因式分解难题解析

1、因式分解难题解析詹码论坛站长在因式分解时，有时会用到以下两个公式：an 七 n=(a-b)(an-1 +a n-2b+ ) 11 +abn-2 +bn-1)am +bm=(a+b)(a m-1-am-2b+11|-bm-2a+bm-1)(m为奇数)下面精选了十个实例进行讲解。01 x3-xy2+x2z-xz2-2xyz+y 2z+yz2分析：一眼就可看出，这是3次的齐次多项式。一般选中一个未知数作为主元，统帅其他未知数，主元应按降序排列并分组x3-xy 2+x2 z-xz 2-2xyz+y 2z+yz2322222=x 3-xy2-xz2+yz +x 2z-2xyz+y 2z=x(x2-y2)

2、-z2 (x-y)+z(x 2-2xy+y 2)=x(x-y)(x+y)-z 2(x-y)+z(x-y) 2=(x-y)(x 2+xy-z 2+zx-zy)此题若不进行科学分组会很困难2 202 x 2xy -8y 2x 14y -3分析:此题-看就应该知道用双十字相乘法分解解：xy常数项14-11-232 2x 2xy-8y 2x 14y-3=(x+4y-1)(x-2y+3)注意：先看前三项，是否与x、y两列相配，再看常数项是否与数字相配，然后 再看X、常数项是否与x的系数相配，最后看y、常数项是否与y的系数相配。作业： a3b _ab3 a2 - b2 1提示：先分组再变形最后用十字相乘法

3、。原式=ab(a2 -b2)(a2b2)1 = ab(a b)(a -b) (a2b2)12 2 2 2 2 2=(a -ab)(ab b )(a b )1 = (a -ab 1)(ab b1)难度较大。 xy y2 x _y _2提示：x2的系数看成0,然后再用双十字相乘法。xy112011原式=(X+y 2)(y +1)也可用分组法,以x为主元03 bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)分析：这个题目一看，映入眼帘的就是3个括号。瞧瞧括号里的b+c 、c-a 、a+b，看看这3项是否有某种联系前两项相加得不出 第3项，但我们发现，后2项相加正好等于第1项。所以，这个题目中的第1项如

4、果分成两部分，一部分配给第2项，一部分配给第 3项会是不坏的注意。解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc( c-a+a+b )+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a) =(c+b)(c-a)(a+b)作业: x3 35x 642 x 51x1432 x 2 x x 3提示：需要拆分分组。43204 2x 7x2x- 13x 6分析：拿到这道题,一看便知，这是高次，且包含多项的 多项式。另外，还看到7、-13、6有着某种关系，所以不妨把它们按此发现分组。这样就有(2x4-2

5、x2) +( 7x3-13x+6)不难把13x分成7x和6x，配给7x3和6。这样，接着 2x2(x2-1)+7x(x 2-1)-6(x-1)至此对后的分解就不在话下了 。对于这道题，细心的人也会发现，各项系数和为0，这意味着x=1是它的根，根据因式定理，就知道x-1是多项式的一个因子，然后，怎么分组都行，只要按照x-1的思路。作业:x3 +2x 2 -5x-6提示：当偶次项的系数和(2+(-6)=-4)等于奇次项系数和(1+( -5)=-4)时，就有-1这个根。也就是说，x+1是多项式的一个因式。05 2x° x' 6x2 x 2分析：拿到这个题目,看就觉得有某种对称关系：

6、2x4与2 , -x3与-x ,系数分别相 等。显然，应该把它们分别结合，然后再考察。解：2 x4 x36x2 x 2432=(2x2) ( x x) 6x4 2 2=2(x 1) x(x 1) 6x到了这里，似乎走进了死胡同。不用急，你再仔细看看，就会发现x4+1与x2+1 长得挺像，一定有某种因缘。令y x2 1,所以有 x4+1=y2-2x24这里采用换元法，x2+1看成y。原式=2y2 -xy-10x2 =( 2y 5x)(y2x)=(2x2 5x 2)(x2 2x 1)=(2x 1)(x 2 )(x 1)2对于这种对称式多项式，为了看起来更明显，也可以用倒数换元法，即直接提 取一个最

