最新线性代数习题集含答案

1、精品文档精品文档【1】填空题(1)(2)(3)(4)(5)答案:【2】(1)A-3 ；(2)线性代数习题集（含答案）二阶行列式二阶行列式二阶行列式三阶行列式三阶行列式l.ab(a-b)选择题若行列式B-2 ; C2;若行列式A -1 , -.2 ;abcos：a bi2a2.1D3o-sin :cos：a bi- 23. a - b ；=0，=0,-、2 ;则x=则x=第一章3334. x y z -3xyz ； 5.4abc。()。()oC 1,_、2 ; D 2,_'、2 o1298 =()。3-23(3)三阶行列式503 20152A -70 ； B -63 ；C70；D 82。

2、a00b0ab0（4）行列式=()。0ba0b00aAa4 -b4 ； B(a2-b22)；Cb4 _a4 ； Da4b4。010IH0002IH0（5） n阶行列式+I-R+:+=()。000IHn -1n00IH0A0； Bn！； C：-1) n!；nd!D() n!答案：1.D ; 2.C; 3.A; 4.B ; 5.D。【3】证明by+az bz + ax bx+ayx y zbx+ay by+az bz+ax= (a3 +b3)z x ybz+ax bx+ay by+azy z x答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。【4】计算下列9级排列的逆序

3、数，从而确定他们的奇偶性：（1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。答案：（1）. （ 134782695）=10,此排列为偶排列。（2） （ 217986354）=18,此排列为偶排列。（3）. （ 987654321）=36，此排列为偶排列。【5】计算下列的逆序数：（1）135 （2n-1）246（2n）；（2）246 （2n）135 （2n-1 ）。1 1答案：（1） n（n-1）；（2） n （n+1）2 2【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：a61 a52 a43a34 a25a16a15a23a32a44a51a66 ； ( 2)a21a53

4、a16a42 a65a34 ； ( 3)(1)正号；(2)负号。根据定义计算下列各行列式:(1)答案:【7】(1)(4)答案:(3)【8】(1)(4)答案:(4)【9】(1)0 ； (2)a11000a22a230a32a33a4100a1400a440000IHIII021 c(3)11I-bfFhfqiq0n-1IH00n0IH00(1) 5！ =120； (2)a11a4 _ a14a41比2%3 - a23a32 - a11a22a33a44 -3|1923332 94 _ a14a22a33a41 ' a14a22a33a41n(n 丄)(n 4)(n _2)(-1)n! ；

5、 (4) (-1)2 n!。计算下列行列式：13123 111111115 3 Y13111234；(2)；(3)04 1-1113 114916-513-611131827641 1 11abed2 , 22, 2 °abed3, 33, 3abed12FFn100III110III0 1 1川+4+0 00川0100 -136 ； (2) 48； (3) 12 ；(b-a ) (e-a ) (d-a) (e-b ) ( d-b ) (d-e ) 计算下列n阶行列式:00； (2)+4+-I11111川1 2 2 |(1 2 3 IH+ 1P* 4P1 2 3 IH(3)1-1-1

6、20-2III川川(4)IH川川(5)答案:(4)答案:(2)-1-2-3IllIHIHIHIHIHn -2n 1(1)1 + (-1)n 12n+1 ; (5) ( -1 )n (n-1)2n为奇数n为偶数n + 1n-1n21；(3)n!a1_bla1 b2IIIa1 -bna2_bla? -b?illa2 - bna3_bl+a3-b?illa3 - bnan+_ban-b2IIIqan -bnaa+ ha +2hIII a +-aa0III0+a4a卜III+0H0h0III000III-a1a10川00-a2a2川00+0rI-a3川+01+0F0+0川4-anw111川1【10】计

7、算下列行列式:(1)(2)(3)aa(4)on=2 时，(1)0001(n _1)h00IIIIIIIIIIIIIII（n 阶）；行列式等于（b2-bj（a2-a 1）； n>3,行列式为0；Aan (-1)n 1bn ； (3) 尹 1)(2a nh)an ；n(4) (_1)n(n -1)丨 aii 4【11】计算n+1阶行列式:011a10+F+h+F101川10川0a?川0 4 4 40川an(aj 0 ； i=1 , 2,n)答案：n 1一da：a*(a=0;i =1,2川1, n).y a【12】解下列线性方程组:捲 +4x2 +6X3 +4x4 +5禺=0人 + x2 +

