数学分析(华东师大)第十一章反常积分

1、第十一章反常积分§1反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”，或是 无界函数的“积分”，这便是本章的主题例1 (第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭(图11 - 1 ),要使火 箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度V0至少要多大？设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为.按万有引力定律，在距地心x( >R)处火箭所受的引力为2mg R2x于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R)处需作的功为/ r mgB d x = mg r2 11R

2、 x2图 11 - 1当r + oo时，其极限mg R就是火箭无限远离地球需作的功 我们很自然地会把这极限写作上限为+ -的“积分”：r + 00 R+ 00 mg R.d x = lim2mgRd x = mg R .2x最后,由机械能守恒定律可求得初速度V0至少应使12mv 0 = m g R .用 g = 9 .81 (m62 ), R = 6 .371 Xl06(m)代入，便得V0 =2 g R 勺 11 .2( km6sf).例 2 圆 柱 形桶 的 内壁高 为 h , 内半 径 为 R , 桶底有 一 半径为 r 的小孔 ( 图11 - 2 ) . 试问从盛满水开始打开小孔直至流完

3、桶中的水, 共需多少时间?§1反常积分概念266其中g为重力加速度.设在很小一段时间dt内，桶中液面降低的微小量为d x,它们之间应满足兀 R2 d xv 兀 r2 d t ,图 11 - 2由此则有r22 g（ h -所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成tf =/h02d x , x 6 0 , h. x )“积分”：R22 g( h - x)但是在这里因为被积函数是0 , h）上的无界函数,所以它的确切含义应该是tf =limu hlim2 g( h - x)2旦 h - h - u r相对于以前所讲的定积分2g_Rr（不妨称之为正常积分）而言，例1和例2分别提出从物理学知道，

4、在不计摩擦力的情形下，当桶内水位高 度为（h - x ）时,水从孔中流出的流速（单位时间内流过单 位截面积的流量）为v =2 g( h - x),(1)了两类反常积分二两类反常积分的定义定义1 设函数f定义在无穷区间a, + s）上，且在任何有限区间a , u 上可积 如果存在极限ulim / ( x) d x = J,u + a则称此极限J为函数f在a, + s）上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作+ ooJ =/f ( x) d x ,a+ CO+并时 f ( x) d x收敛.如果极限(1)不存在，为方便起见，亦称 / xaa发散 .(1)f ( x) d类似地,可定义f在(-8,

5、b上的无穷积分：267第十一章反常积分bbC f ( x )d x = lim /f ( x) d x ."-su - Mu对于f在(-8, + 8)上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义+ ooa+ 8J f ( x ) d x J f ( x) d x +=a f ( x) d x ,-oo(2)(3)其中a为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的注1无穷积分（3）的收敛性与收敛时的值,都和实数a的选取无关.注2由于无穷积分（3）是由（1 ）、（2）两类无穷积分来定义的，因此，f在任何有限区间v , u （ - oo, + oo）上，首先必须是可积的+ 8f （

6、 x ） d x收敛的几何意义是：若f在a , + °°）上为非负连续函数,则图11-3中介于曲线y = f （ x）,直线x = a以及x轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J .例3 讨论无穷积分(4)的收敛性.解由于u d_x1 xpln因此无穷积分limu f +1-1OO（4 ）当p > 1时收敛，其值为;而当p<11从图11 - 4看到,例3的结论是很直观的：p的值越大，曲线y = xpx> 1时越靠近x轴，从图 11 - 3y时发散于+ 8而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 越大.例4 讨论下列无穷积分的收敛性+ OO1)八d x

7、2() ln x) p;+ ood x22-00 1 + x解1 ）由于无穷积分是通过变限定积分的极图 11 - 4限来定义的，因此有关定积分的换元积分法和§1反常积分概念268(5)分部积分法一般都可引用到无穷积分中来+ oo.对于本例来说，就有p2 x (In x )d ttp从例3知道，该无穷积分当 p > 1时收敛，当p W1时发散2）任取实数a,讨论如下两个无穷积分a d x2001 + x由于limd x _lim(arctanarctanu - - 0°arctanvd x _lim(arctan v - arctan a)v + 00 a 12x因此这

8、两个无穷积分都收敛2.由定义1 ,-arctanoo2001 + x°° 1 + x / 1 +兀.注 由于上述结果与 a无关，因此若取a = 0，则可使计算过程更简洁些.定义2设函数f定义在区间（a , b上，在点a的任一右邻域内无界，但在任何 内闭区间u , b （ a , b上有界且可积.如果存在极限blim f ( x ) d x = J ,+ J uu a u则称此极限为无界函数f在(a , b上的反常积分，记作pb.J = f f ( x) d x ,ab并称反常积分/a f( x) d x收敛.如果极限(5)不存在，这时也说反常积分bf ( x ) d x 发