7、高项的次方的一半：2x4 x3 6 x2 x 22 2 1 2x (2xx 62)x x2i=x2 (2x2 + 2) (x ) 6xx12+12c然后令x=y,那么 x2 y2xx原式=x2 (2y2y 10)=x2 (2y5)(y2)=x2 (2x2 15)(x2)xx=(2 x25x 2)(x22x 1)=(2 x 1)(x 2)(x 1)2作业：(a2 a 1)(a - 6a 1) 12a2提示：看这个多项式有什么特点，然后利用这个特点就可找到路径2 2 (x5x4)(xx2)72提示：以上要先进行适当变形后，才能进行换元。 (x+y)(x+y+2xy)+(xy+1)(xy-1)提示：

8、一看便知，这是一个很有特色的式子。除了常数项，就只剩下x+y和xy。很容易想到，对它们工作应该有效。06 (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc分析：这是一个轮换对称式，将a换成b，b换成c，c换成a，结果一样。这样的题目，一般有(a+b) > (b+c) > (c+a)因式，但并不确定。可以用a+b=0代入多项式中，如果等于0,则有这个因式。令 a+b=0 ，(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0 ，因此匕 a+b=0是其一个因式。.同理，b+c、c+a也都是因式，三者的次数也正好是3次，不会有其他因式了

9、解：a+b=0， (ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=(ab+c(b+a)(a+b+c)-abc=(ab)c-abc=0.由此可见，a+b是多项式的一个因式。同理可知，b+c、c+a都是它的一个因式。令(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)令 a=0 , b=1 , c=2 ,则得 k=1这道题也可以用主元法，一堆字母组成的多项式，一般都可以用 以某一个字母为主，其他为辅，按主字母的降序重新排列多项式(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc(假设以 a 为主元)=a(b+c)+bc a+(b+c)-abc=(b+c)a 2+(b+c) 2a+bc

10、(b+c)(以 a 的降序排列)=(b+c)(a 2+(b+c)a+bc)=(b+c)(a+b)(a+c)作业： x4+(x+y) 4+y4提示：这种轮换对称，一般与x+y、xy有关。因此可以分组成x4+(x+y) 4+y4=(x 4+y 4)+(x+y) 4，又 /+丫4= ( x2+y 2)2-2 x 2y2=( x+y)2-2xy 2-2 x2y2。 16y+2x2(y+1) 2+(y-1) 2x4 (1+y) 2-2x2(1+y2)+x4 (1-y)2 6y3+15z3-37y2z+32yz2提示：按主元降序排列成6y3-37y2z+32yz2+15z3，就遇到了如何处理37y2z的问

11、题，如何把它拆开，使它一部分同6y3，另一部分同15z3+32yz2在一起这是 要研究的。假设是Ky2z、Ly2z0现在考察Ly2z+32yz 2+ 15z3，不妨假设L分解成m、n，并提取负号，根据十字相乘法的原理，则有Ly2z+32yz 2+15z 3=z(my-5z)(ny+3z)，-5n+3m=-32,n=(32+3m)/5=6+(2+3m)/5，显然，m=1 或 6 或 11，n 才有整数解，假设m=1 ,则n=7 , L=-mn=-7 ,也就是将-37y 2z拆成-7y2z和-30y2z两部分，分成两组，前后都可以分解，然后提取公因式。这里用了待定系数法。拆项时的以上运算可以在稿纸

12、中进行，无需写入试卷。答案是(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。此题为竞赛级别的题目。 2a26b2-12c2-5d2+ab -2ac-3ad+17bc-13bd+19cd-3a+22b-31c+25d-20主元法是数学竞赛中常用的方法。该题为竞赛题目。答案是：(2a-3b+4c-5d+5)(a+2b-3c+d-4)。07 a2(b c)b2 (c a)c2 (a b)分析：不难发现，当a= b时，原式二0，故可断定a b是原式的一个因式，同理，b c、c a也是原式的因式。可设原式=k(a-b)(b-c)(c-a)再令 a = 0， b = 1， c= 1 代入上式，得-2=2k ， k

13、 =一 1故原式=-(a-b)(b-c)(c-a)。此题用拆项法或主元法也都很方便。作业：a3(b-c)+b 3(c-a)+c 3(a-b)提示：还有一个因式是(a+b+c)，如果不知道，用拆项法也方便08 x39x? 23x 15分析：一看就知道有-1根，因为x3与23x,9x2与15 ,它们的系数和等于24,必含有32(X+1)的因式，因此很容易把x 15分组为(x3x2)+ (8x223x 15)。当然，本题也可以用待定系数法确定 9x2如何拆。09x4x35x26x 4分析：尝试一下1、2都不是该多项式的根，这时我们会想到，它可能没有一次因式。 这时可用待定系数法，按两次因式*两次因式

