第十三章动能定理

1、 第十三章动能定理 动能是力学中的重要概念，是机械运动的另一种度量。当机械运动和其它形式运动如电、热等相互转化时，用动能来度量机械运动。动能定理建立了质点和质点系动能的变化与作用力的功之间的关系，是研究质点和质点系动力学的重要依据。本章介绍动能定理及其应用，并将综合运用动力学普遍定理分析较复杂的动力学问题。§13-1 力的功 §13-2 动能定理例1.质点的质量为，沿倾角为的斜面向上运动，若质点与斜面间的摩擦系数为，初速度为，求质点的速度与路程之间的关系。并求质点停止前经过的路程。图13-15 解：研究对象：质点。受力分析：重力，法向约束力和摩擦力。质点开始运动时

2、的动能为 经过路程后的动能为 作用在质点上的力在路程上作的功为 其中是重力的功，是摩擦力的功，法向约束力不作功，由质点动能定理可得 所以 这就是质点的速度和路程的关系。令，可得质点停止前经过的路程: 这就是质点停止前经过的路程。若用质点运动微分方程解此问题，则需先建立运动微分方程，再进行积分，积分上下限由初始条件确定，即 经变换有 积分上式，并注意初始条件 得 这与上面应用动能定理得到的结果相同，在力是常数或力是位置的函数时，积分形式的动能定理，直接给出了质点运动微分方程的第一次积分，得到了速度和位置的关系。所以，用动能定理解此类问题，比较方便。例2.撞击试验机的摆锤质量为，摆杆长为，质量不计

3、。摆锤在最高位置受微小扰动而下落，不计轴承摩擦，摆锤视为质点，求:(1)在任一位置摆锤的速度。(2)杆的约束力及其最大值。(3)杆的内力随角的变化规律。解：(1)研究对象：摆锤。受力分析：作用在摆锤上的力有重力，约束力。图13-16摆锤的初始动能为: 摆锤在任一位置时的动能: 作用在摆锤上的力在此运动过程中作的功为: 根据质点动能定理，得 求得摆锤的速度为 (2)为了求摆锤的约束力，可用质点运动微分方程的自然坐标式: 将代入上式，得 这就是摆锤在任一位置时受的约束力，结果表明约束力随角而变化。显然，当，即摆锤运动到最低位置时，约束力达到最大值，即，是静约束力的5倍。例3.挂在吊索上的物体，质量

4、为以的速度下降，如吊索的上端突然被卡住，求此后吊索中的最大张力。吊索的质量不计，被卡住后的刚度系数为。解：重物为研究对象，作用力有重力和弹性力。 图13-17 图13-18重物的初始动能为 重物运动到最低位置时，吊索变形最大，张力也最大，重物的速度为零，动能为重物的速度由减小到，吊索的变形由原来的静变形增加到，则弹性力的功为 重力的功为 根据质点的动能定理可得由初始时的平衡条件可得 代入上式并简化得 所以 吊索的最大变形为，最大张力为 例4.将一质量为的质点从地球上沿垂直方向抛出，初速度为，不计空气阻力和地球自转的影响，求(1)质点在地球引力作用下的速度。(2)第二宇宙速度。解：(1)以质点为

5、研究对象，作用在质点上的力只有引，由万有引力定律知 指向地心质点初始动能为 运动到处的动能为 在此过程中，引力的功为 根据动能定理可得 所以质点的速度为 结果表明，上抛初速度一定时，质点的速度随的增加而减小，即愈来愈慢。(2)由速可见，若，为负值，故当增加到某一数值时，质点的速度减小为零，此后质点在地球引力作用下落回地面。若，则不多大，甚至当为无穷大时，质点的速度也不会减小到零，即质点将脱离地球引力场，一去不复返，所以，即 就是第二宇宙速度。即从地面发射飞行器，使之脱离地球，进入太阳系，成为人造卫星所需的最小速度。质点系的动能定理例题讲解例1.输送机的主动轮上作用一不变转矩，被输送的重物的质量

