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1、页眉样本平均数的方差的推导：假定从任意分布的总体中抽选出一个相互独立的样本x1 ,K , xn ，则有E(xi ) X ,22xiX即每一个样本单位都是与总体同分布的。在此基础上，证明样本平均数以总体平均数为期望值。E(x ) E( x1x2Lxn )n1 E( x1x2Lxn )n1E( x1 ) E ( x2 ) LE(xn )n1( XXLX )Xn接着，再以此为基础，推导样本平均数的方差。在此，需要注意方差的计算公式为：2E(X E(X)2X以下需要反复使用这一定义：1 / 3页眉2E(xE(x )2xE(x1x2 LxnX )2n1Lxn ) nX )2n2 E( ( x1 x2X

2、) ( x2X ) L( xnX )1 E ( x12n212 E ( x1X )2( x2X )2L( xnX )2(xi X )( xj X )nij1E(x1X )2E(x2X )2L E( xn X )2E (xi X )( x j X )n2i j1n 22nn2在证明中，一个关键的步骤是E( xiX )( x jX )0 ，其原ij因在于这一项事实上是xi 与 x j 的协方差。由于任意两个样本都是相互独立的，因此其协方差均为0 。如果采用的是无放回的抽样，则样本间具有相关性，协方差2Nn小于 0。此时样本均值的方差为2XxN1n样本方差的期望：证明了样本平均数的方差公式后，我们可以来分析一下样本方差的情况。n(xix)2先构造一个统计量为 Si 1，我们来求它的期望。n2 / 3页眉根据方差的简捷计算公式：2X 22XX，可得1 E1nE(S )xi2nx 2E( xi ) nE ( x2 )nn其中，同样运用简捷计算公式，可以得到：2)2( E( xi )222E( xixiXX；22222)(E( x )XXE( xxn原式化为1 n(2E(S )X2X 2 ) n( XX 2 )nn2( X2X2)(XX 2 )nn 1n2X等式的两端同除以右侧的系数项，得到nE(S)2Xnnn Sn( xi

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