8、X3 + x4 = 5% +x2 +4x3 +6X4 +5x5 = 0 % +2x2 _x3 +4& = -2(1) <； ( 2) J 4为+x2 + x3+4x4+6X5 =0。2x1 3x? x3 一= 26% 十4% + x3 十 x4 + 4x5 = 0 3为 +x2 +2x3 +11& =04为 6x2 4x3 x4 x5 = 0答案：(1) x1 =1, x2 = 2, x3 = 3, x4 - -1 ；(2) x1 = x2 = X3 = X4 = X5 = 0.【13】计算n阶行列式a +为aa川aaa + x2a川aD =aaa +X3IIIa于是Dn

9、 _a%x2川G+十IH+1(XnXn丄X1aJ【14】证明2cos 日10III012cos 日1III00 12cosIII0a a a 川 aDn =sin0 III 2cos -0 丨 111 2cos -由归纳假设，得Dnsin |jjn 1 vsin日Xa2a3a4a5a1X2a3a4a5D =a1a2X3a4a5a1a2a3X4a5a1a?xX1a2a3川a1X2a3 川可以得到a1a2X3川+1F+4Fa1a2a3 川【15】计算五阶行列式【16】证明Xnain*: X -a-ii吕1+a 11川11七21川Dn= 111+a3 川111 III 1+an证明：略【17 .证明

10、dta/t) a21 (t) a31 (t)%(t) a22(t) a32(t)%(t) a23(t) a33(t)a n(t) a21(t) a31(t)a ,) a22(t) a32(t)a沁) a23(t) a33(t)an(t)an(t)an(t)盹%(t)a21(t)a' 22 (t)a23(t)+a21 (t)a22(t)a23(t)a31(t)a32(t)氐a'31 (t)a32(t)a'33 (t)答案与提示:提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。【18 .计算n阶行列式:1si n12 sincp1III-n d./ft

11、sin申.1sin®22 sin(p 十2III-n二忻sin申 21bsin ®3F2 sin码III-n A msin 申 31I1fsin®n2 sinIII4n二msin 申 ncosn“1ncos卅cos曙cos1 %fncos十2IIIcos ®2*n J. /f% cos甲 nncosnIII*cos ®n(1)(2)答案与提示:n(n d)（1） IT1勺气空1(sin i -sin)=2 un (n-1)(2) (-1 ) 2n1勺7巴i2【19】.利用拉普拉斯定理计算下列行列式:110001xX2000X3a1b1111Ga

12、2b2X1X2X3C2a3b32X12X22X3G2x2X2000Xnana1 0III nJa1b1na2*na22*FIII nJa?b2fnan -1fan+bi +IIIan -frbi +(2)(3)b：n® =0,i =1,2ll,n 1)；1勺叩童ababa b(4)b abababa答案与提示：2 2 2(2)(X2-Xi)(X3-X2)(X3-X2)； (3) I (bjaj-aQ)1 ji岂卅(4) (a2-b2)nCOS。10IH002cos«1IH0(2)012cos«IH0000=cosm。0 0答案与提示：IH 1 2cos:a + P

13、aP0IH001a + PaP川00(1)0+1fba + Pfb川09b0<id+0P0P0IHr1a + P【20 .证明下列等式:n 1 _ “ 1 a - P(1)提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。(2)提示：用归纳法证。【21】(01403)设行列式D=220 -7则第四行各元素余子式之和的值为(-2 2【22】(96503)五阶行列式1 -a-1a1-a0a0000d =011-aa000-11-aa000-11-a第二章【1】填空题设A是三阶方阵，A*是A的伴随矩阵,1 *(3A) -2A =。A的行列式A =-1，则行列式【2】假设A=( aj )

