圆锥曲线常考题型总结

1、圆锥曲线大综合第一部分圆锥曲线常考题型和热点问题一常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型十一： 存在性问题 （存在点， 存在直线ykxm ，存在实数， 三角形（等边、 等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆 ）二热点问题1. 定义与轨迹方程问题2. 交点与中点弦问题3. 弦长及面积问题4. 对称问题5. 范围问题6. 存在性问题7. 最值问题8. 定值，定

2、点，定直线问题第二部分知识储备一与一元二次方程 ax2bxc0(a0) 相关的知识（三个“二次”问题）1.判别式：b24ac2.韦达定理：若一元二次方程ax2bxc0(a0) 有两个不等的实数根x1, x2，则x1x2b ， x1 x2caa3.求根公式：若一元二次方程ax2bxc0(a0) 有两个不等的实数根x , x，则12x1,2bb24ac2a二与直线相关的知识1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式2. 与直线相关的重要内容：倾斜角与斜率：y tan ，0, ) ；点到直线的距离公式：dAx0By0C （一般式） 或 dkx0 y0b （斜截式）A2B 212

3、k 23.弦长公式：直线ykxb 上两点 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) 间的距离：AB1 k 2 xx2(1k 2 )( xx )24x x ( 或 AB11yy2)11212k 214.两直线 l1 : y1k1x1b1 ,l2 : y2k2 x2b2 的位置关系： l1 l2k1 k21 l1 / / l2k1 k2且b1b25.中点坐标公式：已知两点A( x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，若点 M x, y线段AB 的中点，则xx1x1 , yy1y222三圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。文科：掌

4、握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。2. 圆锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程双曲线的标准方程抛物线的标准方程3.圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数a,b, c 三者的关系，p 的几何意义等4.圆锥曲线的其他知识：通径：椭圆2b2，双曲线2b2，抛物线 2 paa焦点三角形的面积： p 在椭圆上时 SVF1PF2b2tan2p 在双曲线上时 SVF1PF2b2 / tan2四常结合其他知识进行综合考查1 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系2 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与

5、切线方程相关的知识3 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等4 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质5 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五不同类型的大题（ 1）圆锥曲线与圆例 1.（本小题共14 分）223已知双曲线 C : x2y2 1(a0, b0) 的离心率为3 ，右准线方程为xab3（）求双曲线C 的方程；（）设直线l 是圆 O : x2y22上动点 P( x0 , y0 )( x0 y00) 处的切线， l 与双曲线C 交于不同的两点A, B ，证明AOB的大小为定值 【解法 1】本题主要考查双曲线的标准方程、

6、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力a23（）由题意，得c3，解得 a1,c3 ，c3a b2c2a22 ，所求双曲线C 的方程为 x2y21 .2（）点 P x0 , y0x0 y00在圆 x2y22 上，圆在点 Px0 , y0 处的切线方程为yy0x0x x0，y0化简得 x0 xy0 y2.x2y212224 x24x0 x20 ，由2及x0y02 得 3x08 2x0x0 xy0 y2切线 l与双曲线 C 交于不同的两点 A、 B，且 0x022 ， 3x0240 ，且16x024 3x0248 2x020，设 A、 B 两点的坐标

7、分别为x1, y1 , x2 , y2，则 x1 x24x0, x1 x28 2 x02 ，3x0243x024uuuruuur cosAOBOA OB，且uuuruuurOAOBuuur uuur12 2 x0 x1 2 x0 x2 ，OA OB x1 x2y1 y2 x1 x2y0x1 x2212 4 2x0 x1 x2x02 x1 x2x08 2x02148x02x02 8 2x022224243x04 2 x03x03x082 x0282x020 .3x0243x024 AOB 的大小为 90 .【解法2】（）同解法 1.（） 点 P x0 , y0x0 y00在圆 x2y22上，圆在

