北师大版高中数学（必修5）1.4《数列在日常经济生活中的应用》之三ppt课件

1、 一、数列运用问题的常见模型 (1)_；普通地，假设添加(或减少)的量是一个固定的详细量时，该模型是等差模型，添加(或减少)的量就是公差，其普通方式是：an1and(常数) (2)_：普通地，假设添加(或减少)的百分比是一个固定的数时，该模型是等比模型 (3)_：在一个问题中，同时涉及等差数列和等比数列的模型 (4)_：假设某一个量，每一期以一个固定的百分数添加(或减少)，同时又以一个固定的详细量添加(或减少)时，我们称该模型为生长模型如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等 (5)_：假设容易找到该数列恣意一项an1与它的前一项an(或前几项)间的递推关系式，那么我们可以用递推数列的知识求解问

2、题 友谊提示：普通涉及递增率什么的，用到_；涉及依次添加或者减少什么的，用到_，或者有的问题是经过转化得到_的，在处理问题时要往这些方面去联络 二、与银行利率相关的几类模型 (1)银行储蓄单利公式 利息按单利计算，本金为a元，每期利率为r，存期为x，那么本利和_. (2)银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，存期为x，那么本利和_. (3)产值模型 原来产值的根底数为N，平均增长率为p，对于时间x的总产值_. (4)分期付款模型 a为贷款总额，r为月利率，b为月等额本息还款数，n为贷款月数，那么_. 三、数列综合运用题的解题步骤 (1)_弄清题意，分析涉及哪些数

3、学内容，在每个数学内容中，各是什么问题 (2)_把整个大题分解成几个小题或几个“步骤，每个小题或每个小“步骤分别是数列问题、函数问题、解析几何问题、不等式问题等 (3)_分别求解这些小题或这些小“步骤，从而得到整个问题的解答 (4)_将所求结果复原到实践问题中 详细解题步骤如下框图： 1.零存整取模型 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务，即每月定时存入一笔一样数目的现金，这是零存；到商定日期，可以取出全部本利和，这是整取，规定每次存入的钱不计复利注：单利的计算是仅在原有本金上计算利息，而本金所产生的利息不再计算利息，其公式为 利息本金利率存期， 本利和本金(1存期利率) 零存整取是等差数列求和在

4、经济方面的运用 例李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄从8月1号开场，每个月的1号都存入100元，存期三年 (1)知当年“教育储蓄存款的月利率是2.7.问到期时，李先生一次可支取本息多少元？ (2)知当年同档次的“零存整取储蓄的月利率是1.725.问李先生办理“教育储蓄比“零存整取多收益多少元？(注：零存整取要收20%的利息税) 2定期自动转存模型 银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存例如，储户某日存入一笔1年期定期存款，1年后，假设储户不取出本利和，那么银行自动办理转存业务，第2年的本金就是第1年的本利和 注：复利的计算是把上期末的本利和作为下一期的本金，在计算时每一期本金的数额是不同的

5、复利的计算公式为： 本利和本金(1利率)n. 定期自动转存(复利)是等比数列求和在经济方面的运用 例知本金m1200元，复利率i7%，期数n4，求本利和总额S4. 解析：S41200(17%)41572.96(元) 3分期付款模型 采用分期付款的方法，购买售价为a元的商品(或贷款a元)，每期付款数一样，购买后1个月(或1年)付款1次，过1个月(或1年)再付1次，如此下去，到第n次付款后全部付清 假设月利率(或年利率)为b，那么每期付款x元满足以下关系： 按单利计息时为a(1nb)x1(1b)(12b)1(n1)b； 按复利计息时为a(1b)nx1(1b)(1b)2(1b)n1 化简得x(1b)

6、n1ab(1b)n. 例某职工年初向银行贷款2万元用于购房，银行为了推进住房制度改革，低息贷款年利率为2%，按复利计息(即本年的利息计入次年的本金生息)假设这次贷款要求分10次等额还清，每年一次，从贷款次年年初开场还，问每年应还多少元？(准确到元) 解析：设每年还款x元，第n年还款后余额为Mn.依题意得： M120000(12%)x， M2M1(12%)x20000(12%)2x(12%)x， M3M2(12%)x20000(12%)3x(12%)2x(12%)x， M1020000(12%)10 x(12%)9x(12%)8x(12%)x. 4怎样处置数列的运用问题 数列运用问题的学习已成为