14、的方式来求系数，即使每个两次因 式还能继续分解为一次因式，也没有关系。我们一眼看上去就知道，-5x2联系着前后两个组，能够把它分解好了，往后就 迎刃而解了。分组法也是可行的。解一：令 x4-x3-5x2-6x-4= x 4-x3-Kx2-L x2-6x-4= x 4-x3-Kx2-(L x2+6x+4)=x4-x 3-Kx2-(mx+4 )(n x+1)根据十字相乘法的原理：4n+m=6 ，n=(6-m)/4=1+(2-m)/4， m 可取 2、6、10o假如m=2 ,则n=1 , L=mn=2 , K=-3。我们可以试试是否成功。x4-x3-5x2-6x-4= x 4-x3-3x2-2x2-

15、6x-4=x 4-(x3-3x2)-(2x2+6x+4)=x 4-(x+3)x 2-(2x+4)(x+1)=x2-(2x+4)x 2+(x+1)(十字相乘法)=(x2-2x-4)(x2+x+1)这种方法，有点运气在里面，如果把常数项4分解为2*2则达不到目的。再回头 用1*4表示时会浪费了不少时间。解二：2 2设原式=(x ax b)(x ex d)432整理后得=x (a e)x (ae b d)x (ad be)x bd所以 有 a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4，解得 a=1,b=1,c=-2,d=-4。43222则 x - x - 5 x - 6 x - 4

16、 = (x x 1)(x- 2 x - 4)这道题难度较大。10 x12+x9+x6+x3+1分析：对于类似这样的多项式的分解，可利用乘法公式，将之乘以一个因式，同时除 以一个因式，然后，借助乘法公式来解决问题。 巧用除法法，这是一种特殊 方法，引用了高中的等比数列求和，在初中的考试中一般不会出现，但在竞赛 中则有可能。. 学习参考.xT(x J""1。x 1)原式二32X - 1 (X 1)(x2 x 1)43287543=(x x x x 1)(x - x x - x x - x 1)把x3看成y就变成了 y4+y3+y2+y+1 ,这就预示着可能含有x4+x3+x2+

17、x+1因 式。需要指出的是，并不是一定含有这个式子，如x6+x3+1并没有x2+x+1的因式， 事实上，它不能分解。这道题理论上也可以用拆项添项法，但实际上很费事，不易想到该怎么拆。综合作业：54a -a3、a5 a 14、a5 a -1以上4题，看起来简单，其实有点难度，项数越少，次方越高，越容易让人 觉得无从着手，是学生们疑问较多的习题。5、6x4 ' 7x - 36x2 - 7x 6提示:(6x4 6) (7x3 7x) 36x? =6(x4 » 了匕2 一一36x2 = 6(x2 -1)2 7(x2 _1)x 24x2 二2(x2 -1) -3x 3(x2 -1) 8

18、x= (3x-1)(2x 1)(x 3)(x-2)难度较大。6、(x2 xy y2)2 -4xy(x2 y2)一 2 + 2 提示：令a x y 那么原式=(a b)2-4ba =(a-b)2 = (x2 y2-xy)2b =xy7、(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y) 2提示：用十字相乘法,先调整一下顺序,x4(1-y) 2-2x2(1+y 2)+ (1+y) 22 28、2x xy15y 5x 29y12用两种方法分解。9、 4x44x3 - 9x2 - x 2此题容易看出各项系数和为0,可按此思路分组，将-9x2进行拆分。10、a3+ b3 + c3 3abc11、2x 3+6y 3+15z 3-9x 2y+7xy 2-x 2z-16xz 2-37y 2z+32yz 2+13xyz提示：该题为竞赛题目，难度很大。根据前面的提示，难度很大时，通常都采用主元法。引用前面练习中的结果：6y3+15z3-37y2z+32yz2=(2y-3z)(y-5z)(3y+z)。然后再运用待定系数法：设原式=(mx+2y-3z)(nx+y-5z)(px+3y+z)显然m、n、p是±1、±1、±