数值计算课后答案5汇编

1、学习-好资料习题五解答1、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果1 x2 Ji2dx (n =8)， (2) xsin xdx (n =8)、0 4 + xL° 1 .xdx (n =4)， ° edx(n = 4)1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果解：解：将区间0, 1 4等分，5个分点上的被积函数值列表如下(取 2 位小数)x00.250.50.751y00. 060. 120. 160. 20(1) 矩形法。用矩形法公式计算(取2位小数)bb _ aa f(x)dx (y°% 山-yn)an1(0 0.06 0.

2、12 0.16) : 0.094或者bb - af f (x)dx 茫( +y2 +川 +yn)an1(0.060.12 0.16 0.20)0.144(2) 梯形法用梯形法公式计算(取2位小数)：bb - a 1a f(x)dx；(y。yn) % y2 川 yndan 21(0 0.20) 0.06 0.12 0.16 ： 0.114(3) 抛物线法用抛物线法公式计算(取2位小数)：bb-a/ f(x)dx 止 一(y 0+yn)+2(y2+ y4+ill+yn-2)+4(y1+y3+ill+yn-1) a3n1(00.2)2 0.12 4 (0.060.16) : 0.1112更多精品文档

3、8 1 .2、用复化梯形公式计算积分，由此计算吃(注：Qdx = ln2 )，精度要求为10 -。81 .解：-dx Jn8 _|n4 二4 x要求精度为10，即误差不超过；J 10°。2将积分区间4, 8 n等份，则步长在本题中，复化梯形公式的余项为h2f ()=1212 n8 4 4 2 .()2f ()3k()注意到f (x) = , f (x) 二 f (x) =2x， x所以在4，8区间上f (x)乞2 4”，16 2 13n2 433n2要使6冷伏，需有c 2 '6nA -1 10 鼻二 3n2 _104 -6n2 23、用复合梯形公式计算积分100n _ f =

4、 n _ 577.367 二 n 二 578。bf(x)dx，问将积分区间a,b分成多少等份，才 a能保证误差不超过& (不计舍入误差)？解：对于复合梯形公式来说，如果 f (x)在积分区间上连续，则其余项为詈 h2f (), a,b，设 M = max f "(x)，(b -a)12令(b-a)3M3h2f“(q)兰(b-a) M12n212n2(b -a)3M12 ；12 ；即当n珂，(b-a)'M 1时，能保证计算的精度要求。4、已知飞机在高度H的上升速度v(H)如下:H(km)0246810v(km/s)50.046.040.032.222.510.010 1

5、求从地面(H=Okm)上升到H=10km高空所需要的时间一 dH 。(分别用复合梯0 v(H )形公式与高阶牛顿一柯特斯公式)指出：求给定函数的数值积分套用公式即可但须注意给出的数据表不是要求积分的函10_5数表，要求积分的函数表为H(km)0246810v(km/s)50.046.040.032.222.510.01/v: xe cosxdx5、用龙贝格方法计算下列积分，要求误差不超过1 2(1) 0 dx (2)解：(1)依次应用龙贝格积分的四个公式进行计算:1 h 二1T2n = 2Tn + 2 ? f (Xk+J2 2 k=03TnCn4 S?n - Sn42 -134 C2n- 64

6、3 - 1-x e计算结果列表如下:iT2i丄c尸R2i-3-00. 7717433110. 728069910. 713512120. 716982810. 71328700. 713272030. 7142002|0. 71327260. 71327170. 7132717dx 0-7132717o8 16分别用下列方法计算积分I = J dx，并比较计算结果的精度1 x(1=1.098612 ):(1) 复合梯形法(n=16);(2) 复合抛物线法(n=8);(3) 龙贝格方法，求至R2;(4) 三点高斯一勒让德公式。 指出： 直接套公式计算 计算结果的精度比较，通过各计算解和精确解比较

7、，求出相应的误差，再比较 误差大小的方法进行。 三点高斯一勒让德公式为0859f(0) 9f15f (x) : 59当积分区间不是1, 1而是a,b 时，为应用高斯一勒让德公式，需要作，将a,b化为1, 1 。b-a丄 a b变量代换xt2 2石瑞民数值计算中没有给出三点高斯一勒让德公式，但给出了3、4、5点公式系数表。7、试确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出h上 f(x)dx - 0 f (-h) ： J f (0) ： ；，2f (h);2h勃 f(x)dx='%f(-h)/(0) "(h)；1 1f(x)dx ： 3f(-1) 2f(xJ

