第四章 刚体的转动

1、第四章第四章 刚体的转动刚体的转动 前三章讲述了质点和质点系的运动规律，但在前三章讲述了质点和质点系的运动规律，但在很多情况下，实际物体不能抽象为质点，这时我们很多情况下，实际物体不能抽象为质点，这时我们考虑另外一个理想模型：刚体考虑另外一个理想模型：刚体刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体物体 . （任意两质点间距离保持不变的特殊质点系）（任意两质点间距离保持不变的特殊质点系）一、刚体的平动与转动一、刚体的平动与转动 刚体平动刚体平动 质点运动质点运动 平动：若刚体中所平动：若刚体中所有点的运动轨迹都保持有点的运动轨迹都保持完全相同，或

2、者说刚体完全相同，或者说刚体内任意两点间的连线总内任意两点间的连线总是平行于它们的初始位是平行于它们的初始位置间的连线置间的连线 .4-1 刚体的定轴转动刚体的定轴转动 转动：刚体中所有的点都绕同一直线做转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆周运动。圆周运动。 转动又分定轴转动和非定轴转转动又分定轴转动和非定轴转动动 。 刚体的平面运动刚体的平面运动 . 刚体的一般运动刚体的一般运动质心的平动质心的平动绕质心的转动绕质心的转动+xz)(t)()(ttt角位移角位移)(t 角坐标角坐标约定约定r沿逆时针方向转动沿逆时针方向转动 r沿顺时针方向转动沿顺时针方向转动 tttddlim0角速度矢量角速度

3、矢量 方向方向: 右手右手螺旋方向螺旋方向二、刚体定轴转动的角速度和角加速度二、刚体定轴转动的角速度和角加速度角加速度角加速度ddt 刚体刚体定轴定轴转动（一转动（一维转动）的转动方向可维转动）的转动方向可以用角速度的正负来表以用角速度的正负来表示示 .00zz1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面； 2） 任一质点运动任一质点运动 均相同，但均相同，但 不同；不同；3）描述运动仅需一个坐标描述运动仅需一个坐标 ., a, v定轴转动的定轴转动的特点特点 刚体刚体绕绕定轴作匀变速转动定轴作匀变速转动质点质点匀变速直线运动匀变速直线运动at0vv2210

4、0attxxv)(20202xxa vvt0)(2020222100tt 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做匀变速转动体做匀变速转动 . 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比三三 匀变速转动公式匀变速转动公式2ntraran2tererat ddtt22ddddrtevtanaa四四 角量与线量的关系角量与线量的关系t()()rrrereeerervrtevtanaaetere飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度222200(5 )7522( 6) 22005ss306t 例例1 一飞轮半径为

5、一飞轮半径为 0.2m、 转速为转速为150rmin-1， 因因受制动而均匀减速，经受制动而均匀减速，经 30 s 停止转动停止转动 . 试求：试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开）制动开始后始后 t = 6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3）t = 6 s 时飞轮边缘时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度上一点的线速度、切向加速度和法向加速度 .解解（1）105s,. 0 t = 30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动飞轮做匀减速运动00时，时， t = 0 s （2）s6t时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度1

6、0(56)4s6t（3）s6t时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小22sm5 . 2sm42 . 0rv该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度22tsm105. 0sm)6(2 . 0ra转过的圈数转过的圈数r5 .372752N2222n0.2 (4 ) m s31.6 m sar 例例2 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动绕垂直其横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速开始时，它的角速度度 ，经，经300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知

7、转已知转子的角加速度与时间成正比子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转问在这段时间内，转子转过多少转？过多少转？00解解 由题意，令由题意，令 ，即，即 ，积分，积分 ktddktt00ddtkt t得得212kt当当t=300s 时时1118000 r min600 s所以所以332222 600ss30075kt转子的角速度转子的角速度2212150ktt由角速度的定义由角速度的定义2dd150tt得得200dd150ttt有有3450t在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数43103)300(45022NPz*OFdFrMsinMFrd : 力臂力臂(bi)d