6、为，由静止开始运动。轮和均视为均质圆盘，质量为，半径为，输送带的质量不计，倾角为，不计阻力，求重物的速度和加速度。图13-19解：以整个输送机为研究对象。作用在系统上的主动力有转矩，重物的重力，轮和轮的重力，约束力有、轮轴承的约束力、，、。系统由静止开始运动，故初始动能为 重物运动距离后，系统的动能为 系统受理想约束，故约束力不作功，主动力的功为 根据质点系动能定理可得: （a）解之得 这就是重物的速度。 将式（a）两边同时对时间求导，可得重物的加速度，即 结果表明，加速度为常数，即重物作匀加速运动。例2.一不变转矩作用在绞车的鼓轮上，鼓轮视为均质圆盘，半径为，质量为。重物质量为，沿倾角为的斜

7、面上升，重物与斜面的摩擦系数为，绳索质量不计，系统由静止开始运动，求鼓轮的角速度和角加速度。图13-20解：以整个系统为研究对象。作用在系统上的主动力有转矩，重力和，重物与斜面间的摩擦力，故非理想约束。其它约束力都不作功。系统的初始动能 鼓轮转过角后，系统的动能为 主动力及摩擦力的功根据动能定理可得 （a）解之得 对式（a）两边对时间求导可得 在有摩擦力的情况下，已不是理想约束，但把摩擦力视为主动力，计入摩擦力的功，适用于理想约束的动能定理。对于整个系统来说，摩擦力也是内力，是成对出现的，但由于作用在斜面上的那个摩擦力不作功，所以此一对大小相等，方向相反，作用线相同的摩擦力，它们作的功之和并不

8、为零。任何机器或机构，其传动副间的滑动摩擦力总是存在的，它们虽然是一对作用力和反作用力，但作的功不能相互抵消，所以滑动摩擦的存在，总是消耗能量的。例3.重物质量为，当其下落时，借一无重量且不可伸长的绳子，使鼓轮沿水平轨道滚动而不滑动。已知鼓轮的质量为，外轮半径为，内轮半径为，对质心的回转半径为，滑轮的质量忽略不计，求重物的加速度。图13-21解：以整个系统为研究对象。系统受理想约束，主动力有和。系统的初始动能，任一瞬时系统的动能为 其中 ，所以 主动力的功为 根据动能定理得两边对时间求导，并注意到 ，得 （方向向下）与之前的这道题的做法比较，用动能定理解此题比较简便。这是因为理想约束的约束力不

9、作功，故在动能方程中不包含未知的约束力。而用刚体的平面运动微分方程解此题，约束力都包含在方程中。方程中包含未知约束力，不仅演算较繁，而且当未知数多于方程数时，还要将系统拆开，考虑几个甚至多个研究对象，以寻求足够的独立方程。所以对于具有理想约束的一个自由度系统，一般都用动能定理确理确定其运动。例4.汽车连同车轮的总质量为，每个车轮的质量为，半径为，对轮心的回转半径为。在主动轮上作用有主动力矩，空气阻力与汽车速度的平方成正比，即，车轮轴承的总摩擦力矩为，不计滚动摩擦，求汽车的极限速度。图13-22解：以汽车为研究对象，作用在汽车上的外力有汽车的重力，空气阻力，前后轮的摩擦力、和法向约束力、，作用在

10、汽车上的内力有驱动力矩和摩擦力矩。系统的动能为 式中，所以有 由于作用力中包含有变力，故应用微分形式的动能定理 其中外力的元功为 内力的元功为 所以 等式两边同除以微小时间间隔，并注意到，得 这是汽车的运动微分方程，且有 显然加速度随速度增加而减小。当汽车加速度减小为零时，速度达到极值称为极限速度，即 所以 显然汽车达到极限速度时，系统所有内力和外力作功之和必为零，即来自于汽车发动机的驱动力矩之功完全消耗于空气阻力和摩擦阻力，系统的动能不能再继续增加，汽车以极限速度作匀速运动。例5如图所示，均质杆长为，重为，均质圆盘半径为，重为，与杆在处铰接，初瞬时杆水平，杆与圆盘均静止。求杆与水平线成角时杆

