九年级数学《二次函数与反比例函数》复习一对一讲义

1、 课 题期末复习之二次函数与反比例函数授课时间：2016-01-02 08：0010:00备课时间：2015-12-26教学目标复习二次函数与反比例函数重点、难点二次函数及反比例函数的应用考点及考试要求1、二次函数及反比例函数的性质2、二次函数及反比例函数的应用教 学 内 容第一课时 知识梳理1、二次函数的概念定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数注意点： （1）二次函数是关于自变量x的二次式，二次项系数a必须为非零实数，即a0，而b、c为任意实数。 （2）当b=c=0时，二次函数是最简单的二次函数。 （3）二次函数是常数，自变量的取值为全体实数 （为整式）2、三种函数解析式：（1）一般

2、式： y=ax2+bx+c（a0）， 对称轴：直线x= 顶点坐标：( ) （2）顶点式：（a0）， 对称轴：直线x= 顶点坐标为（, ）（3）交点式：y=a（x-x1）（x-x2）（a0）, 对称轴:直线x= (其中x1、x2是二次函数与x轴的两个交点的横坐标).3、用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.4、二次函数的图象 （1）二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.（2）二次函数由特殊到一般，可分为以

3、下几种形式：； ； ；.注：二次函数的图象可以通过抛物线的平移得到 （3）二次函数的图像的画法 因为二次函数的图像是抛物线，是轴对称图形，所以作图时步骤是： (1)先找出顶点坐标，画出对称轴； (2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与坐标轴的交点等)； (3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.5、二次函数的性质函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()注：常用性质：（1）开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a<0时，函数开口方向向下；（2）增减性：当a>0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而

4、减少；在对称轴右侧，y随着x的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴右侧，y随着x的增大而减少；（3）最大或最小值：当a>0时，函数有最小值，并且当x= ， y最小 当a<0时，函数有最大值，并且当x= ， y最大 6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点坐标。的符号决定抛物线的开口方向 对称轴平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.7、抛物线中a、b、c的作用 （1）a决定抛物线的开口方向和开口大小的符号决定抛物

5、线的开口方向：当a>0时，函数开口方向向上； 当a<0时，函数开口方向向下；的大小决定抛物线的开口大小：当越大时，开口越小；当越小时，开口越大；相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2）a和b共同决定抛物线的对称轴位置。（x=） 左同右异：如果对称轴在Y轴左侧，则a、b符号相同。 如果对称轴在Y轴右侧，则a、b符号相反。注意点：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）c的大小决定抛物线于y轴的交点位置。（于y=kx+b中的b作用相同）当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： 注意点：，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴

6、.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .8、抛物线的平移 方法：左加右减，上加下减 抛物线的平移实质是顶点的平移，因为顶点决定抛物线的位置，所以，抛物线平移时首先化为顶点式 向上（k>0）向下（k<0）平移k个单位 向上（k>0）向下（k<0）平移k个单位9、二次函数是常数，的最大值和最小值的求法二次函数是否有最值，由a的符号确定。（1）当a>0时，抛物线有最低点，函数有最小值，当x= ， y最小 （2）当a<时，抛物线有最高点，函数有最大值，当x= ， y最大 注：如果自变量x有取值范围，则另当别论。10、抛物线（）与x轴

7、的交点个数 与x轴交点，令y0，则有 即解一元二次方程 当>0时，方程 有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个不同的交点。当0时，方程 有两个相等的实数根，即抛物线与x轴有一个交点。当< 0时，方程 没有实数根，即抛物线与x轴没有交点。11、直线与抛物线的交点问题 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切

8、； 没有交点抛物线与轴相离.（4）平行于轴的直线与抛物线的交点 同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点.（6）韦达定理：如果的两个根是， 那么 12、二次函数的应用1、理论应用 （基本性质的考查：解析式、图象、性质等）2、实际应用 （求最值、最大利润、最大面积等）3、跨学科综合题 （动点问题、存在性问题、探索性问题等）二、反比例函数（一）反比例函数的

9、概念： 1（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件； 2（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式； 3反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点（二）反比例函数及其图象的性质：1函数解析式：（） 2自变量的取值范围： 3图象：（1）图象的形状：双曲线 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直越小，图象的弯曲度越大（2）图象的位置和性质： 与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于

10、二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上 图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上4k的几何意义：如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PAx轴于A点，PBy轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QCPA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为 5说明：（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论（2）直线

11、与双曲线的关系： 当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称（3）反比例函数与一次函数的联系（四）实际问题与反比例函数1求函数解析式的方法：（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式2注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上（五）充分利用数形结合的思想解决问题第二课时 例题讲解（1）一、二次函数与反比例函数的概念1、y=mxm2+3m+2是二次函数，则m的值为（ ）A、0，-3B、0，3C、0D、-32、关于二次函数y=ax2+b，命题正确的是（ ）A、若a>0,则y随x增大而增大B、x>0时y随x增大而增大。C、若x>0时

12、，y随x增大而增大D、若a>0则y有最大值。3、下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）Ay=3x B C3xy=1 D二、反比例函数的图象和性质1、已知函数是反比例函数，若它的图象在第二、四象限内，那么k=_若y随x的增大而减小，那么k=_2、已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第_象限3、已知a·b0，点P（a，b）在反比例函数的图象上， 则直线不经过的象限是（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限4、若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点， 则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限

