平面直角坐标系

1、第三章 平面直角坐标系黄冈中学七年级数学下册第7章第1课平面直角坐标系（一）主讲老师 庄四化 同学们好，在平时日常生活当中，比如说，戴丽到了一个教室以后，如果我要给她安排一个位置的话，我只要告诉她在几排、几列，也就可以找到相应的位置。那也就是说：有二个数就可以确定她的位置。比如说：2排、3列这样的一个位置，那你可以很快地找到，但有的时候为了表示的方位，我记为（2、3）这样的一个形式，那么我后面任意地写一个（3、4），那你就要知道，它反映的就是3排4列，所以在一个平面当中，我们可以给你一个数对（3、4），当我们告诉你这两个数代表的意义的时候，我们就可以知道，这样两个数列所反映的什么样的意义，所以

2、说我们在平时的坐位，你记得吗，小学我们去电影院看电影时，电影票上面所写的数字也是反映的位置关系。所以说：我们把有顺序的两个数组成一个数对，就称为有序数对。在我们日常中有很多的用处。平面直角坐标系1、什么叫有序数对？ 把有顺序的两个数、组成的数对，叫做有序数对。 记作：（、） 那么从这个概念当中，我们要特别注意的是：有序数对首先是是两个数构成的一个数对；其次这两个数是有顺序的。所以说，交换这两个数顺序的时候，它可能相应的含义就发生改变。比如说：（2，3）（3，2）。但是它们所表示的含义就不一样。（2，3）表示的是：2排3列。（3，2）表示的是：3排2列。所以说：这里面我们一定要看清楚这两个数（、

3、）代表的意义是什么。那我们引进了有序数对，其实在我们的日常生活当中，除了这一个表示位置关系外，也就是说：我们还可以用经度、纬度来描述某一个地点的位置，还可以用方位角和相应的度数来描述方位当中的某一个点的位置。所以说：有序数对是有比较多的用途的。其实，用这样一个点或一个数表示相应的点或用点来表示相应的数以及在数轴当中的应用。比如说在一条数轴上，我假如说告诉你点A表示的是：-3，这样说，我很快就在数轴上找到点A的位置；假如说我告诉你点B表示的2，你就可以知道2的位置在哪里；在数轴上，数和一个点是相对应的。（即给了一个点就是一个数） 那么，光有一个数，还不能表示出平面上的一个点的位置；比如说我在这个

4、数轴上的外面写一个点C，这个点C的位置该怎样来描述呢？所以为了解决这样一个问题，我们想到了一个办法，用两条数轴，这两条数轴有何特点呢？将它们互相垂直同时与原点重合。 当我们画出了这两条数轴之后，我们很快就可以发现，有了这样一个图形之后，我们可以很快地表示出平面内任何一个点，这点C的位置怎样来描述呢？我通过C点向X轴作垂线，它就对应的一个垂足，假如垂足为：M，此时M在这样X轴一条数轴上就含对应一个数，这个数我们作为点C的第一个数；同时我们可以过点C作Y轴上的垂线，它也有一个垂足N；此时我们用N表示点C的第二个数。从而我们用这样两个数就可以构成一个有序数对来找到点C的位置。也就是说，以后我们只要知

5、道点C。所以，我们引进了这样一个图形，我们把它取一个名字，叫做平面直角坐标系。2、平面直角坐标系 什么叫平面直角坐标系呢？ 平面内两条互相垂直，原点重合的数轴组成平面直角坐标系。 水平的数轴称为X轴（或横轴）。取向右为正方向，向左为负方向。 竖直的数轴称为Y轴（或纵轴）。取向上为正方向，向下为负方向 两个数轴的交点叫平面直角坐标系的原点。3、点的坐标 对于平面内的任何一点P，过点P分别向X轴、Y轴作垂线，垂足在X轴、Y轴上对应的点数、，分别叫点P的横坐标、纵坐标；有序数对（、）称为点P的坐标。为了方便大家对这个概念的掌握，我们分别画一个平面坐标系。建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标

6、轴分成了、四个部分（如上图所示），分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。坐标轴上的点不属于任何象限。由于数轴有三种要素：原点、数轴、单位长度同一条坐标轴上的单们长度是相同的，但作为X、Y是两条不同的坐标轴，它们的单位长度是可以不同的，但现在我们把两条坐标轴上的单位画成一样。那么有些点可能不是落在这四个象限里面的，而是落在这两个坐标轴上。大家知道：坐标轴上的点是不属于任何象限的。那么既然我们知道了平面内的点是和有序数对（即坐标）是一一对应的，那我们就要能够知道位于这四个象限或者坐标轴上的，它们的点的坐标特征：四、象限内点的坐标特征1、点P（、）在第一象限，则>0、>0；2、

