2019-2020学年湖南省怀化市高三(上)期末数学试卷(理科)

1、第 1页（共 21页） 2019-2020学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 C. 6 共线（该直线不过原点 O），则 S200 （ ） 五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ ”据此绘制如图所示的程序框图，其中鸡1. （5 分）已知集合 x|(x 1)(x 2)-0 , B x|1 x 3，则 A| 2. A . ( 1,3) B . (2,3) C. (1,2) 2 , 3) （5 分）已知复数 z 满足（1 i）z i（i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ C.

2、!i 2 1. i 2 3. （5 分）将（ x）n的展开式按照x的升幕排列，若倒数第三项的系数是 90,则n的值是（ 4. uuu uun （5 分）已知等差数列an的前n项和为 Sn，若 OB a?OA uur a19gOC ，且A、 B、C 三点 A . 100 B . 101 C. 200 D. 201 5. （ 5 分）我国古代数学名著孙子算经中有鸡兔同笼问题: “今有雉兔同上有三x只，兔y x , 只，则输出x , y的分别是（ ） 第 2页（共 21页） 7. （ 5 分）如图是 2018 年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是 （ ）C. 13, 22 D. 2

3、2, 13 A . 12, 23 B. 23, 12 6. ( D . 2 6 A . 2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省 B .与 2017 年同期相比，各省 2018 年第一季度的 GDP 总量实现了增长 C . 2017 年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元 D . 2018年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 8 . (5 分)已知函数 f (x)是定义在R上的奇函数，满足 f(x 2) mgn，贝 U f (x)的图象的 总重十与去年同期相比増长率 f(x) log2( 3x 1)，则 f ( 2019)( log 2

4、5 9. ( 5 分)已知命题 p : x R，使sinx 命题 q: x R , 2 都有 x x 1 0，给出下 列结论: 命题 ”是真命题; 命题 q) ”是假命题; 命题 p) 是真命题; 命题 p) 是假命题. 其中正确的是( A . B . C. D. f(x)，且 x ( 10 . ( 5 分)若向量 2 6 一条对称轴方程是 11 . (5 分)对于函数 f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)，定义：设 f (x)是 f (x)的导数，f (x) 第 3页(共 21页) 是函数 f （x）的导数，若方程 f （x）有实数解 Xo，则称点（Xo , f（Xo）为函数 y f

5、（x）的“拐 点” 经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且 2x y 20 x 2y ，则目标函数 z 3x 2y 的最大值为 x 1, 0 14 . ( 5 分)函数 y loga(x 3) 1(a 1 , a 0）的图象恒过定点A ,若点A在直线 1 mx ny 1 0 上，其中 m 0 , n 0,则一 m 15. （5 分）九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒 ABCD 中，AB 平面 BCD，且 AB BD CD 1，则此鳖儒的外接球的表面积为 _ 16. （5 分）已知 f （x） x xlnx，若 k Z，且 k（x 2） f （x）对任意 x

6、 2 恒成立，则 k 的最 大值是 _. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .） 1 3 17. （10 分）已知等比数列a.是递减数列，af4 , a2 a3 3 . 32 8 （1） 求数列an的通项公式； 1 （2） 若 bn （n 2）log 2 an，求数列 一的前n项和 Tn . bn 18 （ 12 分）已知 ABC 中，内角 A , B , C 所对边分别为 a ,b ,c，若（2a c）cos B bcosC 0 . 第 4页（共21 页）g(x) 1x3 2x2 3x 15，则g( 1 2 一)g() 2020 2020

7、gC2019）的值为（ ） 2020 A . 2017 2018 C. 2019 D. 2020 2 2 12（5分）已知椭圆詁 y 1(a b 0）上一点A关于原点的对称点为 B , F为其右焦点, 若 AF BF，设 ABF ，且 巨6，则该椭圆离心率 e的取值范围为（ ） 刍） A 3 T 2 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分, C.昇 将答案填在答题纸上） D .躬 “拐点”就是对称中心设函数 13 （ 5 分）设变量x , y满足约束条件 -的最小值为 n 第 6页(共 21页) (1)求角B的大小； (2 )若 b 2，求 a c 的取值范围. 19. ( 12 分)如图四

8、棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PA 平面 ABCD，且 PA AB 2，E 为 PD 中点. (1) 求证：PB/平面 EAC ; (2) 求二面角 A BE C 的正弦值. 20. (12 分)近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的 出行方式.为了更好地服务民众，某共享单车公司在其官方 APP中设置了用户评价反馈系 统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价， 现从评价系统中选出 300 条较为详细的评价 信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的 2 2列联表如下： 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 150 50 200

