自动控制原理7.47.5离散系统数学模型,稳定性分析

1、 线性离散系统的分析与校正线性离散系统的分析与校正第七章第七章栗忍 10( )()()nmijijc kac kib r kj mn解法：解法：（1 1）迭代法：迭代法：从初值出发，按照差分方程一步步递推出输出从初值出发，按照差分方程一步步递推出输出序列。序列。（2 2）z z变换法：变换法：对差分方程两端取对差分方程两端取z z变换，并利用变换，并利用z z变换的实变换的实数位移定理，得到数位移定理，得到z z为变量的代数方程，然后对代数方程的解为变量的代数方程，然后对代数方程的解C(z)C(z)取取z z反变换，求得输出序列反变换，求得输出序列c(k)c(k)。课前复习课前复习101( )

2、(1)()( )( )()nmc ka c ka c knb r kbr kb r km1 1、差分方程、差分方程栗忍 G(s)(zG)(tr)(tc)(*tr)(*tc)(zR)(zC2 2、脉冲传递函数、脉冲传递函数nnznTrznTczRzCzG)()()(/)()( 所谓所谓零初始条件零初始条件，是指在，是指在 t0t0 时，输入脉冲序列各采样值时，输入脉冲序列各采样值 以及输出脉冲序列各采样值以及输出脉冲序列各采样值 均为零。均为零。(), ( 2 ),.rTrT(), ( 2 ),.cTcT课前复习课前复习栗忍 课前复习课前复习 例：已知差分方程如下，试用例：已知差分方程如下，试用

3、迭代法迭代法求出求出c(k),k=0,1,2,3,4;c(k),k=0,1,2,3,4; 求出该离散系统求出该离散系统脉冲传递函数脉冲传递函数。)()()(1k2ckrkc其中，其中，r(k)=1, c(0)=0, c(1)=1r(k)=1, c(0)=0, c(1)=1。栗忍 7.4 7.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型1. 1. 离散系统的数学定义离散系统的数学定义2. 2. 线性常系数差分方程及其解法线性常系数差分方程及其解法3. 3. 脉冲传递函数脉冲传递函数4. 4. 开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数5. 5. 闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数栗忍 1 1、有

4、串联环节时的开环系统脉冲传递函数、有串联环节时的开环系统脉冲传递函数 （1 1）典型情况之一：串联）典型情况之一：串联环节之间有采样开关环节之间有采样开关 )()()()()()(212zGzGzRzGzXzC)()()()()()()(2121zGzGsGZsGZzRzCzG结论：被理想结论：被理想采样开关隔开采样开关隔开的的n n个线性环节串联时，其脉个线性环节串联时，其脉冲传递函数为每个环节所对应的冲传递函数为每个环节所对应的脉冲传递函数之积脉冲传递函数之积 )()()()()()()(2121zGzGzGsGZsGZsGZzGnn 7.4.47.4.4、开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲

5、传递函数栗忍 )()()()(21211zGGsGsGLZzG解：解： 1( )1zG zz11( )G ss210( )10G ss210( )sTzG zze（2 2）典型情况之二：串联）典型情况之二：串联环节之间无采样开关环节之间无采样开关 11( )G ss12( )( )( )G zG zG z12( )( )G zGG z例：例：210( )10G ss : : ：7.4.47.4.4、开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数栗忍 111210101010211( )( )( )10(1)1(1)ssssTTTTG zZ LG sG sZ Lsszzezzzezeze 212101

6、0102( )( )( )1(1)sssTTTzzzG zG zG zzz ezez e 1211011( )( )1010G s G ss sss 1212( )( )( )G zG zGG z7.4.47.4.4、开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数栗忍 2. 2.带有带有零阶保持器零阶保持器的开环系统的脉冲传递函数的开环系统的脉冲传递函数 221( )11( )( )(1)( )( )( )( )ssssT sT sT sT seG sG zZG sZeZG sZG sessssZ G sZ G se零阶保持器零阶保持器连续环节连续环节7.4.47.4.4、开环系统脉冲传递函数开环系

7、统脉冲传递函数栗忍 221( )11( )( )(1)( )( )( )( )ssssT sT sT sT seG sG zZG sZeZG sZG sessssZ G sZ G se上式第二项可以写为上式第二项可以写为 1222( )()( )sT ssZ GseZ gtTzZ Gs采样后采样后带有零阶保持器带有零阶保持器的系统的脉冲传递函数为的系统的脉冲传递函数为11221( )( )( )(1)( )G zZ G szZ G szZG ss7.4.47.4.4、开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数栗忍 例：采样控制系统如图所示，试求其脉冲传递函数。例：采样控制系统如图所示，试求其脉冲

