数学新学案同步精致讲义选修2-1北师大版：第二章空间向量与立体几何§2空间向量的运算(一)含答案

1、§2空间向量的运算(一 )学习目标 1.了解空间向量的加减法及运算律握共线向量定理.2.理解空间向量的数乘运算及运算律，并掌知识点一空间向量的加减法及运算律思考下面给出了两个空间向量a， b，如何作出b a， ba?答案如图，空间中的两个向量a，b 相加时，我们可以先把向量a，b 平移到同一个平面 内，以任意点 O 为起点作 OA a， OB b，则 OC OA OBa b， AB OB OA b a.梳理类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算OBOA AB a b，CA OA OC a b知识点二空间向量的数乘运算及运算律定义与平面向量一样，实数 与空间向量 a 的乘积

2、a 仍然是一个向量，称为向量的数乘几何 0a 与向量 a 的方向相同 0a 与向量 a 的方向相反a 的长度是 a 的长度的 |倍定义 0a0，其方向是任意的运算律分配律(a b) a b结合律(a) ()a注：在平面中，我们讨论过两个向量共线的问题，在空间中也有相应的结论空间两个向量a 与 b(b0)共线的充要条件是存在唯一一个实数，使得 a b.1若 a b 0，则 a b 0.(× )2设 R ，若 a b，则 a 与 b 共线 (× )3.OA OB AB.(× )4直线 l 的方向向量为a，若 a平面 ，则 l平面 .(×)类型一空间向量的加减

3、运算例 1 如图，已知长方体 ABCD AB C D，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量(1) AA CB；(2)AA AB B C.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算解(1)AA CB AA DA AA AD AD .(2)AA AB B C (AA AB) B C AB B C AC.向量 AD ， AC如图所示引申探究利用本例题图，化简 AA AB B C CA.解 结合加法运算AA A B AB ， AB BC AC， AC C A0.故AA AB B C CA 0.反思与感悟(1) 首尾顺次相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即 A

4、1A2 A2 A3 A3A4 An1An A1An.(2) 首尾顺次相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为 0.如图，OB BC CD DEEF FG GH HO 0.跟踪训练1在如图所示的平行六面体中，求证：AC AB AD 2AC .考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用证明平行六面体的六个面均为平行四边形，AC AB AD， AB AB AA ，AD AD AA ，AC AB AD ( AB AD ) (AB AA ) (ADAA )2(AB AD AA )又 AA CC ，AD BC，AB AD AA AB BC CC AC CC AC .AC AB AD 2AC

5、.类型二共线问题例 2(1) 已知向量 a， b，且 AB a 2b，BC 5a 6b， CD 7a2b，则一定共线的三点是()AA，B，DB A，B， CC B，C，DD A，C， D(2) 设 e1， e2 是空间两个不共线的向量，已知AB e1 ke2， BC 5e1 4e2， DC e12e2，且 A， B， D 三点共线，实数k_.考点线线、线面平行的判断题点线线平行的判断答案(1)A (2)1解析(1)因为 AD AB BCCD 3a 6b 3(a 2b) 3AB，故 AD AB，又 AD 与 AB有公共点 A，所以 A，B， D 三点共线 (2) 因为 AD ABBC CD 7e

6、1 (k 6)e2， 且AB 与AD共线，故 AD xAB，即 7e1 ( k 6)e2xe1 xke2，故(7 x)e1( k 6 xk)e2 0，又 e1， e2 不共线，7 x0，x 7，解得故 k 的值为1.k 6kx0，k 1，反思与感悟(1) 判断向量共线的策略熟记共线向量的充要条件：( )若a b， b 0，则存在唯一实数使a b；( )若存在唯一实数，使 a b， b 0，则 a b.判断向量共线的关键：找到实数.(2) 证明空间三点共线的三种思路对于空间三点P，A， B 可通过证明下列结论来证明三点共线存在实数，使 PA PB成立对空间任一点O，有 OPOA tAB (t R

