专题8-数轴穿根法

1、专题：数轴穿根法“数轴穿根法”又称“数轴标根法”第一步：经由过程不等式的诸多性质对不等式进行移项，使得右侧为0.(留意：必定要包管x前的系数为正数)例如：(x-2)(x-1)(x+1)>0第二步：将不等号换成等号解出所有根.例如：(x-2)(x-1)(x+1)=0的根为：x1=2,x 2=1,x 3=-1第三步：在数轴上从左到右依次标出各根例如：-1 1 2第三步：画穿根线：以数轴为尺度 ，从“最右根”的右上方穿 过根，往左下画线，然后又穿过“次右跟”上去 ，一上一下依次穿 过各根.第四步：不雅察不等号，假如不等号为“ >”，则取数轴上方 穿根线以内的规模；假如不等号为“ <

2、”则取数轴下方 ，穿根线以 内的规模.例如：若求(x-2)(x-1)(x+1)>0 的解.因为不等号威“ >”则取数轴上方，穿根线以内的规模.即： -1<x<1 或 x>2.穿根法的奇过偶不过定律：“奇穿过，偶弹回”还有关于分式的问题：当不等式移项后，可能是分式，同样是可 以用穿根法的，但是留意，解不克不及让本来分式下面的式子等于0专项练习：1.解不等式(2x 1)(x 1)(x 3) 0解析：1) 一边是因式乘积.另一边是零的情势，个中各因式未 知数的系数为正.2)因式(2x 1) . (x 1) . (x 3)的根分离是-.1.3.在数3)从最大根3的右上方开

3、端，向左依次穿线(数轴上方有线暗示数轴上方有函数图象,数轴下方有线暗示数轴下方有函数图象，此线其实 不暗示函数的真实图象).4 )数轴上方曲线对应的x的取值区间，为(2x 1)(x 1)(x 3) 0的解集，数轴下方曲线对应的x的取值区间，为(2x 1)(x 1)(x 3) 0的解集.1不等式(2x 1)(x 1)(x 3)0 的解集为(-,1)(3,).在上述解题进程中，学生计在的疑问往往有：为什么各因式中未知数的系数为正；为什么从最大根的右上方开端穿线；为什么数轴上方曲线对应的x的聚集是大于零不等式的解集，数轴下方曲线 对应x的聚集是小于零不等式的解集2.解不等式(x 2)(1x 1)2(

4、x 3)3 0解析：1） 一边是因式乘积.另一边是零的情势，个中各因式未知数 的系数为正.2）因式（x 2）. （1x 1）2.（x 3）3的根分离为 2. 2. 3,在数轴上把它们标出（如图 2）.3）从最大根3的右上方开端向左依次穿线，次数为奇数的因 式的根一次性穿过，次数为偶数的因式的根穿而不过.4）数轴上方曲线对应的x的取值区间，为(x 2)(2x 1)2(x 3)3模，为(x 2)01 x 1)2(x123(x 2)(2x 1)2(x 3)30的解集，数轴下方曲线对应的x的取值规3）3 0的解集.0的解集为（2,2）数轴标根法.分式不等式.绝对值不等式一.数轴标根法解不等式(x-1

5、)(x- 1 ) 2 (x-1. (x-1 ) ( x-2 ) (x+3)>02.(x-2) (x+3)<03.(1- x ) (x-2) (x+1)04.2) 3 (x+1)0二.分式不等式思虑 （1） = 0与x 3 x 2 0解集是否雷同，为什么？ x 2（2）q0与x 3 x 2 0解集是否雷同，为什么？ x 2解：办法1：应用符号轨则转化为一元一次不等式组，进而进行比 较.办法2:在分母不为0的前提下，双方同乘以分母的平方.经由过程例1,得出解分式不等式的根本思绪：等价转化为整 式不等式（组）：(1) f x 0 fxgx 0(2) f x g xg x1 x 3 c2