9、对车辆状况不满意 60 40 100 合计 210 90 300 (1)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有 关系？ (2)为了回馈用户，公司通过 APP向用户随机派送每张的面额为 0 元，1 元，2 元的三种 骑行券，用户每次使用 APP扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得 1 元券， 获得 2 元券的概率分别是 丄,2 ,且各次获取骑行券的结果相互独立. 若某用户一天使用了两 2 5 次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为 X，求随机变量 X的分布列 第 7页(共 21页) 和数学期望. 附：下边的临界值表仅供参考:

10、 P(K2k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 2 (参考公式：K2 (a b)咒膚c)(b d)，其中 a b d) 2 2 X y 21. (12 分)已知椭圆 C：p 牙1(a b 0)的右焦点为F ,上顶点为 M，直线FM的斜 a b 率为 2，且原点到直线 FM的距离为一6 2 3 (1) 求椭圆 C 的标准方程； (2) 若不经过点 F的直线 l:y kx m(k 0,m 0)与椭圆 C 交于A , B两点，且与圆 x2 y2 1 相切试探究 A

11、BF的周长是否为定值， 若是，求出定值；若不是，请说明理由. X e 22. (12 分)设函数 f (x) a(x lnx)(a 为常数). x (1 )当 a 1 时，求曲线 y f(x)在 x 1 处的切线方程； (2)若函数 f(x)在(0,1)内存在唯一极值点 x x。，求实数a的取值范围，并判断 x x 是 f (x)在(0,1)内的极大值点还是极小值点.第 8页（共 21页） 2019-2020学年湖南省怀化市高三（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 A

12、. ( 1,3) B. (2,3) C. (1,2) D. 2 , 3) 【解答】解：A x|x, 1 或 x2 , B x|1 x 3, AI B 2 , 3）. 故选：D . 2. （ 5 分）已知复数 z 满足（1 i）z i（i 为虚数单位），则 z 的虚部为（ ） A . 1 B .- C . D .- 2 2 2 2 【解答】 解：由（1 i）z i，得 z i(1 i) 1 1. i , 1 i (1 i)(1 i) 2 2 z的虚部为1 . 2 故选：B . 3. （5 分）将（3 x）n的展开式按照x的升幕排列，若倒数第三项的系数是 90,则n的值是（ ） A . 4 B .

13、 5 C. 6 D. 7 【解答】解：（3 x）n的展开式按照x的升幕排列，倒数第三项为 32C； 2xn 2 , 依题意， 32C： 2 90，即 C： n（n 1） 10 , 2 解得：n 5, 故选：B . uuu uuu UULT 4. （5 分）已知等差数列an的前n项和为 Sn，若 OB a?OA aOC，且A、B、C 三点 共线（该直线不过原点 O），则 Sa。（ 【解答】解：由题意，A、B、C 三点共线，故 a2 a199 1.1. (5 分)已知集合 A x|(x 1)(x 2)-0 , B x|1 x 3，则 A| B A . 100 B . 101 C. 200 D. 2

14、01 第 9页（共 21页） 200g(ai 型 100“2 ai99)100 2 故选：A 5. （ 5 分）我国古代数学名著孙子算经中有鸡兔同笼问题： 五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ ”据此绘制如图所示的程序框图, 该程序运行后是解方程组 94 32x X4y 所以鸡 23 只，兔 12 只. 故选：B . 6. （5 分）函数 f（x） C0S（2 X）的图象大致是（ ） x【解答】 解：模拟程序的运行过程知, C. 13， 22 D. 22, 13 “今有雉兔同笼，上有三十 其中鸡 x只，兔y S200 解得 x 23 y 12 第 10页（共 21页） 【解答】解：定义域为（，0

15、） （0 , f( x) f(x) , f (x)为偶函数， 其图象关于y轴对称，可排除 C , 4 i ,1 亠 I r i i 4迤 4 一 启 y 2 11 p 3+* A . B . 4 2- y JU1*I $ ” 4： .J Ac 4 -赵 -2 1 l 3 4 * fl C. D . f(x)字，f(x)皆 cos( x) x2 f(x)， 又当 x 0 时，cos( x) 1 , x2 0 , f(x) 故可排除B ; 第 11页（共 21页） 而A均满足以上分析. 故选：A. 7. （ 5 分）如图是 2018 年第一季度五省 GDP 情况图，则下列陈述中不正确的是 （ ）