7、 )对空间任一点O，有 OP xOA yOB(x y 1)跟踪训练2如图所示，在空间四边形ABCD 中，点 E， F 分别是 AB ，CD 的中点，请判断向量 EF与 AD BC是否共线？考点题点解设线线、线面平行的判断线线平行的判断AC 的中点为G，连接EG， FG，11GF 2AD， EG 2BC，又 GF， EG， EF共面， 1 1 1 EF EG GFBCAD ( AD BC)，222EF 与AD BC共线类型三空间向量的数乘运算及应用例 3 如图所示，在平行六面体ABCD A1B1C1D 1 中，设 AA1 a， AB b， ADc， M， N，P 分别是 AA1， BC， C1D

8、 1 的中点，试用 a， b， c 表示以下各向量：(1)AP； (2)A1N； (3)MP NC1.考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算解(1)APAD 1 D1P 11b.( AA1 AD) AB ac22 A AN AA AB 1(2) A1N1A1AD21 a b 2c.(3)MPNC 1 (MA1A1D 1 D1P) (NC CC1)11 1 AA1AD AB AD AA12223 31 31 3 2AA12AD 2AB 2a 2b 2c.引申探究若把本例中 “ P 是 C1D 1的中点 ”改为 “ P 在线段何表示 AP？2 2 解 AP AD 1 D 1P AA 1AD

9、3AB a c 3b.C1D 1 上，且 C1P 1”，其他条件不变，如 PD1 2反思与感悟利用数乘运算进行向量表示的技巧(1) 数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量(2) 明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质跟踪训练 3如图所示，在正方体 ABCD A1 B1C1D 1 中， E 在 A1D1 上，且 A1E 2ED1，F 在对角线 A1C 上，且 A1F2FC .3求证： E， F， B 三点共线考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用证明 设 AB a，AD b， AA1 c.2 因为 A1E2E

10、D 1， A1F3FC， 22 所以 A1EA1D 1， A1FA1C，35 22所以 A1EAD b，3322A1F 5(AC AA1)5(AB AD AA 1)222 5a 5b 5c， 2a42所以 EF A1FA1E15b c55225 a 3b c .22b c，又EB EA1 A1A ABb c a a33，所以 EF 25EB又因为 EF与 EB有公共点E，所以 E， F ， B 三点共线1.如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D 1 中，下列各式中运算的结果为AC 1的共有 ()( AB BC) CC1；( AA1 A1 D1) D1C1；( AB BB1) B1C1；(

11、AA1 A1 B1)B1C1.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案D解析 (AB BC) CC1 AC CC1 AC1；( AA1 A1 D1) D1C1AD 1 D1C1 AC1；( AB BB1) B1C1AB1 B1C1 AC1；( AA1 A1 B1)B1C1 AB1 B1C1AC 1，故选 D. 2设有四边形 ABCD ，O 为空间任意一点， 且AO OB DO OC，则四边形 ABCD 是 ()A 平行四边形B空间四边形C等腰梯形D矩形考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用答案A解析 由 AO OB AB DO OCDC

12、 ，得 AB DC，故四边形 ABCD 为平行四边形，故选A.3下列条件，能说明空间不重合的A， B，C 三点共线的是 () A.AB BC ACB.AB BC ACC.AB BCD |AB| |BC |考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案C解析 B，故 A，B， C 三点共线由 AB BC知AB与 BC共线，又因有一共同的点4若非零空间向量e1，e2 不共线， 则使 2ke1 e2 与 e1 2(k 1)e2 共线的 k 的值为 _考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案 12解析若 2ke1 e2 与 e1 2(k 1)e2 共线，则 2ke1 e2 e1 2(

13、k 1)e2 ，2k ，1k . 1 2k 1 ，25化简 2AB 2BC 3CD 3DA AC _.考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案0解析2AB 2BC 3CD 3DA AC 2AB 2BC 2CD 2DA CD DA AC 0.(1) 空间向量加法、减法运算的两个技巧巧用相反向量： 向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键， 灵活运用相反向量可使向量首尾相接巧用平移： 利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时， 务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果(2) 证明 (或判断 )三点 A，B，C 共线时，只需证明存在实数，