8、点 Px0, y0处的切线方x02 . 由 x2y21及 x02y022程为 yy0xx0 ，化简得 x0 xy0 y2y0x0 xy0 y2得3x024 x24x0 x 8 2x0203x024 y28 y0 x 8 2x020切线 l 与双曲线 C 交于不同的两点A、 B，且 0x022， 3x0240 ，设 A、B 两点的坐标分别为x1 , y1,x2, y2 ，则 x1 x282x02 , y1 y22x028 ，3x0243x024uuuruuurAOB 的大小为 90 .OAOBx1x2y1y20 ，（ x02y022 且 x0 y00， 0x022,0y022 ，从而当 3x02

9、40 时，方程和方程的判别式均大于零） .练习 1：已知点 A 是椭圆 C : x2y21 t 0 的左顶点， 直线 l : xmy 1(m R ) 与椭9t圆 C 相交于 E, F 两点，与 x 轴相交于点 B . 且当 m0 时， AEF 的面积为 16.3（）求椭圆C 的方程；（）设直线AE ， AF 与直线 x3 分别交于 M ， N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否经过点B ？并请说明理由 .（ 2）圆锥曲线与图形形状问题例 2.1 已知 A， B， C 是椭圆 W： x2 y2 1 上的三个点， O 是坐标原点4(1)当点 B 是 W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱

10、形的面积；(2)当点 B 不是 W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由x22解： (1) 椭圆 W： y 1 的右顶点 B 的坐标为 (2,0) 4因为四边形 OABC为菱形，所以 AC与 OB相互垂直平分所以可设 A(1 ，m) ，代入椭圆方程得123.m 1，即 m42所以菱形 OABC的面积是 1 | OB|·|AC| 1 ×2×2| m| 3 .22(2) 假设四边形 OABC为菱形因为点 B 不是 W的顶点，且直线 AC不过原点，所以可设 AC的方程为 y kx m( k0，m0) x24 y24,222由kx消 y 并整理得 (1

11、 4k ) x 8kmx 4m 4 0.ym设 A( x1，y1) ， C( x2，y2) ，则 x1 x214km 2， y1y2kx1x2m24k22所以 AC的中点为 M14km 2,m2.4k14k因为 M为 AC和 OB的交点，所以直线OB的斜率为因为 k·1 1，所以AC与 OB不垂直m.14k21.4k4k所以 OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点 B 不是 W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形x2y21(a b 0) 过点 (2 ， 1)，且以椭圆短轴的两个端点和练习 1：已知椭圆 C ：b2a2一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形.( )求椭圆的标准方程；( )

12、设 M （ x, y) 是椭圆 C 上的动点， P（ p,0) 是 X 轴上的定点， 求 MP 的最小值及取最小值时点 M 的坐标 .（ 3）圆锥曲线与直线问题例 3.1 已知椭圆 C : x2 2y2 4 ，（1）求椭圆 C 的离心率 .（2）设 O 为原点， 若点 A 在椭圆 C 上，点 B 在直线 y2 上，且 OAOB，求直线 AB与圆 x2y22 的位置关系，并证明你的结论.22解析：椭圆的标准方程为：xy1，42a 2 ， b2 则 c2 ，离心率 ec2 ;a2直线 AB 与圆 x2y22 相切 . 证明如下：法一：设点 AB 的坐标分别为x0y0t 2，其中 x00 .uuur

13、uuur因为 OA OB ，所以 OAOB0 ，即 tx02 y00 ，解得 t当 x0t 时， y0t2，代入椭圆 C 的方程，得 t2 ,2故直线 AB 的方程为 x2 . 圆心 O 到直线 AB 的距离 d此时直线 AB 与圆 x2y22相切.当 x0t 时，直线 AB 的方程为 yy02t，2x0xt即 y02 xx0t y 2 x0ty00 .圆心 O 到直线 AB 的距离2 x0ty0.dy02x022t又 x022 y024 ， t2y0 ，故x02 y24 x22x000x0x0d2 .4y2x48x21622x0y00400x022x022y0x02 .此时直线 AB 与圆