11、的角速度与角加速度，以及处的反力。图13-23解：先以圆盘为研究对象，受力如图所示，由相对质心的动量矩定理或刚体平面运动微分方程，有 故得圆盘的角速度常量，因圆盘开始静止，即，所以在运动过程中，圆盘始终作平动。再以圆盘与杆一起为研究对象，任一位置受力分析如图，则系统的初动能 角位置时系统动能 由水平位置运动至角位置过程中只有重力、作功，有 根据动能定理有 （1）可得 将式（1）两边对时间求导，得 其中，代入上式可得 求处反力可应用质心运动定理，即有 式中，代入上式，即可求得，（略）。§13-3势力场势能机械能守恒定理机械能守恒定理例题讲解例1.如图所示，杆长度为，质量为，轮及轮的半径

12、均为，质量均为，圆形槽道的半径为，初瞬时静止，且，求运动至时轨道作用在轮子上的摩擦力。图13-27解：取轮、轮及杆组成的系统为研究对象，系统只受有重力，约束力及内力均不作功，故系统机械能守恒。由图示的几何关系有，杆作定轴转动，轮及轮作平面运动，则，为轮子的角速度，即，则任一位置时系统的动能可写为 取初瞬时位置，即为系统的零势能位置，则在位置时系统具有的重力势能为根据系统的机械能守恒常量，有 由初始条件，即时，代入上式可得，所以可得 将上式两边对时间求导可得 当时，所以有。再取轮为研究对象，受力分析如图，列刚体平面运动微分方程有 所以即轨道作用于轮上的摩擦力为零。例2.均质细杆长为，质量为，上端

13、靠在光滑的墙上，下端以铰链和圆柱体的中心相连。圆柱体质量为，半径为，放在粗糙的地面上，自图示位置由静止开始滚动，滚动阻力可不计。如果初瞬时杆与水平线的夹角，求此瞬时点的加速度。图13-28解：取圆柱和杆组成的系统为研究对象，受力如图所示。在作用于系统上所有力当中，显然只有重力作功。故该系统在运动中机械能守恒。以经过圆柱体中心的水平面为势能的零位置。则在图示位置杆的重力势能为 因圆柱体和杆皆作平面运动，在图示位置它们的速度瞬心分别为点和点，则系统的动能为 根据机械能守恒定理 常量得 将上式两端对时间求导，得 上式中 ，代入上式并注意到初瞬时，可得 注：本题亦可用微分形式的动能定理求解。例3.试用

14、机械能守恒定律计算第二宇宙速度。解：设飞行器质量为，视为质点。发射后在地球引力场中运动，不计空气阻力，则飞行器的机械能保持不变。飞行器在任一位置时，受地球的引力为 其机械能为（选无穷远处为引力势能的零势能位置）图13-29 其中是地球半径，是飞行器到地心的距离。设飞行器在地面的发射速度为，则械械能为 飞行器要能脱离地球引力场，成为人造卫星，必须满足条件，因为在无穷远处，地球引力趋于零，飞行器速度稍大于零，即可脱离地球引力场，成为人造卫星。显然，应用条件，进行计算，即可求得从地面发射所需之最小初速度，即第二宇宙速度。根据上述条件可知飞行器在无穷远处的机械能为零。根据机械能守恒定律可得 从而可算得

15、 这就是第二宇宙速度。第二宇宙速度在前面的例4中已用动能定理计算过。在此重算之目的在于通过对比，常握动能定理和机械能守恒定律的内在联系，掌握机械能守恒定律解题的方法和特点。对于在势力场中运动的自由质点和质点系，或受有理想约束的非自由质点和质点系，用机械能守恒定律确定其运动，十分简便。用机械能守恒定律解题，关键在于正确计算势能，故必须正确理解势能的概念，熟练常握重力、弹性力及万有引力势能的计算。计算势能时要特别注意基准点的选择。§13-4功率 功率方程 机械效率功率 功率方程 机械效率例题讲解 例1.车床电动机的功率，主轴的最低转速，传动系统中损耗的功率是输入功率的，或工件的直径，求切