6、13 2x 1 .0 1.- 13.12 x x x 34 x2 3x 25xx3c.0.20x 2x 39 x三.含绝对值的不等式的解法|x|>a(a>0)|x|<a(a>0)例3:解下列不等式1. 2x 1 32.3.|x 2-2x|>x 2.4.巩固演习21.解不等式2x 3x 1 0 3x2 7x 23x 1.13 x2x1 2x 1的解集是x x4 . (2012山东理)若不等式|kx /fxgx 00g x 06.0 x - 1xx 1(x 1) 0x 1(x 1) 02.解不等式2的解集为x1 x 3,则实数k .5.解不等式(2x- 1 ) 2 (

7、x-2) 3 (x+1)06.解不等式(3-x ) 2 (x-2) (x+1) 7 0不等式解法15种典范例题典范例题一例 1 解不等式：(1) 2x3 x2 15x 0； (2) (x 4)(x 5)2(2 x)3 0.剖析：假如多项式f(x)可分化为n个一次式的积，则一元高次不等式 f (x) 0 (或 f(x) 0)可用“穿根法”求解，但要留意处理好有重根的情形.解：(1)原不等式可化为x(2x 5)(x 3) 0把方程x(2x 5)(x 3) 0的三个根K 0,x25，x3 3按序标上数轴.然后从右上开端画线按序经由三个根，其解集如下图的暗影部分.原不等式解集为x 2 x 0或x 3(

8、2)原不等式等价于(x 4)(x 5)2(x 2)3不等式解集为x 5 0x5(x 4)(x 2) 0 x4或x 2x x5或 5 x4或 x 2解释：用“穿根法”解不等式时应留意：各一次项中x的系数必为正；对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法”，但留意“奇穿偶不穿”，其法如图.典范例题二例2解下列分式不等式：(1 )工1 2 ；( 2 )x 2 x 22 x 3x24x 17x 2剖析：当分式不等式化为f(x) 0(或0)时，要留意它的等价变形g(x)3 0 f(x) g(x) 0；这 0 f(X)g(x)0g(x)g(x)g(x) 0(1)解：原不等式等价于用“穿

9、根法”原不等式解集为(,2)1,26,2解法一：原不等式等价于0x 1W x 1或x 2, .原不等式解集为11(,3)(11)(2,).解法二：原不等式等价于用“穿根法”.原不等式解集为(，1) (1,1) (2,)32典范例题三例3解不等式x2 4 x 2剖析：解此题的症结是去绝对值符号，而去绝对值符号有两种办 法：一是根据绝对值的意义|a a：, % ；二是根据绝对值的性质：x aa x a, x.a x a或x a ,是以本题有如下两种解2_2_x40 x402_2_x4x24xx2法.解法一：原不等式x 2或 x 2T. 2或2 x x x2 x 3或1 x 2,故原不等式的解集为x

10、1 x 3 .解法二：原不等式等价于(X 2) x2 4 X 22 x 4 x 2.2x3即. 故1 x 3 .x2 4 (x 2) x 1 或x 2典范例题四例4解不等式x2 6x 52 0.12 4x x2剖析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于x二次式的商，由商2的符号轨则，它等价于下列两个不等式组：x 6x 5 0或 12 4x x2 02 cL Cx 6x 5 0,所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的12 4x x2 0并集.也可用数轴标根法求解. 2解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：x 6x 5 0,或12 4x x2 0x2 6x 5 0,一， 2 一12

11、4x x 0(x 1)(x 5) 0,前(x 1)(x 5) 0,1 x 5，前 x 1,或x 5,(x 2)(x 6) 0; (x 2)(x 6) 0;2x6 x 2,或x 61*5,或*2或*6.,.原不等式解集是xx2,或 1 x 5,或x 6.解法二:原不等式化为阳舞0.画数轴，找因式根，分区间,xx 2,或 1 x 5,或x 6.(x 1)(x 5)符号(x 2)(x 6)7E付尸.原不等式解集是解释：解法一要留意求两个等价不等式组的解集是求每组两 个不等式的交集，再求两组的解的并集，不然会产生误会.解法二中，“定符号”是症结.当每个因式 x的系数为正值时，最右边区间 必定是正值，其