9、散 .在定义 2 中 , 被积函数f 在点 a 近旁是无界的, 这时点 a 称为 f 的瑕点 , 而无b界函数反常积分/a f ( x)d x又称为瑕积分.类似地 , 可定义瑕点为b 时的瑕积分:buf ( x) d x = lim f ( x )d x .a au-b-a a其中f在a , b)有定义,在点b的任一左邻域内无 界，但在任何a , u a , b)269第十一章反常积分上可积.若f的瑕点c 6 ( a , b),则定义瑕积分f ( x) d x = ff ( x) d x + f ( x )d x a aa ac cublim /f ( x) d x + lim /f ( x)

10、 d x .u c-'av c+ v v(6)其中f在a , c) U( c, b上有定义，在点c的任一领域内无界，但在任何a , u ia , c)和v , b ( c, b边的瑕积分才是收敛的上都可积.当且仅当(6 )式右边两个瑕积分都收敛时,左积分又若a、b两点都是f的瑕点,而f在任何u , v ( a, b)上可积，这时定义 瑕b/a ( x )d x =#(x ) d x + 户(x) d xa accvlim 件(x) d x + lim f ( x) d x ,u-a+ Ju(7)其中c为(a , b)内任一实数.同样地，当且仅当(7)式右边两个 瑕积分都收敛时, 左边的

11、瑕积分才是收敛的.例5计算瑕积分解被积函数f ( x)=d x1 - x21的值.产0,1 )上连续，从而在任何0, u 0 , 1)上可积,x = 1为其瑕点.依定义2求得limarcsinlimu(8)例6讨论瑕积分o xq ( q > 0)x的收敛性.解 被积函数在(0,1 上连续,x = 0为其瑕点.由于(0 < u < 1),故当0 < q < 1-In u ,时，瑕积分(8 )收敛，且q = limXqu.0 +11 - q;§1反常积分概念270而当q>1时,瑕积分（8）发散于+ 8上述结论在图11- 4中同样能获得直观的反映如果把例

12、3与例6联系起来,考察反常积分d xxp ( P >0 ).(9)我们定义0 xPxp，它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果可知，这两个反常积分不能同时收敛，故反常积分（9 ）对任何实数p都是发散的.1.讨论下列无穷积分是否收敛xex?若收敛，则求其值:(3)r1 x+ 00(1 + x)x sin xd x;- 00 4 x2 + 4 x + 5+ 0°(7)/ex sin xd x ;0+ co(8) /02.讨论下列瑕积分是否收敛（1）/b d;?若收敛，则求其值:(x - a)d x；2-x(4)彳1( 5)/。ln(6)x .d x;1

13、(7)/0 x( In x)bf2 ( x) d x不一定收敛.ab.举例说明：瑕积分/a( x ) d x收敛时,+ oo.举例说明：/af ( x) d x收敛且f在a , + %上连续时，不一定有limx-+oo f( x) =0 .+ 85 .证明：可a f ( x ) d x收敛，且存在极限f ( x) = A ,则A = 0 . limx +°0270第十一章反常积分(2)+ CO.6 .证明：若f在a, + °°)上可导,f (x) d x小+ oof ( x)dax都收敛，则lim+°° f ( x)=0 .他无穷积分的性质与收

14、敛判别一无穷积分的性质+ 8由定义知道，无穷积分fa f( x) d x收敛与否，取决于函数 F( u )=urf ( x ) d x在u + 00时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则.+ 8定理11 .1无穷积分fa f ( x ) d x收敛的充要条件是：任给A 0，存在G>a,只要ui、U2 > G,便有此外,还可根据函数极限的性质与定积分的性质,导出无穷积分的一些相应性质. + °°性质1若faf1 ( x) d x手a f2 ( x) d x都收敛，ki、k2为任意常数，则一 + oo +k1 f1 ( x) + k

15、 2 f2 ( x) d x 也收敛,且 a + 0°+ °°+ °°/ k1f1( x ) + k2af2( x ) d x = /1f1( x ) d x + /2 af2 (x)d x . ( 1)+ coa性质2 若f在任何有限区间a , u上可积，a < b,则+ 8f f ( x) d x同敛态(即同时收敛或同时发散),且有 b b+ oob+ OOf f ( x) d x = f ( x )d x +f ( x )d x ,J aab b其中右边第一项是定积分.性质2相当于定积分的积分区间可加性+ 8由它又可导出/ f (

