普通高等学校招生全国统一考试

1、2014 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（新课标卷）第卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合M， x | x23x20，则MN( )0,1,2 NA 1B 2C 0,1D 1,22设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i ，则 z1z2 （）A 5B 5C 4 iD 4 i3设向量 a, b 满足 | ab |10 ， | ab |6 ，则 a b()A 1B 2C 3D 54钝角三角形 ABC 的面积是1，AB1， BC2，则 AC( )2A 5B 5C2D 15某地区空气质量监测资料表明，

2、一天的空气质量为优良的概率是075 ，连续两天优良的概率是 06，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A 08B 075C 06D 0456如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示 1cm）, 图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为 6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A 17B 5C 10D 12792737执行右图程序框图，如果输入的x, t均为 2，则输出的S（）开始输入x ，tM1，S 3k1是否是kt否MM x输出 SkSMS结束kk1A4B5C6D78设曲线 yax ln( x 1) 在点

3、(0,0) 处的切线方程为y2x ，则 a（）A0B1C2D3xy 70,9设 x, y 满足约束条件x3 y10, 则 z 2xy 的最大值为（）3x y50.A 10B8C3D 210设 F 为抛物线 C : y23x 的焦点，过 F 且倾斜角为30 的直线交 C 于 A,B 两点， O 为坐标原点，则OAB 的面积为（）A3 3B93C 63D 94832411直三棱柱ABC A1B1C1BCA 90M , NA1B1, AC中，分别是1 1 的中点，BC CACC1 ，则 BM 与AN 所成的角的余弦值为（）A 1B 2C30D210510212设函数 f ( x)3 sinx 若存在

4、 f ( x) 的极值点 x0满足 x2 f ( x )2m2，则 m 的取值m00范围是（）A,66,B,44,C,22,D,14,第卷本卷包括必考题和选考题两部分第 13 题 第 21 题为必考题 ，每个试题考生必须做答第22 题 第 24 题为选考题 ，考生根据要求做答二填空题13 ( x a)10 的展开式中， x7的系数为15，则 a_( 用数字填写答案 )14函数 f (x)sin( x 2 )2sincos( x) 的最大值为 _15已知偶函数f ( x) 在 0,) 单调递减， f (2)0 若 f ( x1) 0 ，则 x 的取值范围是_ 16设点 M (x0 ,1)，若在圆

5、 O : x2y21上存在点 N ，使得OMN 45，则 x0 的取值范围是 _三 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（本小题满分12 分）已知数列 a 满足a1a3a1n1，n 1n（）证明 an1 是等比数列，并求 an 的通项公式；2（）证明：1113a1a2an218（本小题满分 12 分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面 ABCD为矩形， PA平面 ABCD， E为 PD的中点（）证明：PB平面 AEC ；（）设二面角 DAEC 为 60°， AP1 ， AD3 ，求三棱锥 E ACD 的体积19 （本小题满分12 分）某地区2007 年至 2013 年农村

6、居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份年份代号人均纯收入y20072008200920102011201220131234567293 33 64 44 85259（）求y 关于的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：nti tyiy?bi 1，?nybtti2ati 120（本小题满分 12 分）设 F1 , F2 分别是椭圆 x2y21（ ab 0 ）的左右焦点，a2b2上一点且 MF2 与 x 轴垂直，

7、直线MF1 与 C的另一个交点为N（）若直线MN的斜率为 3，求 C 的离心率；4（）若直线MN在 y 轴上的截距为2，且 |MN |5| F1 N |，求 a,b 21（本小题满分12 分）已知函数f ( x)exe x2x 。（）讨论f (x) 的单调性；（）设 g( x)f (2 x)4bf ( x) ，当 x 0时， g x0 , 求b 的最大值；（）已知1.4142 21.4143，估计 ln 2的近似值（精确到0.001 ）。22（本小题满分10）选修 4 1：几何证明选讲如图，P 是O外一点， PA 是切线， A 为切点， 割线 PBC与O相交于点 B，C，PCD 为 PC的中点