12、他各区间正负相间；也可以先决议含0的区间符号 ， 其他各区间正负相间.在解题时要准确应用.典范例题五2 c C 例5解不等式x 2x 2 x .3 2x x2剖析：不等式阁下双方都是含有x的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为0再解.2解：移项整顿，将原不等式化为(x 2)(x x 0 0.(x 3)(x 1)由x2 x 1 0恒成立，知原不等式等价于(x 2)0.(x 3)(x 1)解之，得原不等式的解集为x 1 x 2或x 3.解释：此题易消失去分母得x2 2x 2 x(3 2x x2)的错误会法.防止误会的办法是移项使一边为0再解.别的，在解题进程中，对消失的二项式要留意其是否有实根

13、，以便剖析不等式是否有解，从而使 求解进程科学合理.典范例题六例6设m R,解关于x的不等式m2x2 2mx 3 0 .剖析：进行分类评论辩论求解.解：当m 0时，因3 0必定成立，故原不等式的解集为R.当m 0时，原不等式化为(mx 3)(mx 1) 0 ；若m 0时，解得3 x工；若m m m0时，解得工x -综上：当m 0时，原不等式的解集为当m 0时，原不等式的解集为解释：解不等式时，因为m R,是以不克不及完整按一元二次不等式的解法求解.因为当 m 0时，原不等式化为 3 0,此时不等式的解集为R,所以解题时应分m 0与m 0两种情形来评论辩论.在解出m2x2 2mx 3 0的两根为

14、为 3 , x2工后，以为 31，这也 m mm m是易消失的错误之处.这时也应分情形来评论辩论：当m 0时，2 1；当 m 0 时，3 1. m mm m典范例题七例7解关于x的不等式J2axa2 1 x （a 0）.剖析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类评论辩论求解.解：原不等式由a 0 ,得:22ax a 0,22 x a 0(1) 1 x 0,或(2)221 x 0.2ax a (1 x);ax 2, x 1, x2 2(a 1)x a2 1a/c、 x(2)20; x 1.由判别式4(a 1)2 4(a2 1) 8a的解是 a 1 J2W x a 1 J2a.当 0 a

15、 2 时，a a 1 V2a 1 , a20 ,故不等式 x2 2（a 1）x a2 1 01 &a 1,不等式组（1）的解是a 1场 x 1,不等式组（2）的解是x 1 .当a 2时，不等式组（1）无解,(2)的解是x a .综上可知，当0 a 2时，原不等式的解集是 a 1岳,；当2 2时，原不等式的解集是a,.2解释：本题分类评论辩论尺度“0 a 2, a 2”是根据“已知a 0及(1)中x a, x 1,，(2)中'x ：, x 1' ”肯定的.解含有 参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高考的热门.一般地，分类评论辩论尺度(解不等式)大多半情形下依“不

16、等式组 中的各不等式的解所对应的区间的端点”去肯定.本题易误把原 不等式等价于不等式2ax a2 (1 x),改正错误的办法是练控制无 理不等式根本类型的解法.典范例题八 例8解不等式4x2 10x 3 3 .剖析：先去失落绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即可.解答：去失落绝对值号得 3 4x2 10x 3 3,原不等式等价于不等式组原不等式的解集为 x 1 x 0或2x 3 . 22解释：解含绝对值的不等式，症结是要把它化为不含绝对值的 不等式，然后把不等式等价转化为不等式组，变成求不等式组的解.典范例题九例9解关于x的不等式X2 (a a2)x a3 0.剖析：不

17、等式中含有字母a,故需分类评论辩论.但解题思绪与一 般的一元二次不等式的解法完整一样：求出方程x2 (a a2)x a3 0的根，然后写出不等式的解，但因为方程的,M含有字母a ,故需比较两根的大小，从而引出评论辩论.解：原不等式可化为(x a)(x a2) 0 .(1)当a a2 (即a 1或a 0 )时，不等式的解集为：x x a 或 x a2 ;(2)当a a2 (即0 a 1)时，不等式的解集为：x x a2或x a ；(3)当a a2 (即a 0或1 )时，不等式的解集为： x x R且 x a .解释：对参数进行的评论辩论，是根据解题的须要而天然引出的，并不是一开端就对参数加以分类