14、使 AB BC(或 ABAC)即可，也可用 “ 对空间任意一点O，有 OC tOA (1 t)OB” 来证明三点A， B，C 共线一、选择题)1化简 PM PN MN 所得的结果是 (A. PMB.NPC 0D.MN考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案C解析PM PN MN NM MN NM NM 0，故选 C.2空间任意四个点 A， B， C，D ，则 DA CD CB等于 ()A. DBB.ACC.ABD.BA考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案D3已知空间四边形1ABCD ，连接 AC，BD，设 G 是 CD 的中点，则 AB (BD BC)等于 ()2A. AG

15、B.CG1 C.BCD.2BC考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案A解析如图，因为，BDBC 2BG 1所以 AB(BD BC) ABBG AG.24在平行六面体ABCD A1B1C1D1 中， M 为 AC 与 BD 的交点若 A1B1 a，A1D 1 b，A1Ac，则下列向量中与B1M相等的向量是()11A 2a 2b c11B.2a 2b c11C.2a 2b cD112a2b c考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案A解析1B1M B1B BM A1A (BA BC)2 c 12( a b) 12a 12bc.5如图所示，在四面体A BCD 中，点 E 是 CD

16、的中点，记 AB a，AC b，AD c，则 BE等于()11A a2b 2c11B a2b 2c11C 2ab 2c1 1D 2a b 2c考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案B解析连接 AE(图略 )，E 是 CD 的中点， ACb， AD c，1 1AE (AC AD) ( b c)22在 ABE 中， BE BAAE AB AE，111c.又AB a， BE a(b c) a b2226设点 M 是 ABC 的重心，记 BC a， CA b， AB c，且 a bc 0，则 AM等于 ()b cc bA.2B.2b cc bC.3D.3考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线

17、性运算答案D解析设 D 是 BC 边的中点，M 是 ABC 的重心，211AM AD.而AD(ABAC)(c b) ，3221AM (c b)3)7设空间四点 O， A， B， P 满足 OP mOA nOB，其中 m n 1，则 (A 点 P 一定在直线 AB 上B点 P 一定不在直线AB 上C点 P 可能在直线 AB 上，也可能不在直线AB 上D AB与 AP的方向一定相同考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案A解析已知 m n 1，则 m 1 n，OP(1 n)OA nOB OA nOAnOB，即OP OA n(OB OA)，即 AP nAB.因为 AB 0，所以 AP和

18、AB共线，又 AP 和 AB 有公共点 A，所以点 A， P， B 共线，故选 A.二、填空题8在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，化简 AB CD BCDA 的结果是 _考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算答案2AC解析AB CD BCDA AB BC DC DA AC AC 2AC.9在空间四边形 ABCD 中，连接 BD ，若 BCD 是正三角形，且 1 E 为其中心，则 AB BC23 DE AD的化简结果为 _2考点空间向量的数乘运算题点空间向量的线性运算答案0解析连接 DE 并延长交 BC 于点 F，连接 AF(图略 )， 3 则DF 2DE，13 AB BCDE A

19、D22AB BF DF DAAF FD DA 0.10若 G 为 ABC 内一点，且满足AG BG CG 0，则 G 为 ABC 的 _ (填“外心”“内心”“垂心”“重心” )考点空间向量的加减运算题点空间向量的加减运算的应用答案重心解析因为 AG BG CGGC，所以 AG 所在直线的延长线为边BC 上的中线，同理，得BG 所在直线的延长线为AC 边上的中线，故 G 为其重心11已知点 M 在平面 ABC 内，并且对空间任意一点1 1O，有 OM xOA OBOC，则 x 的33值为 _考点空间向量的数乘运算题点空间共面向量定理及应用答案13解析1 1 OM xOAOBOC，33且 M，A，B， C 四点共面， x 1 1 1， 3 3x 1.3三、解答题12如图， 已知矩形 ABCD 和矩形 ADEF 所在的平面互相垂直，点 M，N 分别在对角线BD，11AE 上，且 BM3BD ， AN 3AE.求证