材料力学-3轴向拉压变形

1、 1 1、杆的纵（轴）向总变形：、杆的纵（轴）向总变形： 3 3、平均线应变：、平均线应变：1LLLLL 2 2、线应变：单位长度的线变形。、线应变：单位长度的线变形。一、拉压杆的变形及应变一、拉压杆的变形及应变1LLL3 31 1 拉压杆的变形拉压杆的变形与叠加原理与叠加原理abcdxL4 4、x点处的纵向线应变：点处的纵向线应变：xxxdlim 06 6、x点处的横向线应变：点处的横向线应变：5 5、杆的横向变形：、杆的横向变形：accaacacacPP d ac bxxdL1二、拉压杆的胡克（弹性）定律二、拉压杆的胡克（弹性）定律FLLANF LFLLEAEA1 1、等内力拉压杆的弹性定

2、律、等内力拉压杆的弹性定律“EA”称为杆的抗拉压刚度。称为杆的抗拉压刚度。PP 1)()(1)d(ExAxNEdxx2 2、单向应力状态下的弹性定律、单向应力状态下的弹性定律 1:E即3 3、泊松比（或横向变形系数）、泊松比（或横向变形系数） = E: = 或或三、是谁首先提出弹性定律三、是谁首先提出弹性定律 弹性定律是材料力学等固体力学一个非常重要的基础。一般认为它是由英国科学家胡克(1635一1703)首先提出来的，所以通常叫做胡克定律。其实，在胡克之前1500年，我国早就有了关于力和变形成正比关系的记载。“”胡：请问， 弛其弦，以绳缓援之是什么意思? 郑：这是讲测量弓力时，先将弓的弦 松

3、开，另外用绳子松松地套住弓的两端，然后加重物，测量。 胡：我明白了。这样弓体就没有初始应力，处于自然状态。 东汉经学家郑玄(127200)对考工记弓人中“量其力，有三均”作了 这样的注释：“假令弓力胜三石，引之中三尺，弛其弦，以绳缓擐之，每加物一石，则张一尺。” (图) 郑：后来，到了唐代初期，贾公彦对我的注释又作了注疏，他说：郑又云假令弓力胜三石，引之 中三尺者，此即三石力弓也。必知弓力三石者，当弛其弦以绳缓擐之者，谓不张之，别以绳系两萧，乃加物一石张一尺、二石张二尺、三石张三尺。 其中”“两萧 就是指弓的两端。一条“胡：郑老先生讲“每加物一石，则张一尺”。和我讲的完全是同一个意思。您比我早

4、1500中就记录下这种正比关系，的确了不起，和推测一文中早就推崇过贵国的古代文化： 目前我们还只是刚刚走到这个知识领域的边缘，然而一旦对它有了充分的认识，就将会在我们面 前展现出一个迄今为止只被人们神话般地加以描述的知识王国”。1686年关于中国文字和语言的研究真是令人佩服之至我在L1L2L32PP332211321EAPlEAPlEAPlllll 332211EAPlEAPlEAPllP2211222EAPlEAPllP 3322112EAPlEAPlEAPllllPP例：例： 解解2： 四、多力杆的变形与叠加原理四、多力杆的变形与叠加原理 由此可见：两解相同，即几个载荷同时作用所产生的总效

5、果，由此可见：两解相同，即几个载荷同时作用所产生的总效果， 等于各载荷单独作用所产生的效果的总和。等于各载荷单独作用所产生的效果的总和。 力的叠加原理力的叠加原理(线代数方程线代数方程)适用范围：适用范围：(物理线性、几何线性、小变形物理线性、几何线性、小变形)。叠加原理：将复杂问题可化为许多简单问题叠加。叠加原理：将复杂问题可化为许多简单问题叠加。 例例1： 受拉空心圆杆内周长是变大还是变小，改变量多少？受拉空心圆杆内周长是变大还是变小，改变量多少？ PEdDPAEPE224EdDP224EdDPddsEdDPdsudd22022044解：解：设设ds弧长改变量为弧长改变量为du，则，则du