14、是一个n阶非零矩阵，且 A的元素aj(i，j=l，2,，n)均为实数。已知每一个元素aj都等于它自己的代数余子式，求证A的秩等于n，且当n _3时A =1或-1。【3】判断下列结论是否成立：若成立，则说明理由；若不成立，则举出反例。(1) 若矩阵A的行列式 A =0，则A=0；(2) 若 A E =0,贝U A=E(3) 若A, B为两个n阶矩阵，贝U A+B=|A+B ;(4) 若矩阵 A = 0, B = 0，贝U AB=0.【4】设A, B为n阶方阵，问下列等式在什么条件下成立?(1) (A B)2 二 A2 2AB B2 ；(2) (A B)(A _B) = A2 _B2;【5】计算A

15、B和AB-BA。已知31111(1)A=212 ,B=2-1.123J0-1101'a(2) A = cJcl_1aclba62-21_22-21答案：(1) AB = 610,AB -BA= 200812 一44-2(2) AB 二a2 b2 c22ac b22ac b2a2 +b2 十c2b ac- b - ab - cc - be-c2 -2a2ac-2bc beb2 2ac - a2 - 2c2 2+ b +c ab b cb - ac【6】计算下列矩阵乘积:(1)121 11-2r11(2) ( x, y, 1)'ab飞。du J答案：(1)【7】计算2012 ； (

16、 2) ax4sin°cos -：I|_-sin cos答案：提示：用数学归纳法可证cos :IL-sinsin0cos® 一 L2bxy cy2 2dx 2ey f。并利用所得结果求014IL-1 0cos ;：-sinsin : " cos n-sin ncos ;：sin ncosn®Ji时,2cos 2 二si n2二 1sin2兀cos 2【8】已知A, B是n阶对称矩阵，证明 AB为对称矩阵的充分必要条件是AB=BA【9】已知A是一个n阶对称矩阵，B是一个n阶反对称矩阵，证明(1) A2，B2都是对称矩阵；(2) AB-BA是对称矩阵；(3)

17、 AB+BA是反对称矩阵。【10】求矩阵X，已知：一2111_230 1_1231(1)321+X -10_1=456101_i2-11 一-3-12 一(2)3_247Lx =6I1020131093 J精品文档4答案:23 ；( 2)-2 2x 二 0一3110【11】已知矩阵A,求A的逆矩阵AJ ；a bI d.,其中ad-bc=1 ; (2)(3)答案:(1)(3)A-1-112-1一5-3A= _dcA=.512111-38【12】在下列矩阵方程中求矩阵X:(1)2 ；3心5(2)_12答案:【13】【14】(1)110J0-301311-3_222；(2) X =-16-11712

18、2 一-127-X =证明若一个对称矩阵可逆，则它的矩阵也对称。5 1213192 一假设方阵A满足矩阵方程 A2 -2A 50，证明A可逆，并求 A*。精品文档精品文档答案：提示：由 A2-2A5E=0得 A 1(A-2E)二 E。5【15】填空题2-131 2(1) 设矩阵 A= 051 ，则(A_3E) (A _9E)=123_(2) 设A是3阶数量矩阵，且 A =-27，则A，=(3) 设A是4阶方阵，且 A =-2，则A的伴随矩阵A*的行列式A* =-1答案：(1)311 ；6(2)131_3精品文档(3) -8【16】选择题(1)设A是n阶方阵，且满足等式A2 A-2E =0，贝U

19、 A的逆矩阵是(A)1(A-E) ；( D) EA)。(2)1A-E ;( B) E-A;(C)-2设A, B是n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是A、(AB)'(AB)'；B、(AB).1(AB)亠= (_1)n AB(3) 设A, B, C为n阶方阵，且ABC=E则必成立的等式为A、ACB=E;B CBA=E;G BAC=E;D BCA=E(4) 设A, B为n阶对称矩阵，m为大于1的自然数，则必为对称矩阵的是A、Am; B、(AB)m ; C AB;D、(A B)'。(5)设A, B, A+B, A+B，均为n阶可逆矩阵，则(A+B )等于A、A+B；B A+B; C