8、3f(X2)；bb- a2a f(x)dxf(a)f(b) c(b-a) f (a) - f (b)的求积公式具有的代数精度：(1)解:即(1) 求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x) = 1，x，x2精确成立,| %*2 = 2h.h"3，hh斗 f (x)dx : - f(-h)3円-扎h +入2h =0 打h2 +打h2 =2h3/3解之得0，少3 3所以，数值求积公式为而x3dx =h(-h)3 - h3，733x4dx = h (_h)4 h4，山33所以上述积分公式具有3次代数精度(实际上这是抛物线公式)。求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x) = 1

9、, x，x2精确成立，即 '2 =4h“ 一対h +打h =0?初2 +妇=16h3/38h4h8h解之得0, ，2 ：3332h8h4h8h所以，数值求积公式为f(x)dx ：丄f (_h) 一f (0) f(h)朝3332h x3dx =8hh)3 8h(h30 ,333fh x4dx-2h64 5 8h 4 4h二訂飞(旳盲04.辿h4所以上述积分公式具有3次代数精度指出:由于本题的节点实际上仅分布在半个积分区间，因此积分精度低(3)求积公式中有2个待定参数，需要列两个方程组成的方程组。当f(x)=1时，有1dx =2-11(1 2 3) =23因此需令求积公式对f(x) = x

10、，x2精确成立，即1(-1 2X1 3X2)=033扌(-1)2 2x2 3x； =|化简得2%3屜=1i 222%3屜=1解之得1 -. 653 2.6151.653 - 2、615所以，数值求积公式为14f(x)dx：1f(-1) 2f(6) 3f(3 2 6)351514f(x)dx£f(-1) + 2f(竿)+3f(353-2615)对第一个积分公式,当 f (x)二 x3 时，1 3x dx = 03 ()32 (宁3(专)'°所以上述积分公式具有2次代数精度。指出：求出的是两个积分公式，不能认定两个节点有大小顺序规定而只取一个, 实际上仅仅是两个点必须是

11、按求出的成对。(4) 求积公式中仅含有一个待定参数c。令 f(x)=1，有ba f (x)dx =b -a,宁f(a) f(b) c(ba)2f (a) f (b)二与?1 1 c(b a)20 0 = b ab -a- b二f(x)dx =令 f(x)=x，有bb2f(x)dx =f(a) f(b) c(b-a)2f (a)-f (b)a22 f(a) f(b) c(b-a)2f (a)-f (b)二宁a b抽-骄1-1 = bb_ a2a f(x)dx f(a) f (b) c(b-a) f (a) - f (b)ba令f (x) =x2时公式准确成立，则33b -aaf(x)dx ,b

12、- ab a (a2 b2)2c(ba)3f(a) f (b) c(b -a) f (a) - f (b)=乎a2 b2 c(b _a)22a _2b二1 c = 12b - a b - a 223 (a b ) - 2c(b - a)=32则求积公式为：f(x)dx - a f (a)f(b)£(b -a)2 f (a) - f (b)a 2 12将f (x) =x3代入求积公式，有幕、db4_a4、L f(x)dx = ,b -a12f (a)十 f (b) +石(b a)2fa) f lb)2 12二导a3 b3 2(b a)23a23b2= _ 2a3 +2b3 _(a _b

13、)(a2 _b2)4b a 3= J(a+b)34 ,b4 _a4 b _a 3(a b)344所以，求积公式具有2次代数精度。指出：可否认为，或是否有必要认为 a和b是未知待定的？使之对于f(x) = 1，x，x2，x3&试构造高斯型求积公式xdx ：r0 f (x0)二也f (xj，f (x) =1,x,x2,x3 均能成立。解：求积公式中有4个待定的未知数，故令求积公式对 精确成立，即、-_2人0牛州_ 3、厂_2上 上瘁1 n2 丄22入 °xo + 入 Xi =7“3 丄“32上 +人为=.9从前两式从解出'o, 'i (用矩阵方程形式)有f 22、

14、打X。X133占丿X1丿对后两式有7219丿1 1、?-1说X1故有<XoXi丿2、3 =2 -<5丿2Xi3Xi丿化简得2 2 (XoXi)_ .r 72 2 、 2 -XoXi(XoXi)-5792 2 2(Xo X0X, Xi)(Xo xj令XoXi =UXoXi 二 V则上述方程组化为i 2 i 2 iiu v u 3779iii cu v 0579解之得,5i0u ,v =2i9于是有x0 =0.289949,捲=0.82ii62, 0 =0.277556, 1 =0.389iii故所求的积分公式为o .Xdx : 0.277556 f (0.289949) 0.389i