8、， AD的延长线交O于点 E证明：（） BEEC；（） AD DE2PB2 。M是 C2PA ，23 （本小题满分10）选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos，0,2（）求 C 的参数方程；（）设点D 在 C 上， C在 D 处的切线与直线l : y3x2 垂直，根据（）中你得到的参数方程，确定D 的坐标24（本小题满分10）选修 4-5 ：不等式选讲设函数f ( x)| x1| xa |（ a0）。a（）证明：f ( x)2 ；（）若f (3)5，求a 的取值范围参考答案一、选择题1 D解析 1：直接

9、检验法把M0,1,2x23x 2 0，经检验 x 1,2 满足。中的数，代入不等式解析 2：把 0， 1， 2 代人 x23x 20 验证，只有1， 2 满足不等式，故选 D.考点：考查集合与一元二次不等式的知识，简单题.2 A.解析：z12i与 z2关于虚轴对称，z22i z1z2(2i)( 2i)5 ，故选 A.解析2：考察复平面坐标与复数一一对应，z1 2 i 对应点 (2,1) 关于虚轴（ y 轴）对称点为 (2,1) ，因此 z22 i, z1 z2i 245考点：考查复数的基本知识，简单题.3 A.解析：| ab |10,| ab |6a22abb210, a22ab b264a

10、b4a b1，故选 A.222解 析 2 ： 考 察 向 量 的 运 算 ， 是 课 本 上 的 原 型 ， a ba 2a b b 10 （ 1 ） 同 理 有2226 （ 2）， (1)-(2)= 4a b4 即 a b1a ba2a b b考点：考查平面向量的数量积，中等题.4 B.解析 1： ABC面积为1， AB1,BC22 1 1 2 sin B1sin B2B45 ,135222当 B=45°时，AC2AB2BC 22 AB BC cos4512 2 1221 AC12此时， AC=AB=1,故 A=90°，这与 ABC为钝角三角形矛盾.当 B=135

11、6;时，AC 2AB2BC 22ABBC cos135122 1225AC5 ，故选 B.22：因为 S ABC1121sin B12，所以B，或 B3解析ac sin B，所以 sin B。222244当 B时，经计算ABC 为等腰直角三角形，不符合题意，舍去。43，使用余弦定理，得 b2a2c22ac cosB5 。所以B4解 析3：考察三角形面积公式与余弦定理的简单应用， S1 ABBCsin ABC1 则 有22s i n ABC2，因此当ABC时 AC2AB2BC 22 AB BC cosABC1，AC=1 注意此时243为等腰直角三角形不合题意舍去，当ABC时4AC 2AB2BC

12、22AB BC cosABC5 ， AC5 （大边对大角）满足条件考点：考查正余弦定理的应用，中等题.5 A.解析 1：设第 i 天空气优良记着事件Ai ，则 P(A i )0.75,P(A iA i 1)0.6(i1,2,) ,第 1 天空气优良，第2 天空气也优良这个事件的概率为P( A1 A2) 0.60.8，故选 A.P( A2 | A1)P(A1)0.75解析 2：考察独立事件的概率乘法，设某一天空气优良为事件A, 后一天空气优良概B ，则根据概率乘法有连续两天空气优良 P( AB )P( A) P( B) ，得 P( B) 0.8考点：考查条件概率的概率，简单题.6 C.解析 1：

13、毛胚的体积V32 654制成品的体积 V1322224 34切削掉的体积与毛胚体积之比为：1 V113410，故选 C.V5427解析 2：因为加工前的零件半径为3，高为6，所以体积 v19 654。因为加工后的零件，左半部分为小圆柱，半径2，高为 4，右半部分为大圆柱，半径为3，高为 2，所以体积 v244 9234。所以，削掉部分的体积与原体积之比等于54341054。27解析 3：三视图，注意三视图位置为（正，侧，俯）由图可以看出相当于一个平躺的圆柱（底面圆的半径为 3，高为6）外侧消掉一部分（剩余部分小圆柱底面半径为2，高为 4，大圆柱底面半径为3，高为 2）V原54 ，剩余部分体积为

14、V剩161834V削2010则原毛坯的体积为，因此5427V毛考点：考查三视图于空间几何体的体积，中等题.7 D.解析 1：第 1 次循环， M1 22， S235， k2 ；1第2次循环， M222 ， S257 ， k3。2退出循环， S 7。解析 2：简单的程序框图，但由于变量涉及到5 个，容易出错，同时一定要注意每一步执行的顺序根据流程图模拟运算有第一次结果M2, S5, k2 ，第二次结果 M2, S7, k3，此时 kt 不成立退出循环，输出 S 7考点：考查算法的基本知识，简单题.8 D.解析 1：考察导数的几何意义，复合函数求导y 'a1, y '(0)a1 2

