圆周运动中的临界问题

1、圆周运动中的临界问题1、在竖直平面内作圆周运动的临界问题如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆RO图图周运动过最高点的情况 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用v临界 能过最高点的条件：vh Rg，当v. Rg时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力 不能过最高点的条件：vvv临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。如图3所示情形，小球与轻质杆相连。杆与绳不同，它既能 产生拉力，也能产生压力 能过最高点v临界=0,此时支持力N= mg 当0v vvR时，N为支持力，有0v Nv mg且N随v的 增大而减小 当Rg时，N= 0 当v> Rg , N为拉力，有N>0, N

2、随v的增大而增大例1（99年高考题）如图4所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过0的水平轴自由转动。现给小球一初速度， 使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球轨道的 最低点和最高点，则杆对球作用力可能是（ ）Aa处为拉力，b处为拉力Ba处为拉力，b处为推力Ca处为推力，b处为拉力Da处为推力，b处为推力例2 长度为L=的轻质细杆OA A端有一质量为01=的小球,(如图5所示，小球以0点为圆心在竖直平面内做 圆周运动，通过最高点时小球的速率是/10m/s2,则此时细杆oa受到A、的拉力B、的压力C、24N的拉力D 24N的压力例3 长L=，质量可以忽略的的杆，其下端固定于 0点，上端连接着一个质量

3、m= 2kg的小球A, A绕0点做圆周运动（同图5）,在A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力: 当A的速率vi = 1m/s时 当A的速率V2 = 4m/s时2、在水平面内作圆周运动的临界问题在水平面上做圆周运动的物体，当角速度3变化时，物体有远离 或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。这时，要 根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在 以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力， 如静摩擦力、绳的拉力等）。图上面绳长L= 2m两端都拉直时与轴的夹角分别为30° 与 45°,问例4如图6所示，两绳系一质量为m的小球,球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧，当角速度为

4、3 rad /s时, 上、下两绳拉力分别为多大?例5如图7所示，细绳一端系着质量 W的物体，静止在水平肌， 另一端通过光滑的小孔吊着质量 01=的物体，M的中与圆孔距离为， 并知M和水平面的最大静摩擦力为22现使此平面绕中心轴线转动， 问角速度3在什么范围 m会处于静止状态？ ( g= 10m/s2)说明： 一般求解“在什么范围内”这一类的问题就是要分析 两个临界 状态。3、巩固练习1、 汽车通过拱桥颗顶点的速度为10 m/s时，车对桥的压力为3车重的4。如果使汽车驶至桥顶时对桥恰无压力，则汽车的速度为( )A 15 m/ sB、20 m/sC、25 m/ sD、30n/s2、 如图8所示，水

5、平转盘上放有质量为 m的厂一一、 物块，当物块到转轴的距离为 r时，连接物块和转轴的绳刚好被拉直(绳上张力为零)。物体和转屮3盘间最大静摩擦力是其下压力的倍。求:当转盘角速度3当转盘角速度3时，细绳的拉力Tl。时，细绳的拉力T2三、小结1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，绳子的悬点不 一定是圆心。2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。如速度的值是 多大、某个力恰好存在还是不存在以及这个力的方向如何。答案例1分析：答案A是正确的，只要小球在最高点 b的速度大于gL，其中L是杆的长；答案B也是正确的，此时小球的速度有 0 v vv “ gL ;答案C D肯定是错误的，因为小球在最低点

6、时，杆对 小球一定是拉力。例2解法：小球在A点的速度大于 gL时，杆受到拉力，小于- gL 时，杆受压力。V0= gL =错误！m)/ s =错误！m)/ s由于v = m/sv“ 5 m/s,我们知道：过最高点时，球对细杆产生压力。小球受重力mg和细杆的支持力N2由牛顿第定律 mg- N= m 2故应选 BvN= mg m =解法一：（同上例） 小球的速度大于- 5 m/s时受拉力，小于5 m/ s时受压力当vi = 1m/sv“，5 m/s时，小球受向下的重 力mg和向上的支持力N2由牛顿第定律 mg N= m 2vN= mg- m = 16N即杆受小球的压力16NLomgyF当V2= 4

7、m/s > 5 m/s时，小球受向下的重 力mg和向下的拉力F2由牛顿第二定律 mg+ F= m *vF= m mg= 44N即杆受小球的拉力44N。解法二：小球在最高点时既可以受拉力也可以受支持力，因此杆受小球的作用力也可以是拉力或者是压力。我们可不去做 具体的判断而假设一个方向。如设杆竖直向下拉小球A,则小球的受力就是上面解法中的的情形。2由牛顿第二定律m叶F= m *2得到F= m (*- g)当Vi= 1nri/s时，Fi= 16NFi为负值，说明它的实际方向与所设的方向相反，即小球受力应向上，为支持力。则杆应受压 力。当V2= 4ms时，F2= 44NoF2为正值，说明它的实际

8、方向与所设的方向相同，即小球受 力就是向下的，是拉力。则杆也应 受拉力。例4解析：当角速度3很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。当3逐渐增大到30°时，BC才被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零。设这时的角速度为31,则有：Taccos30°= mg2TaQn30 ° = m3 1 Lsin30 °将已知条件代入上式解得3 i = rad / s当角速度3继续增大时 Tac减小，Tbc增大。设角速度达到3 2 时， TAC= 0（这又是一个临界状态） ，则有：TBCcos45° =mg2TBCsin45 °

9、;= m3 22Lsin30 °将已知条件代入上式解得 3 2= rad s所以 当3满足rad /s<3< rad /s , AC BC两绳始终张 紧。本题所给条件3 = 3 rad /S,此时两绳拉力Tac、Tbc都存在。TACsin30 ° TBCsin45 °= m3 2Lsin30 ° TACcos30° TBCcos45°= mg将数据代入上面两式解得TAC=，TBC=注意： 解题时注意圆心的位置（半径的大小） 。如果3V rad /S时，Tbc= 0, AC与轴的夹角小于30如果3>/ s时，Tac= 0, BC与轴的夹角大于45例5解析：要使m静止，M也应与平面相对静止。而 M与平面静止时有两个临界状态：T = mg当3为所求范围最小值时，M有向着圆心运动的趋势，水平面对M的静摩擦力的方向背离圆心,力22此时，对M运用牛顿第二定律。有 T f m= M