16、x )dx收敛的aG时，总有另一充要条件：任给£>0 ,存在G > a，当u >+ OOf f ( x ) d x <u§2无穷积分的性质与收敛判别271事实上,这可由C f ( x ) d x = /f ( x ) d x + C f ( x ) d x J aau u结合无穷积分的收敛定义而得.+ OO性质3若f在任何有限区间a , u上可积,且有+ 8f ( x) d x亦必收敛,并有 a| f ( x ) | d x 收敛, 则(3)f ( x) 1 d x收敛，根据柯西准则(必要性)，任给> 0 ,存在G >a ,当 u2 &g

17、t; u 1> G时，总有/u 2 I f ( x ) Iduf I f ( x ) I d x < £.u1利用定积分的绝对值不等式,又有f ( x ) d x < £.11+ OO再由柯西准则(充分性)，证得f ( x)d x 收敛.又因代(x) d x <T f ( x )a aJ aI d x ( u > a),令u + 00取极限，立刻得到不等式(3 ).+ OO“af ( x)d x收敛时,f ( x )d x为绝对收敛.性质3指出：绝对收敛的无穷积分,它自身也一定收敛.但是它的逆命题一般不成立，今后将举例说明收敛的无穷积分不一定绝

18、对收敛.我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛二 比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法.u+由于/ I f （ x ） I d x关于上限u是单调递增的,因更 f（ x） d x收敛的u充要条件是fa I f（ x） I d x存在上界.根据这一分析，便立即导出下述比较判别法 （ 请读者自己写出证明） :定理11 2 （比较法则）设定义在a , + s）上的两个函数f和g都在任何273第十一章反常积分有限区间a , u上可积,且满足f ( x) 1 <g ( x ) , x 6 a, + °°),+ 8| f ( x) | d x 发散则号/g( x) d x收敛4

19、I f ( x) I d x必收敛(或者,a+ oo时,a g ( x ) d x必发散).sin xd x的收敛性.oo解由于1 + xin x1 + x 2 , x 6 0 , + °°),以及J01 +一为收敛2(§1例4 )，根据比较法则,+ 00sinx d x为绝对收敛.01 + x2上述比较法则的极限形式如下推论1 若f和g都在任何a , u上可积，g( x ) > 0 ,且limx 7 + 00I f( x)则有:g( x )= c,1+ 8+ GO当0 < c < + 00 时/ | f ( x ) | d x L g( x )

20、 d x 同敛态;+ 8(ii)当c = 0时，由a g( x ) d x收敛可推知a I f ( x) I d x也收敛；+_+ 8(ii)当c = + 00时，由 g( x ) d x发散可推知f ( x) d x也发散.当选用/也作为比较对象g( x ) d x时，比较判别法及其极限形式成1 xp为如下两个推论(称为柯西判别法推论2则有：(i)当 f ( x)设f定义于a , + °°) ( a > 0 ),且在任何有限区间a , u上可积,，xS a，+ °°)，且 p > 1 时 +；f ( x) 1d x 收敛;(ii)当f (

21、x) >, x a , + 00 ),且 p < 1 时+ 00 f ( x) d x发散.推论3设f定义于a ,+ °°),在任何有限区间a , u上可积，且 limxp f ( x )=入则有:(i)当 p> 1 ,0 < < + s 时 Jf ( x ) I d x收敛;+ oo(ii)当p <1 , 0 V入0s时,j I f ( x) d x 发散.§2无穷积分的性质与收敛判别274例2讨论下列无穷限积分的收敛性+ 81) r x e -xd x;2 )1-x2d x .x + 1解 本例中两个被积函数都是非负的,故收

22、敛与绝对收敛是同一回事1）由于对任何实数都有lim x2 x e xx f + 00a+ 2lim ex = 0,因此根据上述推论3（ p = 2 ,右0）,推知1 ）对任何实数0c都是收敛的.2）由于12lim 2xx - + - x I 二1因此根据上述推论3( p = -, = 1 )，推知2)是发散的.2b对于A I f ( x ) Id x的比较判别亦可类似地进行三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法定理11 .3 （狄利克雷判别法）若F（ u ）u=J f ( x ) d x 在a , +a+ 8g（ x）在a , + °°）上