16、第 12页(共 21页) 总重十与去年同期相比増长率 A . 2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省 B .与 2017 年同期相比，各省 2018 年第一季度的 GDP 总量实现了增长 C . 2017 年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元 D . 2018 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有 1 个 【解答】 解：由 2017 年第一季度五省 GDP 情况图，知： 在A中，2018 年第一季度 GDP 增速由高到低排位第 5 的是浙江省，故 A正确. 在B中，与去年同期相比，2018 年第一季度五个省的 GDP 总量均实现了

17、增长，故 B正确; 在 C 中，去年同期河南省的 GDP 总量不超过 4000 亿元，故 C 正确； 在D中，2017 年第一季度 GDP 总量和增速由高到低排位均居同一位的省有江苏和河南，共 2 个，故D错误； 故选：D . 3 8. (5 分)已知函数 f(x)是定义在R上的奇函数，满足 f(x 2) f(x),且 x ( ,0)时， 2 f(x) log2( 3x 1)，则 f ( 2019)( ) A . 4 B . 2 C. 2 D. log 2 5 【解答】 解：函数 f(x)是定义在R上的奇函数，满足 f(x 2) f (x), f(x 4) f(x 2) f(x), 3 x (

18、 ,0)时，f (x) log2( 3x 1), 2 f( 2019) f (2019) f( 1) log 2 4 2 . 故选：C .第 13页(共 21页) 列结论: 命题“ p q ”是真命题； 命题p ( q) ”是假命题； 命题“(p) q ”是真命题； 命题“(p) ( q) ”是假命题. 其中正确的是( ) x R，都有 x2 x 1 0 恒成立，即命题q是真命题, 则命题“ p q ”是假命题；故 错误， 命题“ p ( q) ”是假命题；故正确, 命题“(p) q ”是真命题；故正确， 命题“(p) ( q) ”是真命题.故 错误, 故选：B . 10. ( 5 分)若向量

19、 一条对称轴方程是 r m ( (sin - 2 ) ”，n (cos, cos2 -)，函数 f (x) 2 2 mg，则 f (x)的图象的 A .x B . x C. x - D. x 3 6 3 2 【 解 答 】 解 : ( I ) Q f(x) r r . x mgi sin x cos 、.3 cos2 x -si nx 3 cosx sin(x -)二； 2 2 2 2 2 2 3 2 令 x k x k k Z 3 2 6 f(x)的图象的一条对称轴方程是x -. 9. ( 5 分)已知命题 p : x R，使 sinx 丄 ， 2 R，都有 x A . B . C. D.

20、【解答】解：Q|sinx|, 1 , x R，使 sinx 5错误，即命题p是假命题, 2 Q 判别式 1 4 3 0, 第 14页(共 21页) 故选：B . 是函数 f (x)的导数，若方程 f (x)有实数解 x，则称点(x0 , f (x0)为函数 y f (x)的“拐11. (5 分)对于函数 f(x) ax3 bx2 cx d(a 0)，定义：设 f (x)是 f (x)的导数, f (x) 第 15页（共 21页） 点” 经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是对称中心设函数 g(x) !x3 !x2 3x -，则 g(二) 3 2 12 2020 令g（x） 2

21、x 1 0可得，而 g 1 e sin cos 2 g(2020) 2019 g(2019)的值为( ) 2020 A . 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 【解答】解：与题意可得，g （x） g (x) 2x 1 , 故函数 g(x)关于(1 1)对称，即 g(1 2 2 g( ) 020 则唸） 2019 g(2020) x) g(x) 2019 2 2019 . 第 16页（共 21页） 故选：C . 则四边形AFBF为矩形. 因此 |AB | FF | 2c . | AF | |BF | 2a . | AF | 2csin , |BF | 2ccos 2csin

22、 2ccos 2a . 1 2sin( 7) 6 1 3 2sin( ), . 4 2 2 e 3 1,f.；） 6 sin( 4) 2 x 12.（ 5 分）已知椭圆 a 2 y_ b 1(a b 0） 上一点 A关于原点的对称点为 B, F为其右焦点, 若 AF BF，设 ABF ，且 石，6，则该椭圆A 3 【解答】解：如图所示, ,1) C.爲 D .3 2 3 设椭圆的左焦点为 F ，连接 AF , BF . 第 17页（共 21页） 5 此时 z 也最大，将 A（1,）代入目标函数 z 3x 2y , 2 故答案为：&13. （ 5 分）设变量x , y满足约束条件 2x

