导数在中学数学中的应用论文4

1、导数在中学数学中的应用数学与信息科学学院 数学与应用数学 肖娜，指导教师：俸卫目 录摘要IAbstractI1 引言12 导数的概念13 导数在中学数学内的广泛应用13.1 导数如何确定函数形态23.1.1 利用函数导数判断一般函数的单调性23.1.2 利用导数求极法和最值问题33.1.3 利用导数判断函数奇偶性63.2 函数导数在不等式当中的应用73.2.1 利用函数的单调性质来证明不等式73.2.2 根据函数的极值证明不等式83.3 导数在几何问题中的应用93.3.1 利用导数求切线方程93.3.2 利用求导的方法来求解中点弦的问题113.4 导数在求参数的取值范围中的应用124 小结15

2、参考文献15致谢信16内江师范学院本科毕业摘 要：导数是高等数学教材中的重点内容，具有举足轻重的作用，自从被引入高中课本之后，与导数相关的现实问题就成了高考中的热点内容，在高考中也占有较高的分值，同样函数导数的思想方法在中学数学中也是极其重要的, 在解决许多现实实际问题中起着居高临下和化繁为简的作用.首先分析导数的基本知识和基本理论, 通过近几年的高考试题来研究导数在几何、初等函数、不等式的证明过程中的具体应用,从而可利用导数解决中学数学里的函数的一般图像、单调性、最值等函数问题；然后在分析了解导数的相关概念的基础上探讨，从而应用导数作出特殊函数的一般图像,特别的解决函数中取值范围的问题,有利

3、于提高学生分析问题和解决问题的能力.关键词：导数；中学数学；应用Abstract:Derivative as the higher mathematics teaching in the content, since being introduced into high school mathematics textbooks, and derivative related issues has become a hot spot for years in the college entrance examination in the ideological content, method o

4、f derivative is very important in middle school mathematics in solving many practical problems, to look down from a height and to simplify the role.Firstly, the basic knowledge and theory of derivative, pass the college entrance examination in recent years to explore the application of derivative in

5、 proving geometry, function, inequality, image, monotonicity, the value function problem solving function of middle school mathematics;Image based on analysis of concepts related to derivative on derivative to make a special function, especially the function in the range of problems, it helps to imp

6、rove the students' ability to analyze and solve problems.Key words:middle school mathematics;derivative;application1 引言导数在高中教学中越来越凸显其重要性，它的广泛应用为解决数学问题和实际的生活提供了一个强大的工具，并提供新的功能，该研究的是一个新视角的不平等，几何问题由于导数知识的基础性和应用的工具性成为了高中教学的创新点，又由于导数是网络知识的交汇点，从无到有，从弱到强，无论在深度或广度上都占有重要地位，导数常与函数，方程，不等式等知识交汇，所以在学习中必须在拓宽、

7、深化导数的综合应用前提下，提高综合解题能力等方面，对更好地解决各种现实生活中的问题衍生的教学，本文的一些实际应用于导数的概念与中学教学的衍生物进行了分析探讨，使衍生更清楚，从而使导数的知识模块化，进而使学者更好的掌握导数的知识2 导数的概念在中学教材中的定义：一般地，如果函数在处的瞬间变化率为，我们就称它为函数在处的导数，记为或即注意： (1)只有函数在点的周围有定义时，导数才存在，不然导数不存在 (2)在衍生型的极限的定义，达到0可以是积极的，消极的，但不是0. (3)如果极限不存在，则称函数为不可微函数(4)假如对于一般函数在自变量到范围内的平均变化率为，则它的几 何意义为过函数图像的曲线

8、上的点与点的割 线斜率(5)要是一般函数在点处的瞬时变化率为，然 而反映的是函数在点处变化的快慢程度大小，从而可得其几何意义是曲线在点处的切线的斜率(6)假如函数要在开区间内的每一点都有一个确定的导数，我们就可以说函数在开区间内是可导的；此时就有每一个的值，必定都对应着一个确定的导数,构成一个新的函数，称这个新的函数为之导数.3 导数在中学数学内的广泛应用3.1 导数如何确定函数形态3.1.1 利用函数导数判断一般函数的单调性函数的单调性是函数的重要特征，在高中阶段有较多的应用，对解决许多实际问题也有简化的作用，有时我们对于一些函数的单调性不易做出判断的情况下，可以利用该函数的导数进行判断，即

