函数的微分25803实用教案

1、一、微分(wi fn)的定义1. 问题(wnt)的提出例1一个正方形薄片受热膨涨，边长由 改变为 时，薄片面积改变多少？x0 xx0 2)( x xx 0 xx 00 x0 xx x 解)1()2(x 的线性(一次)函数(hnsh),的高阶无穷小,很小时可忽略.x 2.5 函数的微分第1页/共25页第一页，共26页。再如,)1()2(一般地，如果函数y = f (x)的增量(zn lin)可以表示为则 时，可用 的线性部分 近似表示x0 x A x y. 2.5 函数(hnsh)的微分第2页/共25页第二页，共26页。定义(dngy)12. 微分(wi fn)的定义如果(rgu)则称函数可微,

2、记作微分，并称为函数2.5 函数的微分第3页/共25页第三页，共26页。定理(dngl)1证(1) 必要性3. 可微的充要条件即有2.5 函数(hnsh)的微分第4页/共25页第四页，共26页。(2) 充分性从而(cng r)且微分(wi fn)一定是可微可微在点在点函数函数0)(xxf定理1)(xf函函数数即有,0处可导处可导在点在点x),(0 xfA 且且0().dyfxx2.5 函数(hnsh)的微分第5页/共25页第五页，共26页。 称为(chn wi)函数的微分(wi fn),记作称为(chn wi)自变量的微分,记作注,)(的微分在任意点函数xxfy 导数又称为微商！;,0是等价无

3、穷小与时当ydyA2.5 函数的微分x的增量通常把自变量x 第6页/共25页第六页，共26页。例2解求函数 当 时的微分.yx3 xx2,0.02 2.5 函数(hnsh)的微分根据微分(wi fn)的定义，第7页/共25页第七页，共26页。几何(j h)意义二、微分的几何(j h)意义增量(zn lin)时;是曲线的纵坐标纵坐标对应的增量, xyO)(xfy T0 xMxx 0N Qy dy)( xo x 就是切线如果用切线来近似曲线，函数的改变量就是dy.2.5 函数的微分第8页/共25页第八页，共26页。三、微分的运算(yn sun)法则与公式微分(wi fn)求法1. 常数和基本初等函

4、数(hnsh)的微分公式计算函数的导数, 乘以自变量的微分.2.5 函数的微分第9页/共25页第九页，共26页。2. 函数(hnsh)和、差、积、商的微分法则dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( arc2.5 函数(hnsh)的微分第10页/共25页第十页，共26页。3. 复合(fh)函数的微分法则如果函数和ux ( ) yf u( ) 可导，则复合函数 的微分为yfx ( ) 或结论(jiln)(xfy dyfx d

5、x( ). 无论x 是自变量还是中间变量,函数的微分形式总是2.5 函数(hnsh)的微分第11页/共25页第十一页，共26页。例3求 的微分.yxcos 解法一：根据(gnj)微分的定义.法二：利用微分(wi fn)的形式不变性.xdydxxsin.2 设ux, 代入2.5 函数(hnsh)的微分第12页/共25页第十二页，共26页。例4解法一：根据(gnj)微分的定义法二：利用(lyng)微分形式不变性设 ，求微分.xyesin 在求复合函数(hnsh)微分过程中可以不写中间变量,直接利用微分形式不变性.2.5 函数的微分第13页/共25页第十三页，共26页。例5设xxyya2222,求d

6、ydx.解等式(dngsh)两边求微分，2.5 函数(hnsh)的微分第14页/共25页第十四页，共26页。4. 微分和导数(do sh)在经济学上的应用在经济学中， 为边际函数. fx( ) 弹性(tnxng)函数设生产x单位产品所花费的成本为 , 称成本函数的导数 为边际成本.f x( )fx( ) 它表示当产品每增加一个单位时，成本需增加 .fx( ) 表示(biosh)f (x)对x变化反应的强度或敏感度.2.5 函数的微分第15页/共25页第十五页，共26页。弹性函数也表示(biosh)函数的相对变化率.当x变化1%时，函数f (x)约改变xfxf x( )%.( ) 2.5 函数(

7、hnsh)的微分第16页/共25页第十六页，共26页。解边际函数是成本(chngbn)函数的导数，某厂生产(shngchn)产品的总成本P是产量Q的函数，例6求边际函数(hnsh)和弹性函数(hnsh).表示增加一件产品所增加的成本.2.5 函数的微分第17页/共25页第十七页，共26页。弹性(tnxng)函数为它表示(biosh)产量改变1%时，成本改变量的百分数.2.5 函数(hnsh)的微分第18页/共25页第十八页，共26页。四、微分(wi fn)在近似计算中的应用当 时，x0 2.5 函数(hnsh)的微分第19页/共25页第十九页，共26页。.,)()(00要很小要很小要容易算要容

8、易算与与xxfxf 例7解.)()()(000 xxfxfxxf 注2.5 函数(hnsh)的微分第20页/共25页第二十页，共26页。证明下列常用(chn yn)近似公式证例8由x=0附近(fjn)的近似计算公式，其它(qt)类似可证.2.5 函数的微分第21页/共25页第二十一页，共26页。例9解2.5 函数(hnsh)的微分第22页/共25页第二十二页，共26页。内容(nirng)小结1.微分(wi fn)的实质2.微分(wi fn)的几何意义基本微分公式，微分运算法则，微分形式不变性.切线纵坐标对应的增量;3.微分的求法函数增量的近似值；4.微分在近似计算中的应用 2.5 函数的微分第23页/共25页第二十三页，共26页。思考(sko)练习2.5 函数(hnsh)的微分dyfx dx( ) 微分中的dx是否一定要很小？解答(jid) 不一定dxx 可以任意取值，当 时，x1 ydyfxx( ). 第24页/共25页第二十四页，共26页。感谢您的观看(gunkn)！第25页/共25页第二十五页，共26页。NoImage内容(nirng)总结一、微分的定义。改变为 时，薄片面积改变多少。一般地，如果函数y = f (x)的增量可以表示为