8、刚体绕刚体绕 O z 轴旋转轴旋转 , 力力 作用在刚体上点作用在刚体上点 P , 且在转动且在转动平面内平面内, 为由点为由点O 到力的到力的作用点作用点 P 的矢径的矢径. FrFrM 对对O的力矩的力矩 F 一一 力矩力矩 M4-2 力矩力矩 转动定律转动定律 转动惯量转动惯量()zzMrF 对轴的力矩对轴的力矩 FFFFzMrFsinMrF 合合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和321MMMMzOkFrzFF 其中其中 对转轴的力对转轴的力矩为零，故矩为零，故 对转轴的对转轴的力矩力矩zFF 把力分解为平行和垂直于转轴方向的两把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量个分量

9、 ()zMrFF 力的作用线与转轴相交或平行时力对该力的作用线与转轴相交或平行时力对该转轴的矩为转轴的矩为零。零。 同一个力对不同的转轴的矩不一样同一个力对不同的转轴的矩不一样 当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力对交当所给的力在转动平面内，力对转轴的矩与力对交点点o o的矩等值。但不能说完全相同。的矩等值。但不能说完全相同。 在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体上，在定轴转动中，如果有几个外力同时作用在刚体上，它们的作用可以与某一个力矩相当这个力矩叫做这它们的作用可以与某一个力矩相当这个力矩叫做这几个力的几个力的合力矩合力矩。合力矩与合力的矩合力矩与合力的矩是不同的概念，是不同的概

10、念，不要混淆。不要混淆。 在研究力对轴的矩时，在研究力对轴的矩时，可用正负号可用正负号来表示力矩的方来表示力矩的方向。向。说明：说明：讨论：讨论：0,0iiMF0,0iiMFFFFF1) 外力矢量和外力矢量和=0，合力矩，合力矩=？2） 刚体内作用力和刚体内作用力和反反作用力的力矩互相作用力的力矩互相抵消抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM该结论对一般的质点系也是成立的。该结论对一般的质点系也是成立的。 例例1 有一大型水坝高有一大型水坝高110 m、长、长1000m，水深，水深100m，水面与大坝表面垂直，如图所示水面与大坝表面垂直，如图所示 . 求作用在大坝上的力，求作

11、用在大坝上的力，以及这个力对通过大坝基点以及这个力对通过大坝基点 Q 且与且与 x 轴平行的力矩轴平行的力矩 . 解解 设水深设水深h，坝长，坝长L，在坝面上取面积元，在坝面上取面积元 作用在此面积元上的力作用在此面积元上的力dSdL yddSdFppL yyOhyxdSydQyOxL)(0yhgpp令大气压为令大气压为 ，则，则 0pyLyhgpFd)(d0200021d)(gLhLhpyLyhgpFh代入数据，得代入数据，得N1091. 510FddSdFppL yyOhyxAdyd100m hm1000LFyMddyLyhgpyMd)(d03206121LhgLhphyLyhgpyM00

12、d)(代入数据，得代入数据，得mN1014. 212M 对通过点对通过点 Q 的轴的力矩的轴的力矩FdyQOhyydFdyLyhgpFd)(d0100m hm1000LOrmzFtFnF2sinmrrFrFMtmrmaFtt2iejjjjrmMM2 刚体刚体质量元受质量元受外外力力 ，内内力力jFejFiM1 刚体内任意一个质点刚体内任意一个质点 m外外力矩力矩内内力矩力矩2mrM OzjmjrjFejFi二二 转动定律转动定律 刚体定轴转动的角加速度与它所受的刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩合外力矩成成正比正比 ，与刚体的，与刚体的转动惯量转动惯量成反比成反比 .rmMMjjjjjj