14、x2y22相切.法二：由题意知，直线OA 的斜率存在，设为k ，则直线 OA 的方程为 ykx ， OA OB ，当k0时， A20，易知B02 ，此时直线AB的方程为 xy2 或xy 2 ，原点到直线 AB 的距离为2，此时直线 AB 与圆x2y22相切；当 k0 时，直线 OB 的方程为 y1，xk22k22k联立ykx得点 A 的坐标212或122；x22 y21 2k2k2k1 2k4联立y1 x得点 B 的坐标，k2k2y2由点 A 的坐标的对称性知，无妨取点A22k进行计算，12k212k22k2212k2k1于是直线 AB 的方程为： y2x2k2kx2k，21k12 k22k1

15、2k2即 k1 2k2 x 1 k 1 2k 2 y2k 22 0 ，原点到直线 AB 的距离 d2 k222 ,k12k 221k 12k 22此时直线 AB 与圆2y22相切。x综上知，直线AB 一定与圆x2y22相切 .法三：当k0时， A20，易知B02 ，此时 OA2OB2，22OAOBAB2222 ，原点到直线AB 的距离 d222 ，、AB22此时直线 AB 与圆 x2y22 相切；当 k0 时，直线 OB 的方程为 y1，xk设A x1y1B x2y2，则OA 1 k2 x1， OB122 1 k2，k y2ykx22k22k得点 A 的坐标12k212k212k212k2联立

16、2 y2或；x24于是 OA 1 k2 xA2 1 k2， OB 2 1 k2 ,12k24 1222 12k2k，AB24 1k212k12kOA OB21k 221k 2所以 d12k 2k 22 , 直线 AB 与圆 x2y22 相切；AB22 112k2综上知，直线 AB 一定与圆 x2y22 相切练习 1：已知椭圆 C :x2y21(ab0) 过点 (0,1)，且长轴长是焦距的2 倍. 过椭圆a2b2左焦点 F 的直线交椭圆 C 于 A， B 两点， O 为坐标原点 .（）求椭圆 C 的标准方程；（）若直线 AB 垂直于 x 轴，判断点 O 与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说

17、明理由；（）若点 O 在以线段 AB 为直径的圆内，求直线AB 的斜率 k 的取值范围 .（ 4）圆锥曲线定值与证明问题例 4.1已知椭圆 C 的中心在原点 O ，焦点在 x 轴上，离心率为3 ，且椭圆 C 上的点到2两个焦点的距离之和为4 （）求椭圆 C 的方程；（） 设 A 为椭圆 C 的左顶点， 过点 A 的直线 l 与椭圆交于点M ，与 y 轴交于点 N ，过原点与 l 平行的直线与椭圆交于点P证明： |AM| |AN|2|OP|2 解：（）设椭圆 C 的标准方程为x2y 21(ab 0) ，a2b2a2b2c2 ,由题意知c3 ,解得 a2 ， b1a22a4,所以椭圆 C 的标准方

18、程为 x2y21 5 分4（）设直线AM 的方程为： yk (x2) ，则 N (0,2 k) y，k( x 2)16k 2 x16k24 0（*）由x24 y2得 (1+4k 2 ) x24,设 A(2,0)， M ( x1 , y1) ，则2， x1 是方程（ * ）的两个根，所以 x128k 214k 2所以 M(28k 2,4k2 ) 14k24k128k228k 224k21616k 24 1k 2|AM|(1 4k 2)(1 4k 2 )(1 4k 2 )21 4k 2| AN | 4 4k 22 1 k 2 41k 221k28(1k 2 )|AM |AN |14k214k 2设

19、直线 OP 的方程为： ykx y，由kx得 (1 4k2 ) x24 0 x24 y24,设 P( x0 , y0 ) ，则 x024， y0 214k 214k 24k 2所以 |OP|244k 2，2| OP |288k 214k 214k2所以 |AM | |AN | 2|OP|2例 4.2:X 2y21（）的离心率为3已知椭圆 C：，A（ a,0）,B(0,b)，O（ 0，a>b>0a2b220）， OAB的面积为 1.（I ）求椭圆 C 的方程；(I I) 设 P的椭圆 C上一点，直线PA 与 Y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N。求证： AN ? BM