8、传递函数。 解：解： 101 . 011 . 0)10(10)10(101)(122sssssssssGs102210.110.10.10.1( )101(1)ssTT zzzZG sZsssszzze脉冲传脉冲传递函数递函数110210101010110.10.1( )(1)( )1(1)(0.1 0.1)(0.10.1)(1)()ssssssTTTTssTT zzzzG zzZG sszzzzeTezT eezze7.4.47.4.4、开环系统脉冲传递函数开环系统脉冲传递函数栗忍 由于系统采样开关配置的多样性，故系统由于系统采样开关配置的多样性，故系统无唯一结构无唯一结构形式。形式。（1

9、1）闭环离散系统的典型结构）闭环离散系统的典型结构)(*teG(s)(tcH(s)(tr)(tb)(te( )( )( )e tr tb t( )( )( )E zR zB z( )( )( )C zE z G z1( )( )( )( )( )( )B zE z GH zGH zZ LG s H s)(1)()()()(zGHzGzRzCz)(11)()()(zGHzRzEze7.4.57.4.5、闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数栗忍 )(zGH0)(1)(zGHzD闭环系统的特征方程：闭环系统的特征方程：开环脉冲传递函数：开环脉冲传递函数：应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不能从

10、应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不能从对应的连续系统传递函数的对应的连续系统传递函数的z z变换直接得到。变换直接得到。)()()()(sZzsZzee7.4.57.4.5、闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数栗忍 例、已知离散控制系统结构如上图所示，前向传递函数例、已知离散控制系统结构如上图所示，前向传递函数 ，反馈传递函数反馈传递函数 ， 试计算系统的闭环脉冲传递函数。试计算系统的闭环脉冲传递函数。 1( )0.1G ss5( )5H ss解：解： 1( )0.1G ss0.10.1( )0.905sTzzzG zzezez1sTs151.021.02( )( )0.150.15G

11、 s H sssss0.150.151.021.021.021.02( )0.916(0.905)(0.007)ssTTzzzzGH zzezezezezzz2( )(0.905)( )1( )1 0.916(0.905)(0.007)(0.007)0.0040.006G zzzzGH zzzzz zzz)(*teG(s)(tcH(s)(tr)(tb)(te7.4.57.4.5、闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数栗忍 ( )( ) ( ) ( )cC zG z G z E z( )( )( )E zR zB z1( )( )( ) ( )( )( )( )cB zG z GH z E z

12、GH zZ LG s H s( ) ( )( )( )( )1( )( )ccG z G zC zzR zG z GH z（2 2）数字控制系统的典型结构）数字控制系统的典型结构E(s)7.4.57.4.5、闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数栗忍 解：解： ( )cbG ss( )1cbzG zz1sTs111010( )(1)0.10.1ssT sT seG sessss1 10100.950( )10.9050.905zzzG zzzzz 例已知离散控制系统结构如图所示，试计算系统的闭环脉冲传递函数。例已知离散控制系统结构如图所示，试计算系统的闭环脉冲传递函数。 7.4.57.4.5

13、、闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数栗忍 ( ) ( )0.950(0.007)( )1( )( )(1)(0.905)(0.007)(0.1530.035)ccG z G zbz zzG z GH zzzzbzz122.0410.041( )10.9050.007zzzzGH zzzzz 11122.0410.041( )( )(1)0.150.15ssT sT seG s H sessssss 通过与上面类似的方法可以导出采样器为不同配置形式的其它闭环系统脉通过与上面类似的方法可以导出采样器为不同配置形式的其它闭环系统脉冲传递函数。见课本冲传递函数。见课本P319P319。但只要误差

14、信号。但只要误差信号e e(t)(t)处处没有采样开关没有采样开关，则输入采样信，则输入采样信号号r r* *( (t t) )就就不存在不存在，此时不能写出闭环系统对于，此时不能写出闭环系统对于输入量的脉冲传递函数输入量的脉冲传递函数，而只能求，而只能求出输出采样信号的出输出采样信号的Z Z变换函数变换函数C C( (z z) )。7.4.57.4.5、闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数栗忍 小结小结离散系统的数学定义离散系统的数学定义线性常系数差分方程及其解法：迭代法、线性常系数差分方程及其解法：迭代法、z z变换法变换法脉冲传递函数：定义，求法脉冲传递函数：定义，求法( (定义、定