13、2ie0jijjiijMMM2e()jjjjjMm r 转动定律转动定律JM 2jjjrmJ定义转动惯量定义转动惯量OzjmjrjFejFi转动惯性的量度转动惯性的量度质点系（质点系（质量离散分质量离散分布刚体布刚体）的转动惯量）的转动惯量单位为千克单位为千克米米2（kgm2）与转动惯量有关的与转动惯量有关的因素因素： 质量、质量分布质量、质量分布与与转轴的转轴的位置位置。2Jmr21()ni iiJmr单个质点的转动惯量单个质点的转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量质量连续分布的刚体的转动惯量三、转动惯量三、转动惯量 计算方法计算方法mrrmJiiid22例例1、求质量为、求质量为m、半径为

14、、半径为R的均匀圆环的转动惯量。的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。轴与圆环平面垂直并通过圆心。解解:2dJR dmJ是可加的，所以若为薄圆筒是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。（不计厚度）结果相同。ROdm222JR dmRdmmROROR4032d2RrrJRr dr 例例2 一质量为一质量为 、半径为、半径为 的均匀圆盘，求通的均匀圆盘，求通过盘中心过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量并与盘面垂直的轴的转动惯量 .mR 解解 设圆盘面密度为设圆盘面密度为 ，在盘上取半径为在盘上取半径为 ，宽为，宽为 的圆环的圆环rrd2/mR而而rrdsmd2d221mRJ

15、所以所以rrmrJd2dd32圆环对轴的转动惯量圆环对轴的转动惯量lO O 解解 设棒的线密度为设棒的线密度为 ，取一距离转轴，取一距离转轴 OO 为为 处的质量元处的质量元 rrmddlrrJ02drd232/2/2121121dmllrrJll231mlrrrmrJddd22 例例3 一质量为一质量为 、长为、长为 的均匀细长棒，求的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .mlrd2l2lO O如转轴过端点垂直于棒如转轴过端点垂直于棒2mdJJCO 质量为质量为 的刚体的刚体，如果对如果对其质心轴的转动惯量为其质心轴的转动惯量为 ，则则对任一与

16、该轴平行对任一与该轴平行，相距为相距为 的转轴的转动惯量的转轴的转动惯量CJmddCOm*四四 平行轴定理平行轴定理ABLXABL/2L/2CX3/2mLJA12/2mLJC22 LmJJCA右图所示，刚体对经过右图所示，刚体对经过棒端且与棒垂直的轴的转动惯棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？量如何计算？( (棒长为棒长为L、球、球半径为半径为R）2113LLJm L225ooJm R2220000()LJJm dJmLR22212()35LooJm Lm RmLRLmOm*例例4：1. 是矢量式用代数量表示（在定轴转动中力矩只有两个方是矢量式用代数量表示（在定轴转动中力矩只有两个方向）向）

17、2. M, J, 是对同一轴而言的。是对同一轴而言的。3. 具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。具有瞬时性，是力矩的瞬时效应。4. 转动惯量转动惯量J是刚体转动惯性大小的量度。是刚体转动惯性大小的量度。5. 刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当刚体转动定律的地位与牛顿第二定律相当。运用刚体定轴转动定律注意几点运用刚体定轴转动定律注意几点:质量为质量为M的实心滑轮，半径为的实心滑轮，半径为R。一根细绳绕在滑。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为轮上，一端挂一质量为m的物体。求（的物体。求（1）由静止开始）由静止开始t秒钟后，物体下降的距离。（秒钟后，物体下降的距离。（2）绳子的张力。）绳子的张力。mgT

18、212TRMRmgTmaaRMaT212Mmmga221ath mMm 例例6 质量为质量为 的物体的物体 A 静止在光滑水平面上，静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为 R、质、质量为量为 的圆柱形滑轮的圆柱形滑轮 C，并系在另一质量为，并系在另一质量为 的物的物体体 B 上上. 滑轮与绳索间没有滑动，滑轮与绳索间没有滑动， 且滑轮与轴承间的摩且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计擦力可略去不计. 问：（问：（1） 两物体的线加速度为多少？两物体的线加速度为多少？ 水平和竖直两段绳索的张力各为多少？（水平和竖直两段绳索的张力各为多少