20、为定值。练习 1：已知椭圆 C : x2y21(a b 0) 的离心率为6, 椭圆短轴的一个端点与两个a2b2352焦点构成的三角形的面积为.3()求椭圆 C 的方程 ;( ) 已知动直线 yk( x 1) 与椭圆 C 相交于 A 、B 两点 .若线段 AB 中点的横坐标1, 求斜率 k 的值 ; 若点 M (7uuur uuur为,0) ,求证: MA MB 为定值 .23练习 2：已知抛物线 C : y 2 2 px （ p 0），其焦点为 F， O为坐标原点，直线AB （不垂直于x轴）过点 F 且抛物线 C交于A ， B两点，直线 OA 与OB 的斜率之积为p （1）求抛物线 C 的方程

21、；（2）若 M为线段 AB的中点，射线 OM交抛物线 C 于点D ，求证：| OD | 2|OM |1练习 3： 动点 P( x, y) 到定点 F (1,0) 的距离与它到定直线l : x4 的距离之比为.( ) 求动点 P 的轨迹 C 的方程；（）已知定点A( 2,0) ， B(2,0) ，动点 Q (4, t ) 在直线 l 上，作直线AQ 与轨迹 C 的另一个交点为M ,作直线 BQ 与轨迹 C 的另一个交点为N ，证明： M , N , F 三点共线 .（ 5）圆锥曲线最值问题例 5： 已知椭圆 C : x2y2的离心率为3 ，椭圆 C 与 y轴交于 A，B 两点，a2b21(a b

22、 0)2|AB|2.（）求椭圆C 的方程；（）设点 P 是椭圆 C 上的一个动点， 且点 P 在 y 轴的右侧 . 直线 PA， PB 与直线 x4 分别相交于 M ， N两点 . 若以 MN 为直径的圆与x 轴交于两点E， F ，求点 P 横坐标的取值范围及 | EF |的最大值 .解：（）由题意可得，b1，c3e，a2a2 13得，a24解 a24 ，椭圆 C 的标准方程为x2y21.4（）设 P( x0 , y0 )(0x02) ， A(0,1) ， B(0,1) ，所以 kPAy0 1y0 1x 1 ，直线 PA 的方程为 yx0x0同理：直线 PB 的方程为 yy0 1 x 1 ，x

23、0直线 PA 与直线 x 4的交点为 M (4, 4( y0 1)1) ，x01 分2 分3 分4 分5 分6 分7 分直线 PB 与直线 x4的交点为 N (4, 4( y01)1) ，x0线段 MN 的中点 (4,4 y0 ) ，8 分x0所以圆的方程为 ( x4) 2( y4 y0 ) 2(14) 2 ，9 分x0x0令 y 0，则 ( x 4) 216 y02(1x0 )2 ，10 分x024因为 x02y021，所以y02 11，11 分4x024所以 (x4)2850 ，x0因为这个圆与x 轴相交 , 该方程有两个不同的实数解，80 ，解得 x0(8 ,2 .12 分所以5x05设

24、交点坐标 ( x1 ,0),( x2 ,0) ，则 | x1x2 | 2 58（ 8x0 2 ）x05所以该圆被 x 轴截得的弦长为最大值为2.14 分练习 1：已知椭圆 C： x2y21 a ba2b2点F 的直线 l 与椭圆 C交于 A， B两点，线段椭圆于 M，N 两点。（1）求椭圆 C 的方程；（2）求四边形 AMBN 面积的最大值。的一个焦点为F(2，0)，离心率为6 。过焦3AB中点为 D， O为坐标原点，过O， D的直线交练习 2： 已知椭圆 C ： mx23my21(m0) 的长轴长为26 ， O 为坐标原点 .（）求椭圆C 的方程和离心率；（）设点A(3,0) ，动点 B 在 y 轴上，动点P 在椭圆 C 上，且 P 在 y 轴的右侧，若| BA | | BP | ，求四边形OPAB 面积的最小值 .（ 6）圆锥曲线存在性问题例 6.已知椭圆 C ： x 2y21 a b 0 的离心率为2 ，点 P 0,1 和点 A m, n m 0a 2b22都在椭圆 C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M （）求椭圆 C 的方程，并求点M 的坐标（用