7、高中数学学习与研讨的一个重要内容，现实生活中涉及银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、任务效率、图形面积、曲线长度、堆积物品总数等实践问题，都需求用数列的知识加以处理解答数列运用问题的中心是建立模型，其根本步骤如下表 (1)等差数列的实践运用 在数列运用题中，假设an1与an的关系满足an1and(d为常数)时，那么可以运用等差数列模型处理 阐明：要经过对题意的分析，阐明数列为等差数列，然后设出有关符号，如an，d等的意义，这样才干使阅卷者迅速了解他的解答思绪 5模型法 模型法就是在实践问题中，构造数列模型或其他模型，再进而构造数学模型，经过构造模型使问题顺利得到处理 运用模型法来处理问题时

8、，应广泛搜集信息，抓住关键词，准确了解题意，要擅长抓主要矛盾，类比联想，从而建立相应模型 (1)处理数列的运用问题必需准确探求问题所涉及的数列的模型(如等差数列、等比数列、或与等差、等比数列有关的数列)，或准确定义问题中的数列 (2)求出数列的通项公式或建立递推公式：假设问题所涉及的数列是特殊数列(如等差数列、等比数列、或与等差、等比有关的数列，等等)，应首先建立数列的通项公式；假设问题所涉及的数列不是某种特殊数列，普通应思索先建立数列的递推关系(即an与an1的关系). 数学运用问题的教学已成为中学数学学习与研讨的重要内容，解答数学运用问题的中心是建立数学模型解答数列运用题的根本步骤： (1

9、)阅读了解实践资料且对资料作适当处置； (2)建立变量关系，将实践问题转化为数列模型； (3)讨论变量性质，发掘标题中的条件 例1某人有七位朋友第一位朋友每天晚上都去他家看他，第二位朋友每隔一个晚上到他家去，第三位朋友每隔两个晚上去他家串门，第四位朋友每隔三个晚上去他家做客，依次类推，直至第七位朋友每隔六个晚上在他家出现这七位朋友昨晚在主人家中碰面，他们还会同一个晚上在主人家中碰面吗？ 解析：第一位朋友每天晚上在主人家；第二位朋友以后在主人家的天数为第：2,4,6,8，这些数构成以2为首项，公差为2的等差数列，通项公式为：an2n；第三位朋友以后在主人家的天数为第：3,6,9，这些数构成以3为

10、首项，公差为3的等差数列，通项公式为：an3n；第四、五、六、七位朋友晚上在主人家的天数构成以4、5、6、7为首项，公差为4、5、6、7的等差数列，通项公式分别为an4n，an5n，an6n，an7n；他们要在同一晚上出现，这个数应为这七个数列的公共项，这一项为哪一项2,3,4,5,6,7的倍数，而2,3,4,5,6,7的最小公倍数为420，因此第420,840,1260天晚上他们会同时在主人家出现 变式训练1用分期付款方法购买电器一件，价钱为1150元，购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%，分20次付完，假设交付150元以后的第一个月开场算分期付款

11、的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实践花多少钱？ 解析：购买时付150元，欠1000元，每月付50元，分20次付清，设每月付款数依次成数列an，那么a15010001%60(元)，a250(100050)1%59.5(600.51)(元)，a350(1000502)1%59(600.52)(元)，依次类推，a1050(1000509)1%55.5(600.59)(元)，an600.5(n1)0.5n60.5(1n20)所以an组成以60为首项，0.5为公差的等差数列，所以，总数S2015020a1 d1501255(元)，第十个月该交55.5元，全部付清实

12、践花1255元 评析：审题，建立等差数列模型，运用等差数列的通项公式及前n项和公式求解，但需留意最后一次付款利息是50元欠款的利息，第一次付款利息是1000元的利息而不是950元，此处易出错 处理数列在实践运用中的问题关键是经过仔细审题，将实践问题转化为数列模型，运用等差数列和等比数列的知识处理问题，因此在做题过程中必需明确建立的是等差数列模型还是等比数列模型，明确是求n，还是求an，或是求Sn. 例2陈教师购买工程集资房92 m2，单价为1000元/m2，一次性国家财政补贴28800元，学校补贴14400元，余款由个人负担房地产开发公司对教师实行分期付款(注)，经过一年付款一次，共付10次，