19、？（2） 物体物体 B 从从BmCm 再求线加速度及再求线加速度及绳的张力绳的张力. 静止落下距离静止落下距离 时，时，其速率是多少？（其速率是多少？（3）若滑轮与轴承间的摩若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为它们间的摩擦力矩为fMyAmABCAmBmCmABCAmBmCm1T2TAPOx1TNFAmyO2TBPBm1ATm aB2Bm gTm a21RTRTJRa 解解 （1）隔离物体分）隔离物体分别对物体别对物体A、B 及滑轮作及滑轮作受力分析，取坐标如图，受力分析，取坐标如图，运用牛顿第二定律运用牛顿第二定律 、转、转动定律列方程动定律列方程 . 2T

20、1TCPCF2CBABmmmgmaAB1ABC2m m gTmmmACB2ABC(2)2mmm gTmmm如令如令 ，可得，可得0CmAB12ABm m gTTmm（2） B由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率2/22CBABmmmgymayvABCAmBmCm1T2T（3） 考虑滑轮与轴承间的摩考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩擦力矩 ，转动定律，转动定律fM结合（结合（1）中其它方程）中其它方程21fRTRTMJ1ATm aB2Bm gTm aRa 21fRTRTMJ2TBPBmAP1TNFAm2T1TfMABf1ABC(/ )/2m m gMRTmmmBA

21、Cf2ABC(2)2mmmgMRTmmm2/CBAfBmmmRMgmaABCAmBmCm1T2T21fRTRTMJ1ATm aB2Bm gTm aRa 例例7 小圆盘：小圆盘：r，m；大圆盘；大圆盘r=2r，m = 2m。组合轮对。组合轮对o轴的转轴的转动惯量动惯量J=9mr2/2 。物体。物体A和和B质量为质量为m，系统从静止开始运动，系统从静止开始运动，绳与盘无相对滑动且长度不变。已知绳与盘无相对滑动且长度不变。已知r =10cm 。 求：求：（1）组组合轮的角加速度；合轮的角加速度；（2）当物体当物体A上升上升h=0.4m时，组合轮的角时，组合轮的角速度。速度。ar22(19 )10.3

22、rad sgr解：解：aTTTTamgmgrm,rm,ABo29(2 )2mrTrTr(2 )ar amTmgmamgT同轴的大、小两盘同轴的大、小两盘rh:,)2(则为组合轮转过的角度设21 212(2)9.08rad sh raTTTTamgmgrm,rm,ABo如图所示，一均匀细棒，可绕通过其端点并与如图所示，一均匀细棒，可绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动。已知棒长为棒垂直的水平轴转动。已知棒长为l，质量为，质量为m，开，开始时棒处于水平位置。令棒由静止下摆，求：（始时棒处于水平位置。令棒由静止下摆，求：（1）棒在任意位置时的角加速度；（棒在任意位置时的角加速度；（2） 角为角为300

23、，900时的角速度。时的角速度。MJcos2lmgM 例例8doccmgNcos23lg解：棒在任意位置时的重力矩解：棒在任意位置时的重力矩21cos23lmgml(2)3cos2dddddtdt dddgdl003cos2gddl 分离变量积分lg)sin3(3330 ,90 ,2gglldoccmgNo定理表述：定理表述：质量平面分布的刚体，绕垂直于平面轴的质量平面分布的刚体，绕垂直于平面轴的转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和。转动惯量等于平面内两正交轴的转动惯量之和。yxzIII定理证明：定理证明：zyxdmxydmyIx2对于质量平面分布的刚体，对于质量平面分布的刚体，绕绕 x