15、义、G(s) G(z)G(s) G(z)开环系统脉冲传递函数：有串联环节、有零阶保持器开环系统脉冲传递函数：有串联环节、有零阶保持器闭环系统脉冲传递函数闭环系统脉冲传递函数栗忍 7.57.5、离散系统、离散系统的稳定性与稳态误差的稳定性与稳态误差1. 1. s s域到域到z z域的映射域的映射2. 2. 离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件3. 3. 离散系统的稳定性判据离散系统的稳定性判据4. 4. 离散系统离散系统的的稳态误差稳态误差栗忍 离散系统的稳定性的分析方法：将线性连续系统在离散系统的稳定性的分析方法：将线性连续系统在 s s平面平面上分析上分析稳定性的结果稳定性的结果 离

16、散线性系统离散线性系统在在 z z平面平面上的稳定性。上的稳定性。一、一、s s 域到域到 z z 域的域的映射关系映射关系7.5.17.5.1、s s域到域到z z域的映射域的映射回忆回忆z z变换的定义：变换的定义：0*)()(nnTsenTesE0)()z(nnznTeE令令z=ez=eTsTss s 域和域和 z z 域的关系域的关系栗忍 jTTjTTseeeez)(jssTTzez2,j02s2sIm10Res s 域和域和 z z 域的关系域的关系 z=ez=eTsTs令令 =0=0，相当于取，相当于取s s平面的虚轴，当平面的虚轴，当 从从-变到变到时时，映，映射到射到z z平面

17、的轨迹是以原点为圆心的单位圆。平面的轨迹是以原点为圆心的单位圆。s s平面平面z z平面平面7.5.17.5.1、s s域到域到z z域的映射域的映射栗忍 Ts2Ts2zTzTzezT,1Te1Te2Te1当当s s平面上的点沿虚轴平面上的点沿虚轴 从从-移到移到时时，z z平面上的点已平面上的点已经沿着单位圆转过了无穷多圈。经沿着单位圆转过了无穷多圈。等等 曲线曲线j02s2sj1120 07.5.17.5.1、s s域到域到z z域的映射域的映射栗忍 结论：结论：s s平面的虚轴的平面的虚轴的左半平面左半平面映射为映射为z z平面上平面上单位圆的内部单位圆的内部，右半平面右半平面映射为映射

18、为单位圆的外部单位圆的外部。离散系统的稳定性定义：离散系统的稳定性定义：若离散系统在有界输入序列的作用若离散系统在有界输入序列的作用下，其输出序列也是有界，则称该离散系统是稳定的。下，其输出序列也是有界，则称该离散系统是稳定的。线性定常连续系统稳定的充要条件：线性定常连续系统稳定的充要条件：系统齐次方程的解是收系统齐次方程的解是收敛的，或者系统特征方程根均具有负实部，或者系统传递函敛的，或者系统特征方程根均具有负实部，或者系统传递函数的极点严格均在左半数的极点严格均在左半 s s 平面。平面。7.5.27.5.2、离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件二、离散系统稳定的充要条件二、离散系

19、统稳定的充要条件栗忍 离散系统稳定的充要条件：离散系统稳定的充要条件：从离散系统的差分方程从离散系统的差分方程的齐次解的收敛性，或者从的齐次解的收敛性，或者从 z z域中离散系统的特征方域中离散系统的特征方程的根的研究得到结论。程的根的研究得到结论。1 1、离散系统稳定的充要条件（时域）、离散系统稳定的充要条件（时域）- -自学自学2 2、离散系统稳定的充要条件（、离散系统稳定的充要条件（z z域）域）)(1)()()()(zGHzGzRzCz0)(1)(zGHzD G(s)(tc)(*tc H(s)(tr)(*tr)(z)(tb)(*tb)(*te)(te7.5.27.5.2、离散系统稳定的