16、削力。图13-30解：车床正常运转时主轴是等角速度转动，故系统动能不随时间变化，即。根据功率方程可得 其中输入功率，损耗功率，故用于切削工件的功率为 又 故切削力 例2.皮带输送机的速度，输送量，高度，损耗功率为输入功率的，求输入功率。图13-31解：输送带在时间内输送的质量为。以皮带上被输送的材料为研究对象（包括将要进入输送带的质量）。经时间，输送带将质量的材料以速度抛出，同时又有质量的材料从静止状态进入输送带。由于抛出质量速度的大小未改变，而进入质量的速度由零增加到，故在时间内，系统动能的增量为 动能对时间的导数为 根据功率方程 得 其中是工作用的功率，用于在时间内将质量的材料提高，即 是

17、损耗功率，已知，所以输入功率 §13-5动力学普遍定理综合应用前面各章节讲述了用于研究质点或质点系的运动变化与所受力之间关系的动量定理、动量矩定理及动能定理。但每一定理只反映了这种关系的一个方面，这些定理既有共性，又各有其特殊性。例如，动量定理和动量矩定理都既反映速度大小的变化，也反映速度方向的变化，而动能定理只反映速度大小的变化。动量定理和动量矩定理涉及所有外力（包括约束力），却与内力无关，而动能定理则涉及所有作功的力（不论是内力、外力）等都是特殊性的反映。前面各章节中的例题，有的可用不同的定理求解，这是它们共性的表现，而有的只能用某一定理求解，则是各自特殊性的表现。一般来说，在求

18、解具体问题时，根据质点系的受力情况、约束情况、给定的条件及要求的未知量，就可判定应用某一定理求解最为简捷。只用某一定理，往往不能求得问题的全部解答。例如，应用动能定理可以方便地求出物体在两个位置的速度大小的变化，但一般不能确定速度的方向，也不能确定中间的运动过程，因为不考虑不作功的约束力，自然也就不能用来求那些约束力。有些问题需要同时使用两个或三个定理才能求解全部解答。因此，我们必须对各定理较透彻的了解，弄清楚什么样的问题宜用什么定理求解，再进一步常握各定理的综合应用。动力学普遍定理综合应用例题讲解例1.、轮质量均为，半径为、视为均质圆柱体。重物质量为，三角块质量为，倾角为，固结于地面。轮在斜

19、面上作无滑动滚动。求（1）重物的加速度。（2）三角块受地面的约束力。（3）、轮间绳索的张力。（4）轮与斜面间的摩擦力。图13-32解：（1）求重物的加速度。以整个系统为研究对象。系统中重物作平动，轮作定轴转动，轮作平面运动。作用在系统上的主动力有重力、和约束力、。由于三角块固定不动，故、不作功。系统内其他各物体均受理想约束。根据动能定理得式中，上式可简化为 等式两边各项对时间求导，并考虑到，可求得重物的加速度为 结果表明，当时，轮才能由静止向上滚动，重物向下作匀加速度运动。（2）求约束力、仍以整个系统为研究对象。重物和轮质心加速度已求出，故可用质心运动定理求约束力、。根据质心运动定理可得 所以

20、 （3）求张力和摩擦力以轮为研究对象。作用在其上的力有重力，绳索的张力，斜面的法向约束力和摩擦力。轮作平面运动，轮心的加速度已求出，根据滚动无滑动条件，则可求出轮的角加速度，即根据刚体平面运动微分方程可得 由此可求出 应该注意，此时斜面的摩擦力是一种约束力，它决定于轮子的运动和作用在轮子上的其他力，而与接触面的物理条件无关，即。滚动无滑动时，一般，否则就要产生相对滑动。求绳索中张力，亦可用轮和重物组成的系统作为研究对象，用动量矩定理求解。受力情况如图（c），根据动量矩定理得 即 其中 ，故张力为 要注意由于考虑了滑轮的质量，所以滑轮两边绳子的张力是不相等的。下边绳索张力。例2.原长、具有弹簧常数的弹性软绳，一端固定于一光滑水平面上点，另一端系有一重的小球。开始时，把软绳拉长，并给予小球与软绳相垂直的初速度，如图所示。求当软绳恢复到原长时，小球的速度的大小以及与软绳间的夹角。图13-33解：因水平面的约束反力不作功，故小球处于