6、=ds例例2：杆件受力如图所示。杆件受力如图所示。（1）计算杆件各段的变形即全杆的总变形；）计算杆件各段的变形即全杆的总变形；（2）计算）计算B,C,D,E,F诸截面的相对于诸截面的相对于A截面的位移，并绘制截面的位移，并绘制 全杆各截面相对于全杆各截面相对于A截面的位移沿杆轴的变化规律图。截面的位移沿杆轴的变化规律图。4PABCDEF1.5EA1.5EA2EA2EAEAEAEAEA刚体刚体aaaaa5P2P解：解：C1、怎样画小变形放大图？变形图严格画法，图中弧线；求各杆的变形量Li ，如图；变形图近似画法，图中弧之切线。一、一、 小变形放大图与位移的求法。ABCL1L2P1L2LC3 32

7、 2 桁架的节点位移桁架的节点位移 2、写出图2中B点位移与两杆变形间的关系ABCL1L21L2LBuBvB1LuB解：变形图如图2， B点位移至B点，由图知：sinctg21LLvBF例例3：试定性画出图示结构中节点试定性画出图示结构中节点B的位移图。的位移图。BP12PN1N2B12BB2BL2060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTmkN55.113/PTMPa1511036.7655.119AT例例4 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。解

8、：方法1：小变形放大图法 1）求钢索内力：以ABCD为对象2) 钢索的应力和伸长分别为：800400400DCPAB60 60PABCDTTYAXAmm36. 1m17736.766 . 155.11EATLLCPAB60 60800400400DAB60 60DBD12CC3）变形图如左图 , C点的垂直位移为：260sin60sin 221DDBBLCmm79. 060sin236. 160sin2oL3 33 3 拉压与剪切应变能拉压与剪切应变能一一、应变能：应变能：杆件发生弹性变形，外力功转变为变形能贮存 于杆内，这种能成为应变能（Strain Energy）用“ ”表示。二、二、 拉

9、压杆的应变能计算：拉压杆的应变能计算： 不计能量损耗时，外力功等于应变能。NF (x)(EA dd ) N1VWF (x)2ddd 2NF(x)Vx2EAddN22NNLF LF(x)FLVx2EA22EA dVVVBFfAOd应变能密度应变能密度 ： 单位体积内的应变能。单位体积内的应变能。dxxxddN(x)N(x)xd)(xN三、拉压与剪切应变能密度三、拉压与剪切应变能密度dVdVdV 单元体单元体dxdydzdV 2.纯剪纯剪 dxdzdydVdxdydz22 222G 1.轴向拉压轴向拉压dF ddxdz dydVdxdydz222 222E dxdydzdydxdzkN55.113

10、/PT解：方法2：能量法： （外力功等于变形能） （1）求钢索内力：以ABD为对象：060sin6 . 12 . 18 . 060sinooATPTm例例5 设横梁ABCD为刚梁，横截面面积为 76.36mm 的钢索绕过无摩擦的定滑轮。设 P=20kN，试求刚索的应力和 C点的垂直位移。设刚索的 E =177GPa。800400400CPAB60 60PABCDTTYAXAEALTPC222mm79. 0 36.76177206 . 155.11 22PEALTCMPa1511036.7655.119AT（2) 钢索的应力为：（3) C点位移为：800400400CPAB60 60能量法能量法

11、：利用应变能的概念解决与结构物：利用应变能的概念解决与结构物或构件的弹性变形有关的问题，这种方法或构件的弹性变形有关的问题，这种方法称为能量法。称为能量法。例例6：已知各杆拉压刚度均为：已知各杆拉压刚度均为EA ，试求节点，试求节点B的垂直位移的垂直位移fB。CBAL312F45BCFN1N2N3N14545解：1.轴力分析(由节点B、C平衡) PN21(拉) PN2(压),PN 3(压) 2.应变能计算2222331122P L2 1N LN LN LV2EA2EA2EAEA 3.位移计算 外力功： BFfW2 由能量守恒： WV2BBF L2 12FL2 1Fff2EAEA4.对比：用几何

12、法求节点位移 例例7：精密仪器底板隔振器。钢杆、钢套视为刚体，：精密仪器底板隔振器。钢杆、钢套视为刚体， 橡皮切变模量橡皮切变模量G。求钢杆位移。求钢杆位移。 解：轴对称问题解：轴对称问题 1.应力分析应力分析 橡皮管中假想截取半径为橡皮管中假想截取半径为r的圆柱体，可假设剪应力均布的圆柱体，可假设剪应力均布 (剪应变相等剪应变相等) 020PrhFzrhP22.应变能计算22222P18GhVr2G2h2D 2h2D 22200d 200d 2P1Vrdrd dzdrd dz8 Ghr dDhGPlnln423.变形分析 FW22P lnD lndF24 hGF lnD lnd2 hG4.讨