20、充要条件离散系统稳定的充要条件栗忍 设特征方程的根（闭环极点）各不相同设特征方程的根（闭环极点）各不相同z z1 1，z z2 2，z z3.3.z zn n由由s s平面到平面到z z平面的映射关系平面的映射关系s s平面的左半平面平面的左半平面对应的稳定区域：对应的稳定区域：z z平面上单位圆的内部；平面上单位圆的内部； s s平面的右半平面平面的右半平面对应的不稳定区域：对应的不稳定区域： z z平面上单位圆的外部；平面上单位圆的外部；s s平面的虚轴平面的虚轴对应的临界稳定：对应的临界稳定：z z平面上单位圆周。平面上单位圆周。系统稳定的充分必要条件：系统稳定的充分必要条件：离散特征方

21、程的全部特征根都在离散特征方程的全部特征根都在单位圆内，即单位圆内，即, 2 , 1, 1nizi0)(1)(zGHzD7.5.27.5.2、离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件栗忍 例：设典型离散系统例：设典型离散系统) 1(10)(sssG1)(sH采样周期采样周期 T=1(s)T=1(s)，试分析系统的闭环稳定性。，试分析系统的闭环稳定性。解：开环脉冲传递函数解：开环脉冲传递函数)(1()1 (1011110) 1(10)()(11ezzzessZssZzGzHG特征方程特征方程0368. 0952. 40)(1()1 (101)(1211zzezzzezGH876. 4,076

22、. 021zz结论：闭环系统不稳定。结论：闭环系统不稳定。7.5.27.5.2、离散系统稳定的充要条件离散系统稳定的充要条件栗忍 7.5.37.5.3、离散系统的稳定性判据离散系统的稳定性判据连续系统的代数稳定判据连续系统的代数稳定判据劳斯稳定判据劳斯稳定判据 判定：判定：特征方程的根是否都在左半特征方程的根是否都在左半s s平面平面？离散系统的稳定性离散系统的稳定性 判定：判定：特征方程的根是否都在特征方程的根是否都在z z平面的单位圆内平面的单位圆内？将将劳斯判据劳斯判据用于离散系统的稳定性判定，首先要将用于离散系统的稳定性判定，首先要将z z平面上的稳定域单位圆内平面上的稳定域单位圆内

23、新平面上的左半平面新平面上的左半平面Z Z域域 w w域域栗忍 1. 1. WW变换变换（双线性变换）与劳斯稳定判据（双线性变换）与劳斯稳定判据令令11wwz注意到注意到 z z和和 w w都是复变量，则有都是复变量，则有jyxzjvuw222222)1(2)1(1)(1)(1)(11yxyjyxyxjyxjyxzzjvuw显然：显然：2222)1(1)(yxyxu考察上式：在考察上式：在z z平面的单位圆上，满足平面的单位圆上，满足1)(22 yx0u对应在对应在 w w平面上：平面上： 表明：表明：w w平面上的虚轴对应于平面上的虚轴对应于z z平面上的单位圆周。平面上的单位圆周。7.5.

24、37.5.3、离散系统的稳定性判据离散系统的稳定性判据栗忍 1)(022yxu1)(022yxuZ Z平面单位圆内平面单位圆内Z Z平面单位圆外平面单位圆外xjyz110wjvu0w w平面左半平面平面左半平面w w平面右半平面平面右半平面劳斯稳定判据在劳斯稳定判据在离散系统中离散系统中的应用：将离散系统在的应用：将离散系统在z z域的特域的特征方程变换为征方程变换为w w域的特征方程域的特征方程，然后应用劳斯判据。，然后应用劳斯判据。0)(10)(1wGHzGH7.5.37.5.3、离散系统的稳定性判据离散系统的稳定性判据栗忍 例：设闭环离散系统如图所示，例：设闭环离散系统如图所示，T=0.

25、1(s)T=0.1(s)，试求系统稳定时，试求系统稳定时 K K 的极限值。的极限值。)(tc)(trT)11.0(ssK368.0368.1632.0)11 .0()(2zzKzssKZzG368.0)368.1632.0(632.0)(1)()(2zKzKzzGzGz0368.0)368.1632.0()(12zKzzG0368. 011)368. 1632. 0(112wwKww解：解：7.5.37.5.3、离散系统的稳定性判据离散系统的稳定性判据栗忍 进一步整理后，进一步整理后，w w域的特征方程：域的特征方程：0)632.0736.2(264.1632.02KwwK劳斯表劳斯表Kww

