以及未知函数的导数或微分的方程常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程

17、.偏微分方程: 未知函数为多元函数的微分方程 , , ,0(1)xyxxxyfx yu u uuu , ,0nndud uFx udxdx *2021-12-16例如例如xyxuuuy 221xyuu 0 xxyyuu都是偏微分方程都是偏微分方程, ,2021-12-16偏微分方程的阶偏微分方程的阶: : 方程中未知函数的偏导的最方程中未知函数的偏导的最高阶数高阶数是二阶偏微分方程是二阶偏微分方程是三阶偏微分方程是三阶偏微分方程. .0 xxyyuu 例例: :37xxyyyuxuuy 2021-12-16线性偏微分方程线性偏微分方程: : 对于未知函数及其所有偏导对于未知函数及其所有偏导数来

18、说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于数来说都是线性的，且方程中的系数都仅依赖于自变量（或者为常数）自变量（或者为常数）非线性偏微分方程非线性偏微分方程: :不是线性的偏微分方程不是线性的偏微分方程例例21xxyyyuxyuu 是二阶线性偏微分方程是二阶线性偏微分方程是非线性偏微分方程是非线性偏微分方程 221,0 xyxuuuuxu 2021-12-16 n个自变量的二阶线性偏微分方程个自变量的二阶线性偏微分方程, ,一般形式为一般形式为,11(2)ijinnijx xixi jia ub ufug 这里这里 和和 都是关于自变量都是关于自变量 的函数。的函数。如果如果 ，则称方程为，则称方

19、程为齐次齐次的；否则称为的；否则称为非齐次非齐次的。的。,ijia bfgix0g 本课程的主要研究对象：本课程的主要研究对象：2021-12-16若函数具有所需的各阶连续偏导数，且使得方程变为恒等式，则此函数为该方程的古典解。初值条件和边值调节都称为定解条件，与方程结合构成一个定解问题。只包含初值条件，没有边界条件的定解问题称为初值问题（Cauchy 问题）；没有初值条件只有边界条件的定解问题称为边值问题；既有初值条件又有边界条件的定解问题称为混合问题。2021-12-16 )(|)( )(|)0,( 0002xuxxutxuautttxxtt 弦振动的Cauchy问题 )( )(|)0,( 002xxutxuautxxt 2021-12-16 ), ,()(),( ),(0,),( 0)(02tzyxfunuzyxzyxutzyxuuuautzzyyxxt 热传导方程的混合问题热传导方程的混合问题波动方程的混合问题波动方程的混合问题 0, 0)0( )(),()0,0( 0002lxxx