23、y 27 x 2y 4-0，则目标函数 z 3x 2y 的最大值为 8 x 1, 0 【解答】解：由 z 3x 2y 得 y 作出变量x， y满足约束条件 2x y 2 0 x 2y 40，对应的平面区域如图（阴影部分） x 1, 0 x 1 x 2y 4 0 解得 A（1,2）， 平移直线 y ?x -由图象可知当直线 y 2 2 最大， 3x -经过点A时，直线 y - x -的截距 2 2 2 2 故选：A. 第 18页（共 21页） 故答案为：8 15. （ 5 分）九章算术中将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖儒，在如图所示的鳖儒 ABCD 中，AB 平面 BCD，且 AB BD C

24、D 1 ,则此鳖儒的外接球的表面积为 _3 14 . ( 5 分) 函数 y log a(X 3) 1(a 1 , 0）的图象恒过定点A ,若点A在直线 mx ny 1 0 上，其中 n 0,则 -的最小值为 8 n 【解答】 解： Q x 2时， y 函数y log a(X 3) 1(a 0 , Q 点A 在 :直线 mx ny 1 0 上, 2m n 1 0, 即 2m n 1 Q m 0 , n 0 , 1 2 1 2 m n (- m ) n (2 m n) 2 1）的图象恒过定点（2, 1）即 A（ 2, 1）, 4m n 4m 24列右8， 1 1 m 4，n 2 时取等旦 号lo

25、g a a n m 当且仅当 第 19页（共 21页） 【解答】 解：由题意知，BD CD，将该三棱锥放在长方体中，由题意知长方体的长宽高 都是 1,既是棱长为 1 的正方体，则外接球的直径等于正方体的对角线，设外接球的半径为 R，则 2R 3 ,所以外接球的表面积 S 4 R2 3 , 第 15页(共 21页) 大值是 4 . 【解答】解：Qx 故 g(x)在(2,)上是增函数, 且 g (8) 8 2In8 4 2(2 In8) (9) 9 2ln9 4 5 2In9 0 ; 故存在 x (8,9)，使 g(x) 0 ,即 2lnx Xo 4; 故 F(x) x xlnx在(2,xo)上是

26、减函数，在 x 2 )上是增函数; 故 Fmin(x) F(xo) X。 4 x0 xo - 2 xo 2 故 k 的最大值是 4; 故答案为：4. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 7o 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 1 3 17. (1o 分)已知等比数列an是递减数列，af4 , a2 as 3 . 32 8 (1 )求数列an的通项公式； .) 16. (5 分)已知 f(x) xlnx , 若 k Z，且 k(x 2) f (x)对任意 x 2 恒成立, k 的最 k(x 2) f (x)可化为 f(x) x 2 x xl nx . ; 令 F (x) x xl nx

27、 x 2 (1 Inx 则 F (x) 2) (x (x 2 xl nx) x 2l nx 4 2 ; (x 2) 令 g(x) x 2lnx 4，则 g (x) 1 D 故答案为：3 所以外接球的表面积 S 4 R2 3 , 第 15页(共 21页) 第 22页（共 21页） 【解答】解：（1） Q 数列an是等比数列且 a1a4 - 32 1 3 比玄3 ，又 a2 as ，且数列an是递减数列， 32 8 解得：a2 -, a3 -, 4 8 1 1 q , a1 2 2 1 n (2) bn (n 2)log 2 an (n 2)log 1 n 2(-) n(n 2). 1 1 1 1

28、 1 ( -) bn n(n 2) 2 n n ： 2 则数列 1 的前 n项和 Tn 1(1 1 1111 1 11 1 ) bn 2 3 2 4 3 5 n1n1nn2， 1 “ 1 1 1 、 1 z3 1 1 、 (1 ) (- ). 2 2 n 1 n 2 2 2 n 1 n 2 18.（ 12 分）已知 ABC 中， 内角 A , B ,C 所对边分别为 a , b , c，若(2a c)cos B bcosC 0 （1）求角 B 的大小; (2 )若 b 2，求 a c 的取值范围. 【解答】 解：(1) Q (2 a c)cos B bcosC 0 , (2si nA sin