7、点P（、）在第二象限，则<0、>0；3、点P（、）在第一象限，则<0、<0；4、点P（、）在第一象限，则>0、<0；五、坐标轴上点P（、）的坐标特征：1、当点P在X轴上时，则b=0，a为任意实数；2、当点P在Y轴上时，则a=0，b为任意实数；六、点到两轴的距离点（x,y)到x轴的距离为y,到y轴的距离为x。例如，点A（3，4）到x轴的距离为，到y轴的距离为注意：点（x,y)到两轴的距离是一个非负数例如点A（3，4）到y轴的距离为而不是例1：设M（、）为平面直角坐标系中的点，、当×>0时，点M位于第几象限？、当为任意实数，<0时，M位于第

8、几象限？、分析：这个题目是通过象限内的坐标特征判断点M所在的象限。因为是目的已知条件告诉我们，×>0时，要么、都是正数，要么都是负数，所以可以判定，、都是正数时，则点M在第一象限，、都是负数时，则点M就在第三象限。解：×>0（两个数的乘积大于0时，可能说两个数都为正数，也可能两个数都为负数）>0、>0；或<0、<0；点M位于第一象限或第三象限。 分析：当为任意实数时，要理解它的含义：无外呼有三种可能。即有可能大于0；有可能等于0；有可能小于0。要所以解这种题时要分三种情况讨论：当>0、<0时，那么点M位于第四象限；当=0、&l

9、t;0时，那么点M位于Y轴的负半轴上；当<0、<0时，则点M位于第三象限；13数学初中1下第7章第1课.平面直角坐标系（二） 上节课我们介绍了平面直角坐标系的的基本内，这二节课我们继续和大家来学习平面直角坐标系，讲到平面直角坐标系，首先我们就要知道，什么是平面直角坐标系？好，它是由两条互相垂直而且原点重合的数轴组成的图形。比如说：现在我们画一个图形，先画一条水平数轴，再画一条竖直数轴，建立了一个坐标系之后，把水平方向的数轴称为横轴，或X轴；把竖直方向的数轴称为竖轴或Y轴。 这里面，我们对两条数轴有个要求：、两数轴必须垂直；、原点必须重合。这两条数轴的交点我们称为平面直角坐标系的原点

10、。水平方向的数轴，称为X轴（或横轴）；一般取水平向右为X轴。竖直方向为Y轴（或纵轴），取向上为正方向，同时标出相应的单位数。对于同一条坐标轴的的单位必须相同，不同数轴上的单位可以不同。现在为了画图方便，一般使X轴、主轴上的单位是相同的。好，那么在这里面（即平面直角坐标系），我们知道，当我们画了一个平面直角坐标系后，我们把这个平面称为坐标平面。坐标平面，它被这两条坐标轴分成了四个象限：第一象限：是X轴的上方，Y轴的右侧的这样一个区域；第二象限指的是：X轴的上方，Y轴的左侧构成的部分；第三象限指的是：X轴的下方，Y轴的左侧构成的部分；第四象限指的是：X轴的下方，Y轴的右侧构成的部分。这是第一个要知

11、道的知识点。另外我们要知道，坐标轴不属于任何象限的；同时，我们把X轴原点右侧的部分称之为X轴的正半轴；把原点左侧的部分称为X轴的负半轴。把原点上侧的部分称为Y轴的正半轴，把Y轴原点下侧的部分称之为Y轴的负半轴。那么，一旦我们建立了一个平面直角坐标系之后，我们就知道，这个平面内的任意一个点都可以用一个有序数对来进行表述，那么这个有序数对，我们把它称之为这个点的坐标。比如说，现在我们给出了平面内一个点A，那么我们用什么样一个有序数对表示它的位置呢？或者说它的坐标是什么呢？这里面点A的坐标含义指的是过点A分别向X轴，Y轴作垂线，垂足对应的数组成了有序数对，就称为它的坐标。一般地先作X轴的垂线，垂足对

12、应的数，写在前面。后作Y轴的垂线，垂足对应的数，写在后面。好，过A点作X轴垂线，我们发现垂足对应的数恰好是：3，过点A向Y轴作垂线，我们发现垂足对应的的数刚好是：4。那么此时，我就用有序数对（3，4）来表示点A的位置。也就是说，点A的坐标就是（3，4）。那么在这里面，我们要能够通过坐标的含义准确地写出给定的点的坐标。其次我们还要能够由一个坐标来确定这样一个点的位置。比如说：我给了你一个点，它的从标是（3，4），这个点在哪里呢？首先我们在X轴找到表示3的点，然后过这个点作X轴的垂线，再在Y轴上找到表示4的点，然后过这个点作Y轴的垂线，这两条垂线的交点就表示这个坐标表示点的位置。好，这是要对坐标这