13、论讨论 (1)如不采用能量法，用材料力学方法难以求解。如不采用能量法，用材料力学方法难以求解。 (2)解的近似性解的近似性 圆管上、下端不受力，如果假定以外壁受均布剪应力，圆管上、下端不受力，如果假定以外壁受均布剪应力， 将将 不符合剪应力互等定理。对于短而壁厚的橡皮垫管，误差不符合剪应力互等定理。对于短而壁厚的橡皮垫管，误差 可能较大。可能较大。 3 34 4 拉压超静定问题及其处理方法拉压超静定问题及其处理方法1、超静定问题、超静定问题：单凭静平衡方程不能确定出全部未知力 （外力、内力、应力）的问题。一、超静定问题及其处理方法一、超静定问题及其处理方法2、超静定的处理方法、超静定的处理方法

14、：平衡方程、变形协调方程、物理 方程相结合，进行求解。例例8 设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：L1=L2， L3 =L ；各杆面积为A1=A2=A， A3 ；各杆弹性模量为：E1=E2=E，E3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CPABD123解：、平衡方程:0sinsin21NNX0coscos321PNNNYPAN1N3N211111AELNL 33333AELNL几何方程变形协调方程：物理方程弹性定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得:cos31LLcos33331111AELNAELN333113333331121121cos2 ;

15、 cos2cosAEAEPAENAEAEPAENNCABD123A11L2L3L平衡方程；几何方程变形协调方程；物理方程弹性定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。3、超静定问题的方法步骤：、超静定问题的方法步骤：例例9：等截面直杆受力如图所示。试绘轴力图和各截面相对等截面直杆受力如图所示。试绘轴力图和各截面相对 固段固段A截面沿杆轴的相对位移变化规律图。截面沿杆轴的相对位移变化规律图。ABCDPPLLLRARDPPABCDP3P32P32P3+_ABBB AP3EAC AP3EAD A0P3P3例例1010木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢

16、和木材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。0421PNNY21LL2222211111LAELNAELNL几何方程物理方程及补充方程：解：平衡方程:PPy4N1N2PPy4N1N2 解平衡方程和补充方程，得:PNPN72. 0 ; 07. 021 11107. 0APN求结构的许可载荷： 方法1:角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得: : A1 1=3.086=3.086cm222272. 0APN kN104272. 0/1225072. 0/2222AP kN4 .70507. 0/1606 .30

17、807. 0/111AP mm8 . 0/111ELmm2 . 1/222EL所以在所以在1 1= =2 2 的前提下，角钢将先达到极限状态，的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。即角钢决定最大载荷。求结构的许可载荷： 07. 0 07. 0111ANPkN4 .70507. 06 .308160另外：若将钢的面积增大另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？倍，怎样？ 若将木的面积变为若将木的面积变为25mm，又又怎样？怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着结构的最大载荷永远由钢控制着。方法2:1LLBCDFLL2CD45CCC45FFN2FN1FByFBx例例11 如图所示，杆如图所示

18、，杆1，2的弹性模量均为的弹性模量均为E，横截面面积均为，横截面面积均为A, 梁梁BD为刚体，为刚体，F=50KN,t=160MPa， ,c=120MPa。 试确定各杆的横截面积。试确定各杆的横截面积。建立平衡方程建立平衡方程0 02 2L LF F2 2L LF FL Ls si in n4 45 5F F0 0, ,M MN N2 2N N1 1B B建立补充方程建立补充方程2121N11N11N22N22N2N1L2CC2 2 LL2 2 LF L2F LLEAF LF LLEAF4FEA EA即即： 根根据据胡胡克克定定律律：得得：0F22F22F2N1N截面设计截面设计N1059.4128F28F441NN2F24c2N225t1N1m1083. 3FAm1017. 7FA例例12 如图所示，已知各杆各截面的抗拉刚度均为EA，杆1，2 的长度均为L。试求各杆的轴力。 231CFC45L1L2L34545FN2FFN3FN1C建立平衡方程建立平衡方程0F45cosFF, 0F045sinFF, 0F3N2Ny3N1Nx建立补充方程建立补充方程2211CC CCCC,()202),)321N3N1N2N1N2N3 LLL 2FFFF(12 F2FFFF2(122(122(12