机械优化设计习题参考答案--孙靖民-第四版习题解答-1教学内容

1、精品文档第六章习题解答1已知约束优化问题：2 2mi nf(x) (xi 2) g 1)2s t g1(x) x 1 x20g2(x ) Xi X220试从第k次的迭代点x(k)出发，沿由(-11)区间的随机数0.562和-0.254所确定的方向进行搜索，完成一次迭代，获取一个新的迭代点 x (k 1)。并作图画出目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线。解1)确定本次迭代的随机方向:Sr0.562、0.56220.2542T0.254.0.56220.25420.9110.412T2)用公式：x (k 1)x(k)Sr 计算新的迭代点。步长a取为搜索到约束边界精品文档上的最大步长。到第二

2、个约束边界上的步长可取为2，则:k 1 xk 1X2kx1kX2SR112 0.9110.822S R2 22 ( 0.412)1.176k10.822即：X k11.176该约束优化问题的目标函数的等值线、可行域和本次迭代的搜索路线如下图所示。2.已知约束优化问题：min f (x)4x1乙12stg1 (x)2X12X225 0g2( R为最好点，X1°为最坏点，进行新的一轮迭代。计算新的复合形中，去掉最坏点后的中心点得:)X10g3(x)X20试以 x1021 T , x41T ,x°33 T为复合形的初始顶点，用复合形法进行两次迭代计算。解1)计算初始复合形顶点的目

3、标函数值，并判断各顶点是否为可行点:0X121f1050X241f2030X333f309经判断，各顶点均为可行点，其中，x3°为最好点，x；为最坏点后的复合形的中心点:计算去掉最坏点2)0X2计算反射点1Xr0xc1Xr0Xc经判断xR30L 乂匚L i 1i 2(取反射系数(xC X2)2.51.3)2.51.32.50.553.3为可行点，其目标函数 值fR20.69去掉最坏点x；，由x10，xxR构成新的复合形，在新的复合形中113Xc230.553.31.7753.15计算新一轮迭代的反射点得：2 1/ 1 0、1.775x R xc(xc x1 )3.15经判断xR为可行

4、点，其目标函数1.31.7753.15R141.413,1.48255.945完成第二次迭代。3.设已知在二维空间中的点xX1 X 2 T ,并已知该点的适时约束的梯度11T ，目标函数的梯度0.51T，试用简化方法确定一个适用的可行方向。解按公式6-32 d kP f (x k )/P f(xk)计算适用的可行方向:x k点的目标函数梯度为:xk)0.51 Tx k点处起作用约束的梯度G为一个n阶的矩阵,题中:n=2, J=1：梯度投影矩阵P为:G GtG 1G t则:适用可行方向为:dk0.50.50.50.5g1(x k)1T10.50.51 11 0110.5 0.50.50.50.5

5、0.7070.5 0.510.7071110.54.已知约束优化问题:min f (x)gig2g3XiX2X3k试求在X01/4解按公式k6-32 d k422、(34)_(X1 X1X2 X2) 4 X3301/2 T点的梯度投影方向。kP f (X K )/ P f(xk)计算适用的可行方向:x k点的目标函数梯度为:f (xk)0.1250.25Gg1(x k)1 00T梯度投影矩阵P为:10 0 111000PT1tI G G 1 G G 101 0 0 1 0 001 0 001000 1 00001贝U：适用可行方向为:0 000.125/0 0 00.1250d k0 100.

6、25/0 1 00.250.2430 0110 0 110.97x k点处起作用约束的梯度G为一个n J阶的矩阵，题中:n=3， J=1:5.用内点法求下列问题的最优解:2min f (x) X1t g1 3 X2 0x； 2xi 1(提示：可构造惩罚函数(x,r) f(x)2r Inu 1gu (x)，然后用解析法求解。)解构造内点惩罚函数:(x,r) f (x)2r In gu (x)u 12xi2X22xi 1 r ln(3 X2)令惩罚函数对x的极值等于零:d dx2x122x2 (r)/(3x 2)得:舍去负根后，得X2时,xiX236 8r4636 8rx23,该问题的最优解为1

7、3T。6 用外点法求下列问题的最优解：min f (x)x1 x 2st2 g1 x1x 2 0g2 x 10 解 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(1)+x(2) end subroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=x(1)*x(1)-x(2) gx(2)=-x(1) end subroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh) hx(1)=0.0 end 然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最

8、优解：= PRIMARY DATA =N= 2 KG= 2 KH= 0X :.1000000E+01 .2000000E+01FX:.3000000E+01GX:-.1000000E+01-.1000000E+01X :.1000000E+01 .2000000E+01FX:.3000000E+01GX:-.1000000E+01-.1000000E+01PEN= .5000000E+01R = .1000000E+01 C = .2000000E+00 T0= .1000000E-01 EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05= OPTIMUM SOLUTI

9、ON = IRC= 21 ITE= 54 ILI= 117 NPE= 3759 NFX= 0 NGR= 0 R= .1048577E-13 PEN= .4229850E-06 X : .9493056E-07 .7203758E-07FX: .1669681E-06GX: -.7203757E-07 -.9493056E-077用混合惩罚函数法求下列问题的最优解：min f (x) x 2 x1 s tg1(x)ln x1 0h2(x) x1 x2 1 0 解 将上述问题按规定写成如下的数学模型： subroutine ffx(n,x,fx) dimension x(n) fx=x(2)-x(

10、1) endsubroutine ggx(n,kg,x,gx) dimension x(n),gx(kg) gx(1)=-log(x(1) gx(2)=-x(1) gx(3)=-x(2) endsubroutine hhx(n,kh,x,hx) domension x(n),hx(kh)hx(1)=x(1)+x(2)-1 end然后，利用惩罚函数法计算，即可得到如下的最优解：= PRIMARY DATA =N= 2 KG= 3 KH= 1X :.2000000E+01.1000000E+01FX:-.1000000E+01GX:-.6931472E+00-.2000000E+01-.1000000E+01X :.2000000E+01.1000000E+01FX:-.1000000E+01GX:-.6931472E+00-.2000000E+01-.1000000E+01HX:.2000000E+01PEN = .5942695E+01R = .1000000E+01 C = .4000000E+00 T0= .1000000E-01EPS1= .1000000E-05 EPS2= .1000000E-05= OPTIMUM SOLUTION =IRC= 29 ITE= 143 ILI=