26、KKw632. 0736. 20264. 1632. 0736. 2632. 00233.40632.0736.2,0KKK由劳斯稳定判据由劳斯稳定判据33.40 K使系统闭环稳定的取值范围使系统闭环稳定的取值范围极限增益极限增益33.4cK7.5.37.5.3、离散系统的稳定性判据离散系统的稳定性判据栗忍 连续系统连续系统求稳态误差的方法：求稳态误差的方法：（1 1）L L变换的终值定理；（变换的终值定理；（2 2）动态误差系数法）动态误差系数法 上述方法上述方法 求离散系统稳态误差求离散系统稳态误差由于离散系统的结构没有规范的形式，误差脉冲传递函数也没有一般的由于离散系统的结构没有规范的形

27、式，误差脉冲传递函数也没有一般的计算公式。例如图示系统计算公式。例如图示系统)(tc)(trT)(sG)(*te)(zE)()()(zRzzEe)(11)()()(zGzzRzEe7.5.57.5.5、离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差栗忍 设系统的全部极点（即误差脉冲传递函数的全部极点）均在设系统的全部极点（即误差脉冲传递函数的全部极点）均在z z平面上的单位圆内。由平面上的单位圆内。由 z z变换的终值定理求出系统在采样时刻变换的终值定理求出系统在采样时刻的终值误差。的终值误差。)(1 )() 1(lim)()1 (lim)(lim)(111*zGzzRzzEzteezzt稳态误差：稳态

28、误差：与系统自身的结构和参数、输入序列的形式、与系统自身的结构和参数、输入序列的形式、采样周期采样周期 T T 有关。有关。例例1 1设图中设图中)(1 . 0,) 11 . 0(1)(sTsssGttrttr)(；)( 1)(试求离散系统相应的稳态误差。试求离散系统相应的稳态误差。)(tc)(trT)(sG)(*te)(zE7.5.57.5.5、离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差栗忍 )(1()1 ()(11ezzezzG368. 0736. 0)(1()(11)(21zzezzzGze482. 0368. 02, 1jz系统闭环稳定。系统闭环稳定。1)(,)( 1)() 1 (zzzRt

29、tr0368. 0736. 0)(1(lim1)(1)1 (lim)(21111zzezzzzzGzezz先判断稳定性先判断稳定性再求稳态误差再求稳态误差7.5.57.5.5、离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差栗忍 2) 1()(,)( 1)()2(zTzzRtttr1 . 0368. 0736. 0)(lim) 1()(1)1 (lim)(211211TzzezTzTzzGzezz如果希望求出其他结构形式离散系统的稳态误差，或者希如果希望求出其他结构形式离散系统的稳态误差，或者希望求出离散系统在扰动作用下的望求出离散系统在扰动作用下的稳定误差稳定误差，只要求出，只要求出系统系统误差的误差的

30、z z变换函数变换函数E(z)E(z)，在离散系统稳定的，在离散系统稳定的前提前提下，同样可下，同样可以应用以应用z z变换的变换的终值定理终值定理算出系统的稳态误差。算出系统的稳态误差。7.5.57.5.5、离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差栗忍 7.5.67.5.6、离散系统的型别与静态误差系数离散系统的型别与静态误差系数离散系统离散系统的型别根据开环脉冲传递函数的型别根据开环脉冲传递函数 G(z) G(z) 中中 z=1z=1的极点的极点个数来确定。个数来确定。 =0,1,2. =0,1,2. 称为称为0 0型、型、 型、型、 型离散系统。型离散系统。在在连续系统连续系统中中，将开环传

31、递函数，将开环传递函数G(s)G(s)具有具有s=0s=0的极点的极点数数 作为划分系统型别的标准，作为划分系统型别的标准， =0,1,2.=0,1,2.的系统称为的系统称为0 0型、型、 型、型、 型等。型等。栗忍 1. 1. 单位单位阶跃输入阶跃输入时的稳态误差时的稳态误差1)(,)( 1)(zzzRttrpzzztKzGzzzGzzzEztee1)(1 1lim1)(1 ) 1(lim)()1 (lim)(lim)(1111*)(1 lim1zGKzp0)()(1 lim1ezGKzp0 0型系统型系统I I型及以上的系统型及以上的系统0)()(1 lim1ezGKzp静态静态位置位置误差系数误差系数G(Z)G(Z)的极点，即，其分母的极点，即，其分母为为0 0，G(z)G(z)为无穷大。为无穷大。7.5.67.5.6、离散系统的型别与静态误差系数离散系统的型别与静态误差系数栗忍 2. 2. 单位单位斜坡输入斜坡输入时的稳态误差时的稳态误差2)