20、、B(A B) JA ; D、(A B)。(1) C; (2) B; (3) D; (4) A; (5) C【17】求下列矩阵的秩1(1) 1J23-2410 1_25311743 1759453132759454134?5322048 _45 ; (3)2_47-6735201155(4)269823-29486。16-4281128452 一答案:(1) r (A) =2; (2) r (A) =2; (3)(A) =3; (4) r (A) =2;1101001_1-1210 1110002-24-20;(2)01100。306-110011003001 一01011 _11000010

21、000 10100001000(1);(2)00100001000001000000一-00001 一【18】求下列矩阵的标准形(1)答案:【19】假设方阵A满足方程aA2 bA cE = 0，其中a，b, c是常数，而且Cm 0，试证A是满秩方阵，并求出其逆矩阵。【20】选择题-1(1)设矩阵A= -3'.22368，且r (A) =2，则t等于-4 tA、-6 ; B、6; C 8; D t为任何实数。(2)设A是3阶方阵，若A2 =0,F列等式必成立的是A、A=0; B、r (A) =2; C、A=0； D A 式 0(3)设A是mX n矩阵，且m<n则必有ata V o。

22、A、atao ； B、ata=o ； C、ata>o ； D、答案：(1) D;( 2) C；( 3) B。【21】求下列矩阵的逆矩阵:00(1) A =2J0 10 21 03 020；(2)0023A =3123-1002 0 0-193-414-23答案:(1) A；(3)2 10 03200-11134。2-123_2IL 3【22】假设B是n阶可逆矩阵,C是m阶可逆方阵。试证明分块矩阵A=0 I是可逆方阵,并且用B,C表示分块矩阵 A。答案：提示：由拉普拉斯展开定理，得A、BLC H0，故A是可逆矩阵。由逆矩阵定义,=_00 1C【23】已知三阶方阵 A=（ aj ）与任意三阶

23、方阵 B之积可交换：AB=BA证明A是数量矩阵。【24】设4阶矩阵-010012134100100213B=000_1C=0021-0000 一1 10002 一且矩阵A满足等式A（E -C，B）TCT =E A。其中E为4阶单位矩阵，求矩阵 A。于是 A 二（C - B -E）t 4【25】(00403)设a =(1,0, 1 /，矩阵A =滋丁 , n为正整数，则det(aE An尸【26】(04404)10 -1 0 "设A= 100 , B=P*AP,其中P为三阶可逆矩阵，则B2004 _2A2=。0 0 -1【27】(04404 )设A=(aj)3X3是实正交矩阵，且a11

24、=1，b=(1,0,0)T，则线性方程组 Ax=b得解是。【28】(04104)(210 Ai设矩阵A = 1 2 0，矩阵B满足ABA =2BA* +E，其中A*为A的伴随矩阵，E是单位矩阵，则| B = I。O 1丿【29】(00203)设r 1 0E为4阶段单位矩阵，且B =（E + A）（E A）,贝卩（E+B）=-23A=0-4.0 0AB=0,则A和B得秩(【30】(94503)设A,B都是n阶非零矩阵，且A.必须有一个等于零B.都小于nC.个小于n，个等于 n D.都等于n第三章【1】如果向量耳盘,线性无关，而，as,线性相关，贝则可以由a, a2,.,a线 性表出，而且表示式唯

25、一。【2】设冃月2,.耳是n个n纟隹的线性无关向量，耳严病 k2a2knan,其中ki,k2,.kn全不为零。证明：3月2,.,0!，an卅中任意n个向量均线性无关。【3】(95508 )设三阶矩阵A满足=i：l(i =1, 2, 3),其中列向量：(1,2,2)T,->2 -(2,-2,1) Jj3 =(-2,1,2).试求矩阵 A.【4】(97306)设A为n阶非奇异矩阵，:-r I0、A婕、:其中A*p =T . *A丿,Q =Tra a匕 b丿(1)计算并化简PQ:为n维列向量，b为常数。记分块矩阵是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵。证明：矩阵Q可逆的充分必要条件是 gtAg式