15、, a3x1解析 2：因为曲线 yaxln( x1)在点 (0,0)处的切线方程为 y2 x ，又因为 y1a1x所以 y |x 0a12，解得 a3 ，故选 D.10考点：考查导数的几何应用，中等题.9 B解析1：考察线性规划问题，通过对应方程两两联立得交点分别为(5, 2)，(3, 4)，（ 1,2）经检验都在可行域内，因此x5, y2, zmax8解析 2：画出可行域，如右图：可行域为ABC ，计算得：A(3, 4) ， B(5, 2) ， C (2,1) 。因为：z( A)2342，z( B)2528，z(C )2213，所以 z 2xy 的最大值为 8xy70解析 3：作出 x ，

16、y 满足约束条件 x3y10 表示的平面区域如图阴影部分： 做出目标函数3xy50l0 ：yl 2Ax 3y 1 0C1BO2xl0l1xy703xy50y2x ， y2xz ，当 y2xz 的截距最小时， z 有最大值。当 y2xz经过 C 点时， z 有最大值。由 x3 y 10得： C (5, 2)xy70此时： z有最大值2 5 28，故选 B解析 4：作图即可 .考点：考查二元一次不等式组的应用，中等题.10 D解析 1： y23x抛物线 C的焦点的坐标为：F ( 3,0 )43)所以直线 AB的方程为： ytan 30 (x4y3 (x3)故34y23x从而 16x2168x 90

17、x1x22132弦长 |AB|=x1x2122又 O点到直线 AB : 4x43y30 的距离 d=3342(43) 28 SOAB11239,故选 D.284解析 2：过点 F ( 3 ,0) 且倾斜角为30 的直线 AB 的方程为 y3 (x3) 。434由 y3 (x3) ，得 x3 y3，将 x3 y3代入 y23x ，消去 x ，整理得 y233 y90 。34444由弦长公式得， | AB |11( y1y2 )24 y1 y212 。k 2直线 AB 的一般式方程为43x12 y3 30 ，原点 O 到直线 AB 的距离 d| 33 |3 。481448S ABC13129。28

18、4解析3 ：考察抛物线的定义及三角形面积，由已知得焦点坐标为F (3 ,0) ，因此AB直线方程为4y3(x3),即4 x4 3y 30 ，与抛物线方程联立化简得：联立方程得：4y2123y90 ，34因 此21139yAyB( yA)yB同 时SOABO F yAyB6或 者 有4 yA yB 64224x221 x90, xA xB21又根据抛物线的定义有ABxAxB p21312 ，同时根据原点216222到直线距离有高为h33 ，因此 S OAB1 AB h9( 4423)2 824解析 4： F ( 3 ,0) ，设 A(x1, y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ，直线 AB

19、的方程为 y3 (x3 ) ，代入抛物线434方程得： x221x90 ， x1x221 ， x1x29216216由弦长公式得 | AB |(1k 2 )( x1x2 )24x1 x2 12|30 03 |3由点到直线的距离公式得： O 到直线 AB 的距离 d343 ) 28( 1)23SOAB 11239284考点：综合考查抛物线的知识，弦长计算与分析直线和圆锥曲线位置关系的能力，难度为困难题.11 C.解析 1：设 AC=2，BCCACC12A(2,0,0), N (1,0,2), B(0,2,0), M (1,1,2)BM(1, 1,2), AN( 1,2,0)cosAN BM333

20、0AN, BM6 53010|AN| | BM |解析 2： C故选 C.分别以 C1B1 , C1 A1 ,C1C 为 x, y, z 轴，建立直角坐标系。不妨设 BCCACC12，则 A(0,2,2) ， B(2,0,2) ， M (1,1,0) ， N (0,1,0) ，所以 BM( 1,1, 2) ，AN(0, 1, 2)。cosBM,ANBM AN0 1430 。|BM | |AN|6510解析 3：考察异面直线夹角问题，取 BC 中点 D ，连结 MN,ND ，由于 MN / / 1 BC / /B1C1 因此有 ND / /BM ，2则 ND 与 NA 所成夹角即为异面直线 BN