9、假设函数在区间I上是可导的： 若函数在区间I上的导数时，则函数在区间I上是单调递增函数 若函数在区间I上的导数时，则称函数在区间I上是单调递减函数 若函数在区间I上的导数时，则在区间I上为常量函数可以很方便的判断一个函数的重要性质即单调性，但是在应用时应特别的注意在区间内是在此区间上为单调递增函数的充分而不必要条件同时也是在区间上为单调递减函数的充分而不必要条件例1 证明函数在上是增函数分析 要证明一个函数在某区间上是增函数还是减函数，则其证该函数的导数在该区间上大于0还是小于0，因为一个函数的导数在某区间上大于0（小于0）是该函数在该区间上单调递增（递减）的充分条件证明 因为，当时 ，所以故

10、函数在上是增函数例2 求函数的增区间分析 要求一个函数的单调区间，则判断其导数的正负，若的导数的区间为I，则的增区间为若的导数的区间为I，则的减区间为I若的导数的区间为I，则在I上为常量函数解 因为，所以当满足恒成立时，即当或时，函数在该区间上为增函数故函数的增区间为.例3 假设函数在区间上是增函数，则求出实数的取值范围.分析 已知该函数在上的是增函数，则可得该函数的导数在该区间上大于零，根据这一条件从而求出函数中的参数范围解 由题可知.因为函数在R上是增函数，所以在R上恒成立.所以.即：.例4 假设函数在区间上是递增的函数，求出实数的取值范围解 由题可知.因为函数在上是增函数.所以.在上恒成

11、立.所以或.即 或.综上有满足条件的取值范围为从以上的两个例子可看出函数在某区间上单调性恒成立，相同函数在不同的区间上的单调性相同，由于是在不同的区间上，故其考虑因素是不一样的即侧面的反应出在区间内是在此区间上为单调递增函数的充分不必要条件同时也是在区间上为单调递减函数的充分条件而不是必要条件小结 从以上的例子中可看出利用导数的性质能很方便的判断出函数的单调性及找出函数的单调增减区间，将问题方便快捷化3.1.2 利用导数求极法和最值问题最大值，最小值问题是高中数学教材中的一个重点，同时对于学者也是一个难点.在高考中也占有较高的分值，它涉及到了高中数学知识中的各各方面，渗透范围极广，往往是需要多

12、种技能多种技巧来解决这样的问题，并且需要选择合理快捷的解决过程与方法，达到方便简化的作用然而正好用函数的导数解决这类问题可以使解答问题的过程更加简化，步骤更加清晰明了，学生也能更好得掌握实际问题应注意的是函数的极大值与极小值和最大值最小值的差异与联系，极值是在某个区间上加以探讨研究的局部性问题的概念，而最值则是在整个区间上的研究的整体性问题的概念根据函数的导数求函数的极(最)值解答这样问题的步骤可大概分为： （1）根据求导的一般法则对该函数求导，求出导数，即求导数. （2）假设函数的导数是等于0的,从而可以解出该函数的导函数的零点，即是在求 方程的根. （3）分区间加以讨论研究,得到函数的单调

13、增区间及单调减区间 （4）先判断出极值所在的点，然后顺利的求出极值（3）（4）是在检查在 方程根左右的值的符号，要是函数在左边为正右边为负，则函数在这个根处取得极大值，然而要是函数在左边负右边正，则函数在这个点处取得极小值） （5）算出区间端点值及其极值进行比较，计算出最值判断函数极值的几种方法： （1）直接代入法：这种方法是将极值问题进行转化，将问题简单化的过程，最终使 问题加以解决，可以与其用来解决一些较为简单而实际的极值问题 （2） 拉格朗日乘数法（利用二阶偏导数矩阵判断、利用全微分判断等作为了解）.导数是0的点可以不是极值点，而要是极值点的导数则必然为0，同时要是不可导的点也是可能为极

14、值点的因此函数的极值点要么是在导数为0的点，要么是在不可导的点处产生利用导数求一确定函数的极值主要题型有：(1)根据函数极值的性质求解参数的实际问题；(2)根据函数解析式求解极值.解答时要准确应用并且利用导数求极值的原理来进行求解例5 求函数在条件下的极值解 由解得将上式代入函数得由，得 解得，又，在点处 所以不是极值点，而从函数在相应点（0，0，2）处无极限在点，处又所以为极小值点，因而函数在相应点处有极小值，极小值为例6 假设函数，求解函数的单调区间及其极值. 分析 要求其单调区间，则先判断其导数的正负，再根据函数的走向来判断函数的极值 解 知于是令，从而得或.当发生变化的时候，相应的变化