26、b.【5】(98104)设A是n阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 Akx二0有解向量：，且Ak=0 .证明：向量组,A，.，Ak7是线性无关的【6 】(01408 )设:i i2,.in)T(i = 1,2,.,r, r ： n)是 n 维实向量，且:-1/- 2,./- r线性无关.已知'=(b1,b2.,bn)T是线性方程组+*12X2+ .+1n Xn = 0,(§21 X1+22X2 + .+§2nXn = 01Jr 1X1+2X2 +.+rn Xn = 0的非零解向量.试判断向量组：1,：2,.,齢，：得线性相关性。【7】(96408)设向量6, :

27、：2,., 是齐次线性方程组 AX =0的一个基础解系，向量1不是方程组AX =0的解，即A 0 .试证明：向量组' J - :J - : 2,.J -线性无关. 【8 】（04313 ）设 宀=（1,2,0）T , ： 2 = （1,很亠 2, _3: ）T ,: 3 = （-1, 一b - 2,很亠 2b）T , - =（1,3,-3）丁，试讨论:,b为何值时，1. :不能由：'123线性表示；2. 1可以由1,2,3唯一地线性表示，并求出表示式。3. 1可以由1,2,3线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式。答案与提示：1. 当=0时，：不能由1,2,3线性表示。2. 当

28、:0，且a=b时，：可以由 宀，：,唯一地线性表示。当a =b = 0时1可以由：-1-2 3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为0 = 1 -一口！ + - + k。2 + ka3 .<a.丿la丿【9】（05290）确定常数，使向量组：= （1,1,_：i）T ,_：2 = （1,a,1）T, ： 3 = （a,1,1）T 可由向量 组 =（1,1,a）T, / =（-2,a,4）T3 =（-2,a,a）T线性表示，=1时向量组 宀乜飞不能 由向量组：匕，：/线性表示。【10】（00303 ）设A为n阶实矩阵.AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组（I）: Ax =0和（U） : A

29、Ax = 0，必有（）。A. （U）的解是（I）的解，（I）的解也是（U）的解B. （U）的解是（I）的解， 但（I）的解不是（U）的解C. （I）的解不是（U）的解，（U）的解也不是（U）的解D. （I）的解是（U）的解，但 （U） 的解也不是（I）的解【11】（98407）已知下列非齐次线性方程组（I），（U）X1+ x2 2x4=-6,(I),4x1x2X3X4=1,3x1-X2-X3=3；x1+ mx2X3X4=-5,()nx?X3一 2x4=-11,X3一 2x4=1+1;（1）求解方程组(I)，用其导出组得基础解系表示通解(2)当方程组（U）中得参数m,n,t为何值时，方程组（I）

30、与（）同解。答案与提示:-21-41（1）方程组得通解为X二k（ k为任意常数）.I*炉0 1当m =2, n =4,t =6时，方程组（I） （口）同解。X1X2X3=0【12】（99409 ）已知线性方程组ax1+bx2+cx3=02丄,2丄2小a 捲+b x2+c x3=0（1）a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？（2）a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。答案与提示：（1 ）当a = b,b = c, c = 0时，D = 0，方程仅有零解捲=x2 = x3 = 0（2）下面分四种情况：1、当：-二b=c时，方程组有无穷多组解，全部解为灯1,-1,

31、0)丁（k1为任意常数）2、当:二c = b时，方程组有无穷多组解，全部解为k2(1,T,0)T（k2为任意常数）3、当b =c = a时，方程组有无穷多组解，全部解为k3(0,1 厂 1)T（k3为任意常数）4 、当a=b=c 时，方程组有无穷多组解， 全部解为k4(-1,1,0)Tk5(-1,0,1)T(k4, k5为任意常数).【13】（03313） 3B已知齐次线性方程组'(印 +b)x<i +a2x2 + a3x3 + +anxn=0.(a2b)x2a3x3'anxn = 0,+a2x2 +(a3 +b)x3+a“a2x2a3x3 - (anb)xn = 0,n