13、个概念有一个明确的理解。 那么由坐标的第一我们就要知道：第一象限内的点：它的横坐标和纵坐标都是正数。第二象限内的点：它的横坐标是负的，纵坐标是正数。第三象限内的点：它的横坐标、纵坐标均是负的。第四象限内的点：它的横坐标是正的，纵坐标是负的。好，这个第一个知道的是：平面直角坐标系给出的含义以及各象限内点的坐标特点：同时，我们也知道：、落在Y轴上的点，它们的纵坐标是任意的，横坐标是为0。、落在X轴上的点，它们的横坐标是任意的，纵坐标是为0此外，我们还要能够知道什么呢？知道：点的从标和这个点到坐标轴的距离关系：比如说，我告诉你了点A的坐标是：（3，4），则我就可以知道点A到X轴的距离是：4；点A到Y

14、轴的距离就是：3。同样的道理：如果若是给了你坐标平面内的一个点。假如说：点B（-4，2），那么我们要知道，这个点B落在第二象限的；其次由我们坐标的定义，我们可以知道：这个时候：点B到X轴的距离就是纵坐标的绝对值。即点B到Y轴的距离就是横坐标的绝对值。即14数字初中1下第7章第1课.平面直角坐标系（三） 前面两节课我们介绍了平面直角坐标系，台何来找出一个点的坐标，给了一个有序数对以后，我们怎样来确定有序数对表示的位置，同时我们也要了解平面直角坐标系的各象限内的点的特征。好，这节课我们继续来探讨平面直角坐标系一些基本结论。下面我们来画一个坐标系。好、大家看出来，我在这里面画出了一个平面直角坐标系，

15、如果一点的坐标是（2，3），那么这个点的位置应该是在第一象限，我们通过作垂线的方法可以找出来它的位置就在这里，点A现在它的坐标就是（2，3）；同样我可以用类似的方法找出点B，如果它的坐标是（-2，3）。那么通过这个图形我们可以发现；现在点A（2，3）和点B（-2，3），它们到达X轴的距离是一样的，到达Y轴的坐标也是一样的，圣灵第现在我们再把A点、B点连起来，我们发现AB这条线段，它是与X轴平行的，是和Y轴垂直的。同样我们往下看，这就说明了：两个点，它们的纵坐标相同，横坐标不相同，它们的连线是平行于X轴的。在家想一想，现在我们再画出一个点C：（-2，-3），此时我通过把BC连线，这就发现：BC这

16、条直线，它现在是和Y轴平行，与X轴垂直。这个时候，B、C两点的横坐标是相同的。所以，我们由这样的一些具有特殊位置关系的点，得到了下面的一些结论：1、平行于Y轴两点的连线：横坐标相同，纵坐标不同。 且两点连线之间距离等于对应的纵坐标之差（较大的纵坐标减较小的纵坐标）2平行于X轴两点的连线：横坐标相同，纵坐标互为相反数。且两点连线之间距离等于对应的横坐标之差（较大的横坐标减较小的纵坐标）比如：当两个点的连线平行于坐标轴的时候，那么它们的距离就可以通过对应坐标的差就可以直接写出来。例如：AB连线平行于X轴，则线段AB的长就等于对应的横坐差（较大的横坐标减较小的横坐标）。即AB=2-（-2）=4。当两

17、点的边线平行于轴的时候，那么这两点的距离等于对应的纵坐标之差（较大的纵坐标减较小的纵坐标）。即BC=3-（-1）=4第2个结论：在这个图形中，A点和B点现在有什么特点呢？它们两个到达轴的距离是相等的，同时，过A、B两点分别作Y轴的垂线，垂足是同一个点。也就是说，它们两个点的连线是平行于轴的，而且A点、B点到达的距离是相等的，我们把具有这样一个位置关系的两个点，我们称为关于轴对称的。好，如果我在这个图中再画一个点，即（2，-3），那我们可以发现，此时D点、A点到达轴的距离是相等的，都是3，此时AD的连线是平行于轴的，这样一个特殊关系的两个点，我们把它称为关于轴对称的。结论：3、若点A（、），则点