13、C第一、三、四象限 D第二、三、四象限5、已知函数和（k0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） A B C D三、二次函数图像与a,b,c的符号之间的关系1、 已知y=ax2+bx+c的图象如下，则：_0，_0，_0，a+b+c_0，a-b+c_0。2a+b_0， _02二次函数的图象如图 1214所示，则下列关于a、b、c间的关系判断正确的是（ ）1图4Oxy3 Aab0 B、bc0 Ca+bc0 Dab十c03、已知二次函数（）的图象如图4所示，有下列四个结论：，其中正确的个数有（ ）A1个B2个C3个D4个4、二次函数的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（ ）Aa0 Bc0 C0D

14、05、已知=次函数yax+bx+c的图象如图则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a2b+c，2ab中，其值大于0的个数为（ ） A1 B 2 C、3 D、4 yxO1116、不论x为何值,函数y=ax2+bx+c(a0)的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,>0 B.a>0, <0 C.a<0, <0 D.a<0, <07、二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）1OxyyxOyxOBCyxOAyxOD8、已知抛物线y=ax2+bx,当a>0,b<0时,它的图象经过()A.一、二、三象限B.一

15、、二、四象限 C一、三、四象限D.一、二、三、四象限9、已知二次函数yax2bxc(a0)的图象如图所示，给出以下结论：Oa0.该函数的图象关于直线对称. 当时，函数y的值都等于0.其中正确结论的个数是（ ） A3 B2 C1 D0四、二次函数的性质：顶点，与X轴的交点，对称轴，最值问题1、抛物线y= -6x2-x+2与x轴的交点的坐标是_抛物线y=(x-1)2+2的对称轴是直线_顶点坐标为_2、 方程ax2+bx+c=0的两根为-3，1则抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线_。3、 抛物线的顶点坐标是（ ）A（2，3） B（2，3） C（2，3） D（2，3）4、 二次函数的图象的顶点坐

16、标是（）A BCD5、 向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx。若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？ (A) 第8秒 (B) 第10秒 (C) 第12秒 (D) 第15秒 。6、 二次函数的最小值是（ ） A2 B1 C3 D 7、已知二次函数 ， 为常数，当y达到最小值时，x的值为 （ ）（A） （B） （C） （D）8、如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确的是（ ）ABCD9、当 x=4时，函数的最小值为8，抛物线过点（6，0）求：（1） 顶点坐标和对称轴；（2） 函数的表达式；（3） x取

17、什么值时，y随x的增大而增大；x取什么值时，y随x增大而减第三课时 例题讲解（2）五、平移问题1、在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A B C D2、将抛物线向下平移1个单位，得到的抛物线是（）ABCD3、将函数的图象向右平移a个单位，得到函数的图象，则a的值为A1 B2 C3 D4 4、把二次函数的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数关系式是（ ） （A） （B） （C） （D）六、二次函数的三种表达形式，求解析式1、根据下列条件求关于x的二次函数的解析式（1） 当x=3时，y最小值=-1，且图象过（0，7）（2） 图象过

18、点（0，-2）（1，2）且对称轴为直线x=（3） 图象经过（0，1）（1，0）（3，0）（4） 当x=1时，y=0;x=0时,y= -2，x=2 时，y=3（5） 抛物线顶点坐标为（-1，-2）且通过点（1，10）2、抛物线过（-1，-1）点，它的对称轴是直线，且在x轴上截取长度为的线段，求解析式。 七、反比例函数的增减性与解析式的确定1、在反比例函数的图象上有两点，且，则的值为（ ）A正数 B负数 C非正数 D非负数2、在函数（a为常数）的图象上有三个点，则函数值、的大小关系是（ ）ABCD3、下列四个函数中：； y随x的增大而减小的函数有（ ）A0个 B1个 C2个 D3个4、已知反比例函

19、数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而（填“增大”或“减小”）5、若与成反比例，与成正比例，则y是z的（ ）A正比例函数 B反比例函数 C一次函数 D不能确定若正比6、函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m），则m=_，k=_，它们的另一个交点为_7、已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值8、已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P（x 0，3）求x 0的值；求一次函数和反比例函数的解析式9、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第一象限C、D两点，坐标轴交于A、

20、B两点，连结OC，OD（O是坐标原点） 利用图中条件，求反比例函数的解析式和m的值； 双曲线上是否存在一点P，使得POC和POD的面积相等？若存在，给出证明并求出点P的坐标；若不存在，说明理由八、二次函数的应用1、如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽AB为6米，最高点离地面的距离OC为5米以最高点O为坐标原点，抛物线的对称轴为y轴，1米为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，求（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出x的取值范围；OxyABC（2）有一辆宽2.8米，高1米的农用货车（货物最高处与地面AB的距离）能否通过此隧道？2、有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面A B的宽为20

21、m，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10m（1）建立如图1256所示直角坐标系，求此抛物线的解析式；（2）现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥 280km（桥长忽略不计）货车正以 40kmh的速度开往乙地，当行驶1小时，忽然接到通知；前方连降暴雨，造成水位以每小时025m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位到达最高点O时，禁止车辆通行）试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由，若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？ 3、已知如图 1253，ABC的面积为2400cm2，底边BC长为多80cm，若点D在BC边上，E在AC边上，F在AB边上，且四边形BDEF为平行四边形，设BD=xcm，SBDEF=y cm2 求：（1）y与x的函数关系式； （2）自变量 x的取值范围； （3）当x取何值时，y有最大值？最大值是多少？4、某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件，为了获得更好的效益，