21、 与 AN 夹角，设BC2，则BM ND6,AN5, AD5 ，因此 cosANDND 2NA2AD 2302ND NA10解析 4：如图所示，取 BC 的中点 P ，连结 NP 、 APCPBAC1NB1MA1M，N分别是A1B1， AC11 的中点，四边形 NMBP 为平行四边形， BMPN所求角的余弦值等于ANP 的余弦值不妨令 BC CA CC12，则 AN AP5|AN|2| NP|2|AP|2( 5)2( 6)2( 5)230N P M B 6 ， cos ANP256102 |AN| |NP|考点：考查空间夹角问题.中等题 .12 C.解析 1：f ( x)3 sinxf( x)

22、3cos xmmm令f()0cosx0xk(kZ)xmm2 x(2k1)m ，即 f (x) 的极值点 x0(2 k1) m ( k Z)22存在 f ( x) 的极值点 x0 ，满足 x02f (x0 ) 2m2(2k1) m 23 sin 2x0m22m又 sin 2x0sin 2 (m(2 k1) m )sin 2 2ksin 2 ( k)1m222存在 kZ ，使得 (2 k1) m 23m22存在 kZ ,使得 31(2k1) 2m24 31(2 k1)2max113| m |2，故选 C.m2444解析2：考察三角函数的性质及特称命题与全称命题（正难则反）转化，以及关于不等式恒成立

23、问题f (x)3sin(x) 的极值点即为三角型函数的最高或者最低点处的横坐标，由三角形性质可知2mT2m ，因此 x0mkm(kZ ) ,假设不存在这样的x0，即对任意的 x0 都有 x02 f (x0 )2m2 ，m2则 (mkm)23m2m2( k2k33 0恒 成 立 ， 即 k2332， 整 理 得 ： f (m)km2 ，344f (k ) kk最小值为(k1或 0）2m 2因此原特称命题成立的条件是m 223，44解析 3： f '( x)3cos x ，令 f '( x)3cosx0 得： xm( 1k) kZmmmm2 x0m( 1k) kZ ，又 x02 f

24、 ( x0 )2m2 ， m2 ( 1k )2 3 sin(k ) 2m2222即：3m21( 1k)2 ， 1( 1k )20 ，故： k022 3m21( 1)2 ，即： m24 ，故： m2 或 m22考点：考查导数与极值，三角函数，不等式的知识，为困难题.二、填空题13 12解析：( x a)10 展开式的通项为 Tr 1C10r x10r ar (r0,1, ,10) ( x a)10 展开式中 x7 的系数为 C103 a315a12考点：考查二项展开式的通项公式，简单题.14 1解析 1：f (x) sin( x 2 )2sin cos(x)sin( x)coscos(x)sin

25、2sin cos(x )sin( x)cossincos(x)sin xf (x)sin x 的最大值为 1.解 析2 ： 考 察 两 角 和 差 的 正弦 公 式 ， 注 意 角 的 拆分 f ( x) sin( x) 2sin cos(x ) ， 又f ( x)sin( x)sin(x) coscos(x)，si因此 f ( x) sin( x)coscos(x)sinsin x 即最大值为 1考点：本题考查和差角公式，为中等题.15 ( 1,3)解析 1：考察偶函数的性质，对称区间单调性相反，数形结合易得2x12, 1x3解析 2：作出函数f ( x) 的示意图，如图所示因为 f ( x 1) 02 x 1 21 x 3解析 3：特殊化，数形结合因为偶函数 f x在 0,单调递减，f 2 0 ，所以不妨画出图像如下：函数 f ( x1) 的图像为：由图可知，不等式f (x1)0 的解集为 ( 1,3) 。考点：本题考查函数的单调性与奇偶性. 简单题.16 1,1解析1：数形结合，当M (1,1)时，恰好存在圆上（0,1）（ 1,0）两个点使得，OMN45结合图像，当M 继续向右运动时，与圆上任意一点形成的夹角都小于45 度，再结合对称性可得x0 范围在 1,11k1| x0解析 2：直线 OM