15、ii f(0.82ii62)。指出：注意方程组的解法。 X0 < Xi，'0, 'i与X°,X相对应(由前两个方程决定)。 方程组中'0, 'i是一次的，而且前两个方程中X0,Xi也是0次、i次的，因 此从前两个方程中解出0,'i (用X0, Xi表示)代入后两个方程中求X0,Xi就是比较 容易想到的方法。而用矩阵格式简化计算，用变量代换简化方程则是数学的技巧。X0.40.50.60.70.89、利用下表求x=0.6处的一阶导数。f(x)1.58364941.79744262.04423762.32750542.6510818指出： 没有

16、限定方法，就可以用任何合适的方法。 可用中点公式，只用0.5、0.7两点函数值。 可以构造4阶拉格朗日插值多项式。 可以用三次样条插值。 可以用待定系数法构造数值微分公式。补充题(一)1用三种基本积分公式计算dx1 x2(四等分积分区间)(1)矩形法x11.251.5y0.500.390.31x1.752y0.250.20分析与解答1、解：将区间4等分，5个分点上的函数值为(取2位小数)用矩形法公式计算(取2位小数)211 f(x)dx(y° % y2 y3)=0.361 4或者2 1f (x)dx ： (力 y2 y3 y4)=0.2914(2) 梯形法用梯形法公式计算(取2位小数

17、)21 11 f (x)dx ： - (y。 y4)% y2 y3) =0.3314 2(3) 抛物线法用抛物线法公式计算(取2位小数)2 1J f(x)dx(y 0+y4)+2y2+4(y1+y3) = 0.32补充题(二)1、试确定一个具有三次代数精度的公式。3 ° f(x)dx ： Ao f(0) Af(1) 乓仁2) AJ(3)2、确定求积公式的代数精度。1丄 f(x)dx f (-3、确定下列求积公式的待定系数，使其代数精度尽可能地高。2h f(x)dx ： Af (-h) Aof (0) Aif (h)4、确定求积节点，使得求积公式hf (x)dx ： f (xo) f

18、(xi)具有尽可能高的代数精度。5、确定下面求积公式中的参数，使得其代数精度尽量高，并指出求积公式 所具有的代数精度。1f (x)dx : f (一 1) 2f(x1) 3f (x2)/ 3分析与解答1、解：分别取f(x)= 1, x, x2, x3,使求积公式准确成立，则得下面的方程组。A+2A2+3=92A, +4人 +9人=9A 十8人 +27A3=81/4解之得 Ao= 3/8，A1 = 9/8,= 9/8, A3= 3/&由此得求积公式为3 3993of(x)dx ：*f(0) 9f(1) 9f(2) 3f(3)08888当将f(x)=£，代入时，上式不能精确成立，

19、故所得公式具有3次代数精 度。2、解：取f(x)=)k代入求积公式，得k1 (T)kR(xk) = J：xkdx(一 £)k+爭珂-k 1容易验证，R(x0)=R(x)=R(x2)=R(x3)=0,但是 R(/)=8/450所以求积公式的代数精度为3。(直接取f(x)二1, x, x2, x3, x4验证也可)3、解：求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x) = 1, x, x2精确成立,得解之得 A-i=Ai= 8h/3 , Ao= 4h/3 ,所以，数值求积公式为2h8h4h8hf(x)dx f(-h) f(0) f(h)Nh333帛2h3门8h38h以而 x dx (-

20、h) h 0角3、'32h J 8h 48h 4Nhxdx=T(-h)yh所以上述积分公式具有3次代数精度(实际上这是抛物线公式)4、解：显然，解答本题需要确定三个参数 h、xo、xi，那么，我们需要三个方 程。令求积公式对f(x) = 1, x, x2精确成立，得1 +1 =2hIXo x1 = 02*2 2h3Xo +X1解之得xo二3所以求积公式为3.3 亠.3,为=,h =1;或 xo =, xi = , h =1,333134 f(x)dx : f ) f3此求积公式具有指出：第3题中 应用性。本题中,3次代数精度，求积节点为-和一3。(验证从略)。33h是作为已知量的，这样得出的求积公式有