15、情况如下表所示：表一：+0-0+单调递增函数单调递减函数单调递增函数故，由上表可知的单调递增区间是，递减区间是，极小值则为，极大值则是.小结 根据函数的单调性可判断出函数的极值点，从而求出极值，（极值必定是函数在某个区间内的最值，如果是要判断该题的最值，则将其极值与端点上的值进行比较，从而进行判断）.例7 设函数（1）当时，求的单调区间（2）若在上的最大值为，求的值分析 要求函数的最值，则首先判断该函数的一级导数的正负，从而判断出单调区间范围，确定出函数的极值，再与区间端点值进行比较，从而求出最值解 函数求导得定义域为（0，2）.（1） 当时，令得. 当，为增区间；当,为减函数（2）区间上的最

16、值问题，经过一级导数得到单调性，结合极值点和端点的对比获得，得到待定量的值当有最大值，则一定不是减函数，且，的解为单调递增区间最大值在右端点处取得.小结 求函数的最值和极值是有区别的，极值是函数在某区间内的最值，而最值是整个函数在定义域中的最值注：函数的极值与最值得联系与区别： 函数的极值必定是该函数在某个区间内的最值 函数的极值不一定就是该函数的最值 假如函数的最值在某个区间内计算所得，则这一点肯定是极值点3.1.3 导数在判断函数奇偶性中的应用已知函数是在定义域内为可导的，假设函数是为奇函数，那么就是为偶函数，要是为偶函数，那么就是为奇函数，该定义是可以用来解决一些根据函数奇偶性定义而无法

17、解决的一些问题例8 设函数，其中，则函数为偶函数的充分条件且非必要条件是 （ ）A. B. C. D. 分析 本题用常规方法很难判断出函数是偶函数的充要条件.解 题知由定理二我们知道，由于函数是偶函数，则为奇函数，所以又当时，即，此时有，代入有或，此时函数是偶函数即是函数为偶函数的充要条件选D.3.2 函数导数在不等式当中的应用3.2.1 利用函数的单调性质来证明不等式该方法适用于某确定区间I上成立的不等式，一般地，证明区间I上成立的不等式时，可以选择作为辅助函数，对求一级导数，判断是大于0还是小于0，从而判断的单调性，进而证明不等式例9 已知函数且该函数的单调递增区间为单调递减区间为，若，证

18、明：.分析 判断一个不等之间的关系成立或者不成立，我们一般都是采用作差或者是作商的方法，但这一题不管是用作差的方法还是用作商的方法都是很难判断解决的但是如果遇到此类型的题我们采用构造函数的方法，运用导数的基本性质就很好的解决了，从而转化达到快捷的目的证明 由已知得，当时此时的单调递增区间为，单调递减区间为，所以时，即所以 . 令，则所以当时，当时，所以当时，即 所以 . 由知，当时例10 设函数，证明：当时，分析 该题是有关不等式证明的题目，由于，因此我们可以引入中间函数，现在只需证明在条件下一定是成立的就可以了，实际上也就是要求我们来判断函数的单调性，下面我们就可以运用函数导数的一般性质来加

19、以解决了解 令又由于，所以（）所以.由此我们知道函数在为单调递减函数，在为单调递增函数所以= 所以 即恒成立，又因为 所以 所以 命题得证.小结 由以上可知函数导数的一般性质在不等式的证明过程中也有具体的应用，它的存在为我们证明不等式提供了一个新的方法，新的视野，我们是可以通过转化构造得出一些简单的函数，再运用导数的具体性质来证明不等式，将问题加以解决3.2.2 根据函数的极值证明不等式在教学中存在许多证明不等式的方案方法，我们在这里讨论的一些不等式可以通过函数极值来证明，这些不等式都有一个共同的特点，就是有明确的几何不等式，但运用通常的代数方法证明起来却比较繁琐，此时我们考虑用极值问题加以证