24、轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：绕绕 y 轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：dmxIy2绕绕 z 轴的转动惯量为：轴的转动惯量为：*垂直轴定理垂直轴定理dmzIz2dmxdmy22yxII 证毕证毕dmyx)(22zyxodmxyz*例：例：半径为半径为 R 质量为质量为 M 的圆盘，求绕直径轴转动的的圆盘，求绕直径轴转动的转动惯量转动惯量Jy。解：解：圆盘绕垂直于盘面的质心圆盘绕垂直于盘面的质心 z 轴转动的转动惯量为：轴转动的转动惯量为：221MRIz动画动画xzyyxzIIIzyII21yI2241MR 例：例： 一匀质细杆，长为一匀质细杆，长为 l 质量为质量为 m ，在摩擦系数为，在摩

25、擦系数为 的的水平桌面上转动，求摩擦力的力矩水平桌面上转动，求摩擦力的力矩 M阻阻。解：解：杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩杆上各质元均受摩擦力作用，但各质元受的摩擦阻力矩不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，不同，靠近轴的质元受阻力矩小，远离轴的质元受阻力矩大，mlodmdxxx细杆的质量密度细杆的质量密度lm质元质量质元质量dxdm质元受阻力矩：质元受阻力矩：()dMdm gx 阻细杆受的阻力矩细杆受的阻力矩阻阻dMM221gllmmgl21lgxdx0 例例5 一长为一长为 质量为质量为 匀质细杆竖直放置，其匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链下端与一固定

26、铰链 O 相接，并可绕其转动相接，并可绕其转动 . 由于此由于此竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小竖直放置的细杆处于非稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链O 转转动动 .计算细杆转动到与竖直线成计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角时的角加速度和角速度角速度 .lm 解解 细杆受重力和细杆受重力和铰链对细杆的约束力铰链对细杆的约束力作用，由转动定律得作用，由转动定律得NFJmglsin21式中式中231mlJ ddddddddtt得得sin23lg由角加速度的定义由角加速度的定义dsin23dlg代入初

27、始条件积分得代入初始条件积分得)cos1 (3lgJmglsin21一、质点的角动量一、质点的角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律大小：大小：L r m v sin 方向：方向：右手螺旋定则判定右手螺旋定则判定质点对一固定参考点的角动量：质点对一固定参考点的角动量：moprP P( , )Lr p L4-3 角动量角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律1 1、质点的角动量、质点的角动量LrprmvmoprP P注意：注意： 力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们是相对于哪个力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们是相对于哪个轴或哪个点。角动量是描述转动状态的物理量。质点的角动量轴或哪个点。角动量是

28、描述转动状态的物理量。质点的角动量又称为动量矩又称为动量矩Lrprmv作圆周运动的质点对圆心的角动量作圆周运动的质点对圆心的角动量 2. 定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量 P Lro2Lmrvmr刚体定轴转动时，其内部各质点都作圆周运动，总的角动量刚体定轴转动时，其内部各质点都作圆周运动，总的角动量 2ii iiiLLmrJ对轴对轴力对一固定参考点的力矩力对一固定参考点的力矩FrM大小：大小：MF r sin r是是P P点相对于固定点点相对于固定点O O的位矢。的位矢。o oFrMd dp方向：方向：右手螺旋定则判定右手螺旋定则判定( ,)Mr F()dLdrmvdtdt将角动量对时

29、间求导，有：将角动量对时间求导，有：drdvmvrmdtdtFrdtLdM得到得到dtPdF2、质点的角动量定理、质点的角动量定理 将将dtLdM两边同时乘以两边同时乘以 dt dt ，得：，得：LddtM积分：积分：LLttLddtM000LLttdtM0合力矩在合力矩在 t t0 0 到到 t t 时间内的时间内的冲量矩冲量矩。作用于质点上的冲量矩等于质点角动量的增量。作用于质点上的冲量矩等于质点角动量的增量。 角动量定理角动量定理注意：注意： 力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某一时刻而言，它们都不是时间的积累效应。一时刻而言，它们都不是时间的积累