29、C)cos B sin BcosC 0, 2s in A cos B sin(B C) 0 , Q A B C , sin (B C) sin( A) si nA , 2sin AcosB sin A 0 , Q sin A 0 , cosB 1 2 Q B (0, ), B 3 (2) 由 B , b 2, 3 可得：b a c ac (a c) 3ac, 3 2 1 (2)若 bn (n 2)log 2 an，求数列 bn 的前n项和 Tn . 第 23页（共 21页） 又(a c) 3ac(a c) (a c) (a c), 4 4 (a c)2, 4b2 16，即 a G 4 , 又

30、a c b 2 , ABC 的周长的范围为(2 , 4. 19. ( 12 分)如图四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形， PA 平面 ABCD，且 PA AB 2，E 为 PD 中点. (1) 求证：PB/ /平面 EAC ； (2) 求二面角 A BE C 的正弦值. 【解答】解：（1）证明：连接BD交 AC 于 0, Q 底面 ABCD 为正方形， 0 为BD的中点， QE为PD的中点， 0E /PB , Q E0 在平面 EAC 内，PB不在平面 EAC 内， PB /平面 EAC ; （2） Q 底面 ABCD 为正方形， BC AB , 又 BC PB , AB| P

31、B B , BC 平面PAB , BC PA,第 24页（共 21页） 同理 CD PD , BC| CD C , PA 平面 ABCD , 故建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设正方形 ABCD 的边长为 2, 则 A（0，0，0），C（2，2，0），E（0，1，1），B（2，0，0）， r uuir 戸 r mgAE y z 0 rh r 则 riLu ，可取 m (0, 1,1)， mgAB 2x 0 同理可得平面 BCE 的一个法向量为 n (1,0,2)， 20. （12 分）近年来，共享单车已经悄然进入了广大市民的日常生活，并慢慢改变了人们的 出行方式为了更好地服务民众，某共享单车

32、公司在其官方 APP中设置了用户评价反馈系 统，以了解用户对车辆状况和优惠活动的评价， 现从评价系统中选出 300 条较为详细的评价 信息进行统计，车辆状况和优惠活动评价的 2 2列联表如下： 对优惠活动好评 对优惠活动不满意 合计 对车辆状况好评 150 50 200 对车辆状况不满意 60 40 100 设平面ABE的一个法向量为 mn uur (x,y,z)，又 AE (0,1,1)，AB (2,0,0)， r r cos m, n mg 10 |fm|n | 5 面角 A BE C 的正弦值为 第 25页（共 21页） 合计 210 90 300 （1）能否在犯错误的概率不超过 0.0

33、01 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有 关系？ （2）为了回馈用户，公司通过 APP向用户随机派送每张的面额为 0 元，1 元，2 元的三种 骑行券，用户每次使用 APP扫码用车后，都可获得一张骑行券，用户骑行一次获得 1 元券， 获得 2元券的概率分别是 1 2，且各次获取骑行券的结果相互独立. 若某用户一天使用了两 25 次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为 X，求随机变量 X的分布列 和数学期望. 2 2 解答】 解.(1)K 2 _ n(ad be) _ 300 (15 40 60 50) 口 (a b)(c d)(a c)(b d) 210 90 200

34、 100 不在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为优惠活动好评与车辆状况好评之间有关系. （2）公司通过 APP向用户随机派送每张的面额为 0 元，1 元，2 元的三种骑行券, 用户每次使用 APP扫码用车后，都可获得一张骑行券， 用户骑行一次获得 1 元券，获得 2 元券的概率分别是 丄 2,且各次获取骑行券的结果相互独 2 5 1 2 1 P(X 0) 得 10C 1 P(X 1) 1 1 1 1 1 10 2 2 1 10 1 2 2 1 1 1 33 P(X 2) - 10 5 5 1 2 2 10 1 2 2 1 2 P(X 3) 2 5 5 2 5 2 P(KJk。) 0.

35、15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 附：下边的临界值表仅供参考: （参考公式: K2 2 n(ad bc) ，其中门 abed) (a b)(c d)(a c)(b d) 7.1429 10.828 , 某用户一天使用了两次该公司的共享单车, 则X的可能取值为 0,1, 2, 3, 4, 用户骑行一次获得 0 元券的概率 p 1 记该用户当天获得的骑行券面额之和为 丄 2 丄 2 5 10 4 25 第 26页(共 21页) 随机变量X的分布列为: X 0 1 2 3 4 P 1 1 33 2 4 100 10 100 5 25 1 1 33 2 4 数学期望 E(X