20、明例11 当时，证明不等式.分析 在证明之前，不妨先画出连续函数的图形（图1）从图中可看出，由于在之内，的最小值为显然成立，依此思路我们可以可以这样证明不等式证明 令则.令得为驻点考察由于因此的正负由确定，也就故为一极小值，且在内，还为一最小值所以.3.3 导数在几何问题中的应用函数在点的导数是曲线在点处的切线斜率，当，表示切线与轴正向夹角为锐角，当,表示切线与轴正向夹角为钝角，当，表明切线与轴是平行的关系(导数在几何当中的具体应用主要关注与导数在几何中的具体意义，利用数形结合的方法，可以很方便快捷的找到函数在任意一点的切线斜率和切线方程).3.3.1 利用导数求切线方程考虑二次曲线方程为：是

21、的函数，利用复合函数求导法是可以求出此切线的斜率例12 已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是 （ ）A. B. C. D. 分析 该题是没有直接告诉我们的具体解析式，只是告诉了我们一个有关的关系表达式要是想求其在处的切线方程，显然是要首先求在的斜率解根据求导法则，对两边分别对求导后有 所以.即由于.所以则在点处的切线方程为即所以选答案A从上面我们是可以发现，正确的理解并且运用导数在几何当中的意义对于解决此类问题是很方便的，也是很快捷有效的3.3.2 利用求导的方法来求解中点弦的问题假如要以圆、椭圆等图形的中心为中心来探讨问题，按照比例来缩小原有的图形，则肯定是存在同样类似的圆、椭圆等与弦

22、AB的中点M是相切的（图一），要是在此时缩小曲线方程的比例，假设为 ，两边对同时求导，我们可以发现并不能改变原有方程之前推导出来的结果，所以，可直接利用导数得方法来求中点弦的斜率也就是在中点位置处的值AMB图一例13 已知有双曲线的方程为,(1)求出以点为中心点的双曲线的弦所在的直线的方程；(2)过点,能不能作出直线,使直线与我们所给曲线交于这两点,要是已知点是已知弦的中心点，这样的直线假如要是存在,那么求出它的直线方程；要是不存在,请说明原由.解 对函数的两边同时求导, 可得(1) 要是以点为中心点的弦的斜率是, 因此所求中点弦所处的直线方程为.(2) 要是以为中心点的弦的斜率为, 所以所求

23、中点弦所在直线的具体方程是即,与双曲线的方程联立，从而消去得所以函数是没有实根的.进而直线与双曲线也是没有交点的, 即满足已知条件的直线是不存在的.小结 (1)这样求出的方程只是满足了必要的性质, 但是还必须验证一下它的充分性, 即所要求的直线与已知的双曲线确实要有两个相交的点.3.4 导数在求参数的取值范围中的应用例14 假设函数（I）当时，求出函数的极大值与极小值；（II）若在区间上是增函数，求出的取值范围分析 已知函数单调性，利用函数导数性质建立不等式，从而解出参数的取值范围利用在上是增函数，有的导数在该区间上大于零，再讨论的值确定函数走向来确定参数的取值范围解 （I）依题意得当时在区间

24、内单调递减，在区间内单调递增，当时，有极小值.所以是函数的极小值（II）在上，单调递增当且仅当即 当时恒成立；当时成立，当且仅当，解得.当时成立，即成立当且仅当，解得.综上，的取值范围是.小结 可以利用已知函数图像的走向，即利用函数的单调性，从而确定函数的导数来建立不等式，求出参数的取值例15 设函数.（）证明：当时，；（）设当时，求的取值范围分析 第一问是有关不等式证明的题目，由于，因此我们可以引入中间函数，现在只需要证明在的条件下一定是成立的即可，实际上也就是要求我们来判断函数的单调性，下面我们就可以运用导数的具体性质来进行判断了第二问也是第一问的加深，对第一问的深化，我们可以仿照第一问的

25、解答过程，解决方法，根据分类讨论的思想方法来加以求解作答解 （）假设,又由于，所以（）所以.由此我们知道函数在为单调递减函数，在为单调递增函数所以= 所以 即恒成立又因为 所以 所以 命题得证.（）由题设，则此时恒成立，（1）当时，若，则，此时，与相矛盾；（2）当时，令则成立当且仅当成立即可，由于，即，因此现只需判断在定义域上是单调递减函数即可，也就是判断在定义域恒成立由题得 由（）知，所以.因为在定义域内恒成立，所以 上式成立时只需即，所以当时，成立；时，由（）知，所以.由于当时，这与在定义域恒成立相矛盾综上：当时，时，的取值范围是例16 已知函数在处取得极值.(1) 求函数的解析式.(2) 若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.解 (1)求得.(2)设切点为因为.所以切线方程为，又切线过点