30、效应。3、质点的角动量守恒定律、质点的角动量守恒定律0 0d dt tL Ld d0 0则则M M如如果果常常矢矢量量L L即即质点角动量守恒定律：质点角动量守恒定律：如果对于某一固定点，质点所如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则质点对该固定点的角动量保持受的合外力矩为零，则质点对该固定点的角动量保持不变。不变。dtLdM守恒条件：守恒条件：0M 有心力有心力：作用线始终通过一点的力即为有心力。该点称为：作用线始终通过一点的力即为有心力。该点称为力心力心。在有心力作用下的质点，对力心角动量一定守恒。在有心力作用下的质点，对力心角动量一定守恒。例例1 1彗星绕太阳作椭圆彗星绕太阳作椭圆

31、轨道运动，太阳位于椭圆轨道运动，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，问系轨道的一个焦点上，问系统的角动量是否守恒？近统的角动量是否守恒？近日点与远日点的速度谁大？日点与远日点的速度谁大？解：解：彗星只受万有引力作用：彗星只受万有引力作用：系统角动量守恒，有：系统角动量守恒，有：太阳彗星远r远v近r近v引F F0MrF引远远近近vmrvmr近日点速度大。近日点速度大。这就是为什么彗星运转周期为几十年，这就是为什么彗星运转周期为几十年，而经过太阳时只有很短的几周时间。而经过太阳时只有很短的几周时间。r vr v远 远近 近上述对质点的角动量定理和角动量守恒定律，可以推广到质点系上述对质点的角动量定理和角

32、动量守恒定律，可以推广到质点系。 4 4、质点系的角动量定理和角动量守恒定律、质点系的角动量定理和角动量守恒定律 2121()tekikkktMMdtLL对第对第k k个质点个质点21211()tNNNekikkktkkkMMdtLL整个质点系整个质点系221101ttNekttkM dtMdtLL 作用于质点系外力矩的冲量矩等于质点系总角作用于质点系外力矩的冲量矩等于质点系总角动量的增量。动量的增量。质点系的角动量定理质点系的角动量定理. .10NikkMLJ刚体定轴转动定理的另一种表述刚体定轴转动定理的另一种表述 ()dd JdLMJJdtdtdt()Mdtd J221121()ttMdt

33、d JJJ冲量矩冲量矩 转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转动物体角动量的增量这段时间内转动物体角动量的增量角动量或角动量或动量矩动量矩dtJdJM)(当当 M=0 时时 刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体在定轴转动中，当对转轴的合外力矩为零时，刚体对转轴的角动量保持不变，刚体对转轴的角动量保持不变， 这一规律就是这一规律就是定轴转定轴转动角动量守恒定律动角动量守恒定律 。0)(dtJd即即常量00JJ三、刚体定轴转动的角动量守恒定律三、刚体定轴转动的角动量守恒定律由定轴转动定理：由定轴转动定理：对于由多个刚体或刚体与质点组成的复杂系统

34、，系统所受对于由多个刚体或刚体与质点组成的复杂系统，系统所受的对同一转轴的合外力矩的冲量矩等于系统对该转轴的总角动的对同一转轴的合外力矩的冲量矩等于系统对该转轴的总角动量的增量；若系统所受的对转轴的合外力矩为零，则系统对该量的增量；若系统所受的对转轴的合外力矩为零，则系统对该转轴的总角动量守恒。转轴的总角动量守恒。00MLLC若 对多个刚体或刚体与质点的组合系统，由于存在对多个刚体或刚体与质点的组合系统，由于存在相对位移，系统变为一般的质点系。相对位移，系统变为一般的质点系。 LL和0表示系统在初、末状态下的总角动量：表示系统在初、末状态下的总角动量： JmvdL:刚体质点 210ttMdtL

35、L系统所受的合外力矩系统所受的合外力矩1、转动惯量保持不变转动惯量保持不变的刚体的刚体000,MJJ当时，则2、转动惯量可变转动惯量可变的物体的物体( (一般的质点系一般的质点系) ) JJJ当 增大时，就减小；当 减小时，就增大，从而保持不变例例1：旋转的舞蹈演员：旋转的舞蹈演员角动量守恒定律的两种情况角动量守恒定律的两种情况： 角动量守恒现象举例角动量守恒现象举例o1o 2例例2：人与转盘的转动惯量人与转盘的转动惯量J0= =60kg m2，伸，伸臂时臂长为臂时臂长为 1m，收臂时臂长为，收臂时臂长为 0.2m。人站在。人站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上，每只手摩擦可不计的自由转动的圆