23、当x + -时单调趋于0，则a f ( x ) g( x ) d x证由条件设6 a , + 00 ).任给 e> 0）上有界, 收敛.,由于G时，有g ( x ) = 0 ,因此存在G > a ,当x limx f + cog( x ) I又因g为单调函数,利用积分第二中值u2 > u1 > G ,存在 工 6 u 1 , u2 ,使得4 M定理（定理9 .10的推论）,对于任何U2f ( x) d x .于是有u/u2f ( x ) g( x )g( u 1f ( x ) d x + | g( uc u 2C f ( x) g( x) d x = g ( u 1 f

24、 ( x ) d x +)/g( u 2)/uu11=I g( u 1 ) ,/f ( x) d xT a274第十一章反常积分I g(U 2 ) I 2 f ( x ) d x - Jf ( x ) d xaa4 oM根据柯西准则，证得/a f（ x ） g（ x ） d x收敛.定理11 .4 （阿贝尔（Abel）判别法）a f ( x) d x 收敛,g( x )在a , +上单调有界，贝旷af ( x ) g ( x ) d x 收敛.这定理同样可用积分第二中值定理来证明，但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明（留作习题）.例 3讨论/ + °° sin x dJ

25、 与d x8cos x1xpp d x ( p > 0 )的收敛性. x解这里只讨论前一个无穷积分,后者有完全相同的结论.下面分两种情形来讨论:(i)当 p >+ 0°队sjnd x绝对收敛.这是因为pxsin x1xp , x 6 1 ,1 xp 当 p >1时收敛，故由比较法则推知+ 8xPd x收敛.(ii)当 0 < psin-d x条件收敛.这是因为对任意u > 1 ,有/sin x d xoo),故1cos 1 - cos|u<2 ,而1 -当p >0时单调趋于0 （ x -+ oo由狄利克雷判别法推知sind x当p >0

26、时总是另一方面,由于收敛的.xp+ OOsin xsin2 xcos 2 x2 x , x 6 1 , + °°), x xoocos 2 x2 x dcos满足狄利克雷判别条件，是收敛的，而是发散的,因此当0p <1时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条件收敛的.例4 证明下列无穷积分都是条件收敛的§2无穷积分的性质与收敛判别276+ 8sin x2 d x/+ OO+ 8cos x2 d x ,xsin x4 d x .证前两个无穷积分经换元t =得到+ 8sin+ 0°cosx2 dx2 dsin2-t-d t ,cos t由例3已知它们是条

27、件收敛的对于第三个无穷积分,经换745 +xsin x d x+00 sin 2ft2 d t ,它也是条件收敛的.从例4中三个无穷积分的收敛性可以看到，当x - + 8时被积函数即使不趋于零,甚至是无界的,无穷积分仍有可能收敛1 .证明定理11 .2及其推论1 .2 .设f与g是定义在a , + 8)上的函数，对任何u > a ,它们在a , u上都可积.证明: + 8+ 8+ 8+ 8若f a f2 ( x) d x y a g2 ( x) d x 收敛，?( ” x) g( x) d x fa f ( x) + g( x ) 2 d x 也 都收敛.3 .设f、g、h是定义在a ,

28、 + °°)上的三个连续函数，且成立不等式h ( x ) < f ( x ) <g( x).证明：+ 8+ 8+ 8(1)若 /a h( x ) d x y a g( x) d x 都收敛，犷a f ( x) d x 也收敛；(2)又若J+ 0°h(x) d x a+ OO+ oo+=fg( x) d x = A ,加 f()d A4 .讨论下列无穷积分的收敛性x4 + cox .d x ;1+ oo( 3)/(5)f+ + 8d x;(4)1 + xx arctan3 d x; x+ coln( 1 + x) d x ;d x( n、m > 0

29、 ).(6.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛sin x ,(i)Td x ;(2 )1 x+ s sgn( sin x)277第十一章反常积分(3)/x cos xd x+ CO0)100 + X+ COln( ln x) .sin x d x .e In x(4°+ OO+ oo+ oo6 .举例说明:/a f ( x) d x收敛日工 f2 ( x) d x不一定收敛;/af ( x ) d x绝对收敛时,+ 8f2 ( x) d x也不一定收敛.a+ CO+ CO7 .证明：H f ( x ) d x绝对收敛，且lim f ( x) =0 ,加 f2 ( x) d x必定

30、收敛ax f + 0°Da',+ oo8 .证明：若f是a , + oo)上的单调函数，且 f ( x) d x收敛，则limf ( x) = 0 ,且 f ( x)1x , x 一 十 00+ oo9 .证明：若f在a , + oo)上一致连续，且/a10 .利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法.f ( x) d x收敛,贝U lim x +°0f ( x)=§3瑕积分的性质与收敛判别类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质，瑕积分同样可由函b数极限lim f ( x)u " u定理11 5bf( x )d x的原意写出相应的命题b瑕积外a