18、A关于X轴的对称点的坐标为：（、-）即关于X轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数 若点A（、），则点A关于Y轴的对称点的坐标为：（、-）即关于Y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变。其实，我们在坐标系中，还有一些其它的结论，比如说，由我们前面学过的角平分线可知，这里的X轴和Y轴是相交的，角度都是。现在我们做第一象限有角平分线，我们发现角平分线上的点，它有一个特点，角平分线上的点，它的横坐标、纵坐标是相等的，这个时候，它到X轴、Y轴的距离相等。第三象限角平分线，角平分线上的点，到X轴、Y轴的距离也相等，此时它们的横坐标、纵坐标也相等。对应的第二、第四象限，角平分线上的点，它们到达X轴、Y

19、轴的坐标也是相等的，横、纵坐标互为相反数。结论： 第1、3象限角平分线上的点，横、纵坐标相等，且符号相反。第2、4象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数。也可以说：关于原点对称的点怎么样书写。例1、已知点A（3，2），ABX轴，AB=5，则点B的坐标为：（8，2）或（-2、2） 、已知点P1（，5）与点P2（2，）到X轴的距离相等，且P1P2Y轴，则 -1 分析：念题目内容，这里面告诉我偏瘫，AB平行于X轴的，这就意味着A点和B点，现在哪个坐标是相同的呢？而平行于X轴的线段，它的纵坐标是相同的，横坐标是不同的。又因为这两个点的距离是5，所以我们可以通过此时它们两，点到点的距离就是对应的横坐标

20、的差赤求得。问题是我已知道了点A的纵坐标就是2。面横坐标的差是5，现在是A点的横坐标大，还是B点的横坐标大呢？并不知道，所以有可能是B点的横坐标减去A点的横坐标，还有一种可能是A点的横坐标减去B点的横坐标。因此，这道题有两种情况，所以我们要分开讨论：第一种情况：点B在点A的左边，则5=X-3，X=8第一种情况：点B在点A的右边，则5=3-X，X=-2所以，B点的坐标分别是（8，2）或（-2，3）第小题，先念题目，到X轴的距离相等，这就说明它们的纵坐标的绝对值相等，且这两个点的连线平行于Y轴的，平行于Y轴的特点是：横坐标相同，所以：（）一定是等于2的。现在是要我们求的是的值，肯定要把b的值求出来

21、，那么这两个点纵坐标有什么关系呢？这两个点不可能是同一个点；因为这两个点是平行于Y轴的，因此这两个点一定是位于X轴的两侧的。即一个点在X轴上面，一个点在X轴的下面。否则的话，就是同一个点了。在两则就意味着，这两个点，它们的纵坐标是互为相反数。建立方程组：-1=2.-1=-5.解：由得：=3 由得：=-4 3-4=-1例2：已知点M（3，）、N（，-1），根据下列条件求、的值。、M、N两点关于X轴对称；、M、N两点直线平行于Y轴；、M、N两点在第二、四象限角平分线上。、分析：先念题目内容，M、N 两点关于X轴对称；要我们确定、的值。两点关于X轴对称的特性是：它们的横坐标相同，纵坐标互为相反数。于

22、是得出：3=，=-（-10），即=1。、因为题目已知条件是：M、N两点直线平行于Y轴，含义是这两点的横坐标是相同的，即3=；但纵坐标是不相同的。因此，即-1。所以第二小问的答安是：=3，-1。、题目已知条件是：M、N两点在第二、四象限角平分线上。而第2、4象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数。所以：=-3，=-1例3、已知ABC的顶点坐标为：A（-2，0），B（4，0），C（2，-3）求ABC的面积。、已知点D（2，4），E（4，1），求ODE的面积。分析：根据已知条件可知，点A、B都在数轴上，点C在象限里，我们怎么求呢？我把这三个点连起来，很容易选择AB作为底边，距离很容易求出来。即AB

23、=4-（-2）=6，而三角形ABC的高就是过C点作X轴的垂线交D点，则高就是3。解：如图：过点C作CDAB于D则CD=3AB=4-（-2）=6 =分析：我们把这三点连接起来，就发现三角的三边，即不与坐标轴平行，又不与坐标轴垂直。这时候我们再想直接来求，就相当困难，怎么办呢？这时候，我们就只能够利用以前学过的知识来求，就是把这个不容易求的三角形转化成一个规则的图求。转化的方法是：过顶点D作垂直于Y轴的垂线，再过E点作垂直于X轴的垂线，先求出这个整体长方体OFGH的面积。现分别求出三个三角形的面积（即、）。最后用长方体的面积减去三个三角形的面积就是三角形ODE的面积。解：过D点作DFY轴于F，过E点作EHX轴交H延线于G， OF=4，DF=2