32、其中v ai =0,讨论aa2,，an和b满足何种关系时,i 3（1） 方程组仅有零解；（2） 方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系 答案与提示：n（1） 当b=0且b二aj =0时，秩（A）二n方程组仅有零解 i 二当b =0时，方程组有非零解，基础解系为a =（1,1,1，1）T .【14】（96403） 3B 设r 111a1a2a3A =222a1aa29a3ann A.n -AVa1a2a311anX212 an1，X =X3a，B =1n4an<xn其中aj =aj（i = j;i, j =1,2，n）.则线性方程组 ATX二B的解是 X =（1,0，0）T

33、.【15】(02106, 02206) 3B 已知 4 阶方阵(a1, a2, a3 ,a4), a1,a2, a3, a4 均为 4 维列向量,其中a2, a3, a4线性 无关， 印=2a2 - a3.如果a1 a2 a3 a4，求 线性方 程组方程组的通解为v1+ k-211i0x =k为任意实数【16】（04413）3B设线性方程组X1X2七3X4 =0,2x1x2x32x4=0,3x1(2' )x2(4)x34x4=1.已知(1,_1,1,_1)T是该方程组的一个解，试求(1 )方程组的全部解，并用对应的齐次线性方程组的基础解系表示全部解；(2)该方程组满足X2 =x3的全部

34、解.答案与提示：(1) 方程组的全部解为 =(1,_1,1,1)T 匕(1,_3,1,0)丁 k2(1,_2,0,2)T (k1,k2为任意常数)(2)X2 =X3时，方程组的全部解为=(2,1,1,-3)丁 飞(3,1,1,4)T(k1 为任意常数)【17】讨论向量组a1,a2,a3是否线性相关，印=(1,1,2 ) , a (1,2,3), a (1,2,6)【18】若A是一个m阶可逆方阵，B是一个m n矩阵，贝V r (AB) =r(B)【19】假设A是m n矩阵，B是n m矩阵，且n<m,实证：AB= 0【20】选择题 设向量组81,82,83线性无关，贝U下列向量组中，线性无关

35、的是(A)a182,8283,83 _ 81(B) a182,8283,8128283(C) 81 282,282 383,383 81(D) a1 a2 a3,2a1 -3a2 2283,38-| 5a2 -5a3【21】试将向量=(4,-1 )表成向量8尸(1,2)，82=(2,3)的线性组合答案：=一 14a汁982【22】判断下列各向量组是否线性相关。(2) 81=( 1,2) ， 82=(3,2)；(3 ) 81=( 1,1,1) ， 82=( 1/1,0 ) ， 83=(1 ,0,0)；(5) 81=(3,1 H), 82=( 1,3,1,1)，83=(1 ,1,3,1)，8厂(1

36、,1,1,3) 答案：(2)线性无关。(3 )线性无关。(5)线性无关。【23】判断下列结论是否正确：若向量组印忌忌心线性性相关，贝【J向量组a1,a2,.,ar线性相关。(2) 若向量组ai,a2,as线性相关，则其中每个向量都可表示为其它向量的线性组合。 若向量一：可以被向量a1, a2,.,as线性表出： = k1a1 k2a2 . ksas，则表示式唯一。(4)若向量组a1,a2,.,ar,.,as存在s个全为零的数k1, k2, ., ks,使k1a1 k2a2 . ksas= 0,则a1,a2,.,as线性无关。答案：(1)否(2)否(3)否(4)否【24】证明：若向量组!=(41

37、,3(2,a2=(a21,&2，,a2n)'，為=(為，為2,amn)线性相关则去掉每个向量的后个分量1<n)后，得到的个n-r维向量: a1 =(311,312，,a1), a2 (321,a22,.,a2i)，,am =(3n1,am2,am)也线性相关。【25】右向量a1, a2,氏线性无关，且-1=3i+ a2, -2=-a1+3a2, -3=2a1-彳,证明-1, -2, -3 线性无关。【26】；n等价，证明:a1,设n维向量组a1, a2,，an与n维单位向量组M, ；2, a2, ., an线性无关。答案：提示：a1, a2, ., an与i, ；2,，巾