36、盘中心上，每只手抓有质量抓有质量 m= =5kg的哑铃。伸臂时转动角速度的哑铃。伸臂时转动角速度 1 = = 3 s- -1, , 求收臂时的角速度求收臂时的角速度 2 ，机械能是否，机械能是否守恒？守恒？解：解：整个过程合外力矩为零，角动量守恒整个过程合外力矩为零，角动量守恒21012mlJJ21526022022mlJJ2260 2 5 0.260.4kg m 2mkg702211JJ2112JJ 1 -s5 .3由由得得机械能不守恒，因为人收臂时做功（内机械能不守恒，因为人收臂时做功（内力做功）力做功）解：解：两飞轮通过摩擦达到共同速度两飞轮通过摩擦达到共同速度, ,合外力矩为零，系统角

37、动量守恒。合外力矩为零，系统角动量守恒。1J2J12)(212211JJJJ212211JJJJ共同角速度共同角速度啮合过程机械能损失（因内力摩擦力做功）：啮合过程机械能损失（因内力摩擦力做功）：EEE0例例3：两个共轴飞轮转动惯量分别为两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、J2，角速度分，角速度分别为别为 1 、2，求两飞轮啮合后共同的角速度，求两飞轮啮合后共同的角速度 。啮合。啮合过程机械能损失。过程机械能损失。221222211)(21)2121(JJJJ)(2)(2122121JJJJ例例4： 如图示，光滑的水平桌面上有一小物体，一条如图示，光滑的水平桌面上有一小物体，一条细绳的一端联结此物

38、体，另一端穿过桌子上的小孔。物细绳的一端联结此物体，另一端穿过桌子上的小孔。物体原来以一定的角速度在桌面上以小孔为圆心作圆周运体原来以一定的角速度在桌面上以小孔为圆心作圆周运动，在小孔下方缓慢地往下拉绳的过程中，物体的动量、动，在小孔下方缓慢地往下拉绳的过程中，物体的动量、动能以及对小孔的角动量是否变化？为什么？动能以及对小孔的角动量是否变化？为什么？解：解：1. 物体的物体的动能变化动能变化.物体在做离物体在做离小孔的距离不断缩小的螺旋线运动，小孔的距离不断缩小的螺旋线运动，绳对物体的拉力方向与物体位移方绳对物体的拉力方向与物体位移方向小于向小于90o，拉力作正功。，拉力作正功。2. 动量变

39、化动量变化. 绳子拉力的冲量在改变物体的动量。绳子拉力的冲量在改变物体的动量。3. 物体对小孔的物体对小孔的角动量不变角动量不变. 因为物体受绳子拉力的因为物体受绳子拉力的方向始终通过小孔（方向始终通过小孔（有心力有心力），所以物体对小孔的力），所以物体对小孔的力矩为零。矩为零。例例5 5：在半径为在半径为 R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为圆盘上，有一人静止站立在距转轴为 R/ /2 处，人的质处，人的质量是圆盘质量的量是圆盘质量的 1/10，开始时盘载人相对地面以角速，开始时盘载人相对地面以角速度度 0 匀速转动，然后此人垂直圆

40、盘半径相对于盘以速匀速转动，然后此人垂直圆盘半径相对于盘以速率率 v 沿与盘转动相反方向作圆周运动沿与盘转动相反方向作圆周运动, , 已知圆盘对中心已知圆盘对中心轴的转动惯量为轴的转动惯量为 MR2 / 2，人可视为质点，求，人可视为质点，求: :v2/RoR解：解：人与盘系统，角动量守恒人与盘系统，角动量守恒（1）圆盘对地的角速度。）圆盘对地的角速度。 （2）欲使圆盘对地静止，人沿着）欲使圆盘对地静止，人沿着 R/2 圆圆周对圆盘的速度周对圆盘的速度 v 的大小及方向？的大小及方向？222200112222mEMERRmMRmMRv2/RoR（1）mEmMMERvRME21/)221(02m