13、10年后付清，假设按年利率7.5%，每年按复利计算(注)，那么每年应付款多少元？(注) 注：分期付款，各期所付的款以及最后一次付款时所生的利息合计，应等于个人负担的购房余额的现价及这个房款现价到最后一次付款时所生的利息之和 每年按复利计算，即本年利息计入次年的本金生息 必要时参考以下数据. 1.07591.971,1.075102.061,1.075112.216. 解析：设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款及所生利息之和为x1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x1.0758元，第九年付款及其所生利息之和为x1.075元，第十年付款为x元，而所购房余款的现价

14、及其利息之和为100092(2880014400)1.07510488001.07510(元)因此有x(11.0751.07521.0759)488001.07510(元)，所以x488001.07510 488002.0610.0717141(元) 每年需交款7141元 变式训练2为了迎接2021年北京奥运会，我国决议治理渣滓经调查，近10年来我国城市渣滓的年平均增长率为3%，到2001年底堆存渣滓已达60亿吨，侵占了约5亿平方米的土地，目前我国还以年产1亿吨的速度产生新的渣滓，渣滓治理已刻不容缓！ (1)问1991年我国城市渣滓约有多少亿吨？ (2)假设从2002年起，每年处置上年堆存渣滓

15、的 ，到2007年底，我国城市渣滓约有多少亿吨？可节约土地多少亿平方米？ 数列的递推运用问题往往是以一定的实践问题作为背景进展命题的，该问题来源于消费实际，解题时先将实践生活模型用数学公式或等量关系式列出，然后得出数列的递推关系式适当的时候也可以利用特殊化思想方法先求得前几项，运用不完全归纳法得出通项后再进展进一步的论证其最终目的是把运用问题转化为an与an1之间的关系，或an与Sn间的关系，然后利用所学知识加以处理 例3某国采用养老贮藏金制度公民在就业的第一年就交纳养老贮藏金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年添加d(d0)，因此，历年所交纳的贮藏金数目a1，a2，是一个公差为d的等差

16、数列与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利这就是说，假设固定年利率为r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交纳的贮藏金就变为a1(1r)n1，第二年所交纳的贮藏金就变为a2(1r)n2，.以Tn表示到第n年末所累计的贮藏金总额 (1)写出Tn与Tn1(n2)的递推关系式； (2)求证：TnAnBn，其中An是一个等比数列，Bn是一个等差数列 解析：(1)由题意有，TnTn1(1r)an(n2) (2)T1a1，对n2反复运用上述关系式，得 TnTn1(1r)anTn2(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an. 在式两端同乘1r，得

17、(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)， 例4(2021湖南卷)给出下面的数表序列： 表1表2表3 1 13 135 4 48 12 其中表n(n1,2,3，)有n行，第1行的n个数是1,3,5，2n1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和 解析：()表4为 1357 4 8 12 1220 32 它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列 将这一结论推行到表n(n3)，即 表n(n3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列 由此可知，表n(n3)各行中的数都成等差数

18、列，且各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列 ()表n的第1行是1,3,5，2n1，其平均数是 由()知，它的各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列(从而它的第k行中的数的平均数是n2k1)，于是，表n中最后一行的独一一个数为bnn2n1.因此 变式训练4某企业进展技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年添加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年添加5千元；两种方案运用期都是10年，到期一次性归还本息假设银行两种方式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ (取1.05101.629,1.31013.786,1.51057.665) 例5职工小张年初向银行贷款2万元用于购房，银行贷款的年利率为10%，按复利计算(即本年的利息计入次年的本金)，假设这笔贷款要分10年等额还清，每年年初还一次，并且从借款后次年年初开场归还，问每年应还多少元？(准确到1元) 解析：设每年还款x元，需10年还清，那么每年还款及利息情况如下：第10年还款x元，此次欠款全部还清 第9年还款x元，过1年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(110%)元 第8年还款x元，过2年欠款全部还清时，所付款连同利息之和为x(