31、 f( x ) d x(瑕点为a)收敛的充要条件是:任名£> 0 ,存在 S > 0 ,只要 U1、U2 6( a , a + 8)，总有b b族(x ) d xf(x )d x< £.u1性质1 设函数f1与f2的瑕点同为xbb件1 ( x) d x与#2 ( x) d x都收敛时，瑕积分f|a aaa , k1、k2为常数，则当瑕积分bki fia(x) + k2f2 ( x ) d x必定收ba敛,并有bbfa k1 f1 ( x) + k 2 f2 ( x ) d x =f1 ( x ) d x +k2k/af2 ( x ) d x .( 1)性质

32、2 设函数f的瑕点为x = a, c 6( a , b )为任一常数.则瑕积分 bc/f ( x ) d x与ff ( x ) d x同敛态,并有( 2)aaf ( x )d x = ff ( x) d x + f ( x )d x ,aacb其打f ( x ) d x为定积分.§3瑕积分的性质与收敛判别277性质3b积则当设函数f的瑕点为x = a , f在(a , b的任一内闭区间u , b上可 bf ( x)| d x收敛时,/f ( x)d x也必定收敛,并有b户(x)d xa可 I f ( x) I d x .(3)同样地，当/ If ( x ) I d x收敛时，前夕f

33、( x) aad x为绝对收敛.又称收敛而不绝对收敛的瑕积分是条件收敛的.判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下：定理11 6 (比较法则)设定义在(a , b上的两个函数f与g ,瑕点同为x=a,在任何u , b i( a , b上都可积,且满足b则4( g( x ) d x收敛/ 时，g( x) , x 6( a , b.bbI f ( x ) I d x必定收敛(或者，当/f ( x) d x发散时,bg ( x)d x亦必发散).a推论1 又若g( x) > 0 ,且limx abc,则有:I g( x)/(i)当 0 < c < + 00 时，I f ( x )

34、d x 与 g( x ) d x 同敛态; aabb(ii)当 c = 0 时，ig(收敛可推知J f ( x)I d x也收敛;d x也发散.(iii)当c = + 00时，叫g( x ) d x发散可推知/ I f ( x )当选用/b _d作为比较对象/%( x) d x时，比较法则及其推论1成为 a ( x - a) pa如下的推论：推论2 设f定义于(a , b , a为其瑕点,且在任何u , b ( a , b上可积, 则有：.1 一 一. 一" ( i) 当 I f ( x) I 77, 且 0 < P < lim + x - 1 日Vf ( x) 1 d

35、x 收敛；(x - a)ab1( ii) 有 f ( x) ( x - a) p,且 P m 1 时，/J f ( x) d x 发散.推论3 设f定义于(a，b , a为其瑕点，且在任何u，b ( a，b上可积如果lim+ ( x - a) P ： ( x J=4 x 一 a则有：279第十一章反常积分b(i)当 0 < p < 1 , 0< < + 00旷a f ( x) d x 收敛;(ii)当p A1 , 0 <入4-时fba f ( x) d x 发散.判别下列瑕积分的收敛性ln x .d x;x22)f -J * 11nd x .x解 本例两个瑕 积分

36、的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号ln工在（0,1上恒为负, ln在（1 , 2 上恒为正所以它们的瑕积分收敛与绝 x对收敛是同一回事.1）此瑕积分的瑕点为.由上述推论3 ,当取p = 34< 1时，有limx 0 +ln xln x1limlim ( 4 x 4x 0 +所以瑕积分1）收敛.2）此瑕积分的瑕点为x = 1.当取p = 1时，由入=lim + ( xx 1/ x1 )" In x推知该瑕积分发散.最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子.例2 讨论反常积分+ 0°0( %)=a- 1x d x1 + x d x的收敛性把反常积分0( %)写成1- 1a- 1x 1J(%.(i)点为x先讨论I( %).当- 1 >0 ,即Q1时它是定积分；当公1时它是瑕积分，瑕=0 .由于a- 1limx - 0 +X1 + = 1 ,x根据定11 .6推论3 ,当0 < p%< 1 ,即户0且？F 1时，瑕积分I ( a)收§3瑕积分的性质与收敛判别281敛；当p = 1 - 口号,即<0且？= 1时，I ( %)发散.(ii)再讨论J(%)，它是无穷积分.由于O- 1lim x2 - a x = lim 1X f + 8 x