41、MvR得得2/210Rv（2）由由021/ )221(0RvRME得得选盘对地转动方向为正向选盘对地转动方向为正向为什么？为什么？例例6：质量为质量为 m1、长为、长为 l 的均匀细杆的均匀细杆,静止平放静止平放在滑动摩擦系数为在滑动摩擦系数为 的水的水平桌面上平桌面上,它可绕过其端点它可绕过其端点 o 且与桌且与桌面垂直的固定光滑轴转动面垂直的固定光滑轴转动,另有一水另有一水平运动的质量为平运动的质量为m2的小滑块的小滑块 , 从侧面从侧面垂直与杆的另一端垂直与杆的另一端 A 相碰撞相碰撞,设碰撞设碰撞时间极短时间极短,已知小滑块在碰撞前后的已知小滑块在碰撞前后的速度分别为速度分别为 v1

42、和和 v2 ,方向如图所示方向如图所示,求碰撞后从细杆开始转动到停止转求碰撞后从细杆开始转动到停止转动过程所需时间动过程所需时间,（已知杆绕点（已知杆绕点 o 的的转动惯量转动惯量 J= ml2/ 3 )olm1m21v2vA22 122113m vlm v lml 10lrMdm gx 112m gl 10lmdx gxl 解：解：碰撞过程，杆和滑块组成的系统的合外力矩碰撞过程，杆和滑块组成的系统的合外力矩为零为零 ，系统角动量守恒。并规定正方向。，系统角动量守恒。并规定正方向。olm1m21v2vA碰撞后杆受摩擦力矩的作用碰撞后杆受摩擦力矩的作用210103trM dtml由角动量定理由角

43、动量定理21212()/tm vvm g得：得：ddddttrFsFrFWddMW 21dMW力矩的功力矩的功一、力矩作功一、力矩作功 MtMtWPdddd二二 、力矩的功率、力矩的功率orvFxvFoxrtFrdd4-4 力矩的功力矩的功 转动动能转动动能 动能定理动能定理比较比较：JLEk2 2mpEk2 2 2222211111 ()222nnki ii iiiEmrmrJ 刚体绕定轴转动时刚体绕定轴转动时转动动能转动动能等于刚体的等于刚体的转动惯量转动惯量与与角速度角速度平方乘积的一半。平方乘积的一半。三、三、转动动能转动动能22211 22kiiii iEmvmr221 JEk221

44、 mvEkddJdtdddJdtdJJM2121dJdM当当=1时，时，=1 所以所以：2122212121JJdM 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。转动动能的增量。刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理四四、刚体定轴转动的动能定理刚体定轴转动的动能定理一质量为一质量为M，半径，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？时，其速度为多大？mgTmMm2022121JJTR2022121mvmvThmgh RhRv 2

45、,0,0200RMJv解得：解得：mMmghv22例例2：一根长为一根长为l、质量为、质量为m的均匀细直棒，其一端的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆 角时角时的角加速度和角速度。的角加速度和角速度。 Omg2/ l231mlJMcos2lmgM cos23lg解解 1)棒在任意位置时的重力矩棒在任意位置时的重力矩dd cos21 mglM代入代入2011cos22mgldJ 211sin22mglJsin3 sinmglgJl 2121212221JJMd213Jml2)(也可由机械能守恒直接得出也可由机械能守恒直接得出)例例3 如图，长为如图，长为l，质量为，质量为M的均匀细棒可饶过的均匀细棒可饶过O点的转轴点的转轴在竖直面内自由转动。一质量为在竖直面内自由转动。一质量为 m 的质点以初速的质点以初速v0沿水平方沿水平方向运动，与静止在竖直位置的细