38、有相同的秩n【27】用消元法求下列向量组的一个极大线性无关组：(1) q=(1,2,-3,-1), a2=(2,3,1,3), a3=(-1,-2,4,-5),a4=(2,3,2,-3)(2) a1=(1,1,1,4,-3),a2 =(2,135,-5),a3=(1,-1,3,-2,-1),a4=(3,1,5,7,-7) 答案：(1)向量印，a2,爲是及大线性无关组;(2)向量ar, a2是及大线性无关组;【28】设A =( aj )为门阶方阵，试证行列式A = 0的充分必要条件是A的某一行是其余行 的线性组合。【29】若A是一个m阶可逆方阵，B是一个m n矩阵，贝V r (AB) =r(B)

39、X1x2【30】设A是n阶方阵，如果对于任一 n维列向量X=x= 都有AX=0,证明A=0bbA 一【31】选择题设a1,a2,a3是四元非齐次线性方程组AX=B的三个解向量，且秩（A）=3，印=（1,2,3, 4）丁包 a（0,1,2,3）T,c表示任意常数，则线性方程组AX =B的通解X等于A(1,2,3,4)T c(1,1,1,1);C.(1,2,3,4)t c(2,3,4,5)t;B.(1,2,3,4) c(0,1,2,3)t;D.(1,2,3,4)c(3,4,5,6)t;【32】选择题设A为n阶实距矩阵,AT为A的转置矩阵，则对于线性方程组（1）, ax=0和（n）； atax=o,

40、必有a （n）的解是（i）的解， （i）的解也是（n）的解；b （n）的解是（i）的解，但（i）的解不是（n）的解；c （i ）的解不是（n）的解， （n）的解也不是（i）的解;d （i）的解是（n）的解，但（n）的解不是（i）的解；【33】用消元法解下列线性方程组2x2x2 _x3 =612x2 4x3 =35x1 7x2 x3 = 28答 Xr 1, x 3.X3 2.X1x 2x3 3x-12咅 +3x2 +5% +2x4 = -33x) X2 X3 2x4 = 43为 +5x2 +2x3 2& = TO答X1 - -1,X2 - -1,X3 =0, X4 =1【34】，取什么值

41、时，线性方程组| . X x2 x3 =1 捲 一 / X2 X3 L 'X-IX2 -，.，x3有唯一解，无解，在有解的情况下，求出其解答：当.=1时，且.一2,方程组有唯一解:1x2 二2X3( 1)2当，=1时，方程组有无穷多解，x<i = 1 - k, x2 =匕,x3 = k2其中匕,k2为任意常数方程组无解【35】求下列齐求次线性方程组的一个基础解系为 3x2 2x3 = 0X1 5x2 X3 = 03 为 5x2 8X3 = 0 答 a=(7,-1,-2)'.【36】X x23x3=0«3为x2 +3x3 +4% =0“ +5x2 -9x3 +8X

42、4 =0答q =(3,3,2,0)', a? =(-3,7,0,4)'.【37】求下列非齐次线性方程组的一个特解，及对应齐次方程组(导出组)的一个基础解系,并写出一般解X _2x2 +3x3 _4x4 =4X2 _X3 +X4 = -3论 +3x2-3x =1i_7x2 *3x3 +x4 = -3答 =0 ka =(-8,3,6,0) ' k(0,1,2,1)'。第四章【1】求下列矩阵的特征值与特征向量，判断它们是否与对角矩阵相似，如相似则将其化为对角矩阵-460 1_3-1 1 1(1)A =-50;A =201-3-61 -11-12_刁1'-1-1 0 1100 1答: A1,P" =-1-21,PAP=010_2_1 1120 一-00-2【2】如果矩阵A可逆，试证AB BA勺特征值相同。【3】证明矩阵A与它的专置矩阵A'的特征值相同。【4】设1,2是矩阵A的两个不同特征值，ai,a2是分别属于1,工的特征向量。试证：ai a2不是A的特征向量。【5】求正交矩阵T,使T?AT为对角形矩阵。-2-201(1) A=-21-2 ；0