18、 .评论辩论.比方本题，为求不 等式的解，需先求出方程的根x1 a, x2 a2,是以不等式的解就是x小 于小根或x大于大根.但a与a2两根的大小不克不及肯定 ，是以须 要评论辩论a a2, a a2, a a2三种情形.典范例题十例10已知不等式ax2 bx c 0的解集是 x x (0).求不等式cx2 bx a。的解集.剖析：按照一元二次不等式的一般解法，先肯定系数c的正负，然后 求出方程cx2 bx a 0的两根即可解之.解：(解法1)由题可断定出，是方程ax2 bx c 0的两根，.又ax2 bx c 0的解集是 x x ,解释 a而 0,0-2ban x x 0 cc11(x )(

19、x -) 0.cba0 0 c 0, cx2 bx a 0x2 - x 0 .acc, 即 x2 ( -)x ( )( -) 0 ,即, (x )(x -) 0 的解集为x - x (解法2)由题意可断定出，是方程ax2 bx c 0的两根, 上 .又ax2 bx c 0的解集是x x ，解释a 0 . a而 0,0 0c 0c0.a对方程cx2bx a 0双方同除以x2得a ()2 b (-) c 0 .x x令t ,该方程即为at2 bt c 0,它的两根为ti,t2,x* , x1 - , x2 , 方程 cx2 bx a 0 的两根为x1x2: 0, . . 不等式cx2 bx a 0

20、的解集是解释：(1)万变不离其宗，解不等式的焦点等于肯定首项系数的正 负，求出响应的方程的根；(2)联合应用韦达定理，本题中只有是已知量，故所求不等式解集也用，暗示，不等式系数a , b, c的关系也用，暗示出来；(3)留意解法2顶用“变换”的办法求方程的根.例12 若不等式2x a2x b的解为()(1,)，求a.b的x2 x 1 x2 x 13值.剖析：不等式本身比较庞杂，要先对不等式进行同解变形，再根据解集列出关于a.b式子.解：: x2 x 1 (x I)2 - 0 x2 x 1 (x I)2 3 024,24,2 a b 0原不等式化为(2 a b)x2 (a b)x a b 0.依

21、题意 ab- - ,2 a b 3a b 42ab 35232解释：解有关一元二次方程的不等式,要留意断定二次项系数的符 号,联合韦达定理来解.典范例题十三例13不等式的解集为 x 1 x 2，求a与b的值.剖析：此题为一元二次不等式逆向思维题 ,要使解集为x 1 x 2不等式ax2 bx 2 0需知足前提a 0 ,0 , ax2 bx 2 0的两根为为 1, x2 2 .解法一设ax2 bx 2 0的两根为b由题意：ax1 , x2,由韦达定理得:1 21 2b2 4a ( 2) 0 .bx1 x2 一 a2x x2 一 a.a 1 , b 1 ,此时知足a 0 ,解法二：结构解集为x 1

22、x 2的一元二次不等式(x 1)(x 2) 0,2a即x2 x 2 0,此不等式与原不等式ax2 bx 2 0应为同解不等式，故需知足： a 2 < a 1, b 1 .112解释：本题考核一元二次方程.一元二次不等式解集的关系，同时还考核逆向思维的才能.对有关字母抽象问题，同窗往往控制得不好.典范例题十四例14解关于x的不等式ax2 (a 1)x 1 0 .剖析：本题考核一元一次不等式与一元二次不等式解法，因为含有字母系数，所以还考核分类思惟.解：分以下情形评论辩论(1)当a 0时，原不等式变成：x 1 0,：x 1当a 0时，原不等式变成：(ax 1)(x 1) 0当a 0时，式变成(x -)(