曲线与曲面积分练习题含答案

PAGEPAGE4第十一章曲线曲面积分练习题一、填空题1、设L是从点到点的一条光滑曲线，则2、设简单闭曲线所围成的面积为，则3、设，则曲面积分4、设曲线为，则5、设，则曲面积分6、设是球面的外侧，则，7、设是曲面介于平面和之间部分的下侧，则=（二）选择题1、设是从点沿曲线到点的弧段，则曲线积分之值等于[](A)(B)(C)(D)2、设是由沿上半圆，经过到.则曲线积分[](A)(B)(C)(D)3、设，则曲线积分[](A)与L取向无关，与a，b大小有关(B)与L取向无关，与a，b大小无关(C)与L取向有关，与a，b大小有关(D)与L取向有关，与a，b大小无关4、设曲线L是区域的正向边界，那么的面积为[](A)(B)(C)(D)5、设曲线积分与路径无关，其中具有一阶连续导数，且，则=[](A)(B)(C)(D)6、已知为某函数的全微分，则等于[](A)(B)(C)(D)7、设是部分锥面：，则曲=[](A)(B)(C)(D)（三）曲线积分的计算1、求，其中L是由所表示的曲线上相应于的一段弧.2、求，其中L是以为顶点的三角形边界.B(0,1)B(0,1)A(1,0)C(B(0,1)B(0,1)A(1,0)C(-1,0)xy图10.24、求，其中如图10.2所示5、适当选取,使是某个函数的全微分,并求出。6、求,其中L为从点到点的一段弧7、试确定可导函数,使积分与路径无关,且求为时的积分值.此处8、计算，其中为任意一条不通过原点的简单光滑正向的封闭曲线.（四）.曲面积分的计算1、求，其中为锥面介于及之间的部分.2、求，为曲面被平面割下的部分3、求，为锥面及平面和所围成的立体表面的外侧4、计算,其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧.5、设是椭球面的外侧,求.（五）Green公式、Gauss公式与Stokes公式求，其中为取正向的圆周A(-1,1)O(0,0)B(2,0)C(2,1)xy求，其中A(-1,1)O(0,0)B(2,0)C(2,1)xy求，式中为由点沿曲线到点，再沿直线到点的路径(图10.3)4、求，其中是球面外侧.5、求,为球面的外侧.6、求，其中是曲面的下侧.7、试求，其中为平面被三个坐标面所截成三角形的整个边界，从轴正向看沿顺时针方向.8、求，其中是圆周.若从轴正向看去，取逆时针方向.9、求.（一）1、2、3、04、5、6、7、（二）1、B2、A3、D4、C5、B6、D7、D（三）1、解（法一）,故原式=.（法二）容易看出积分弧段关于轴对称，而被积函数是关于变量的奇函数，故2、解3、解由对称性得，故4、解（法一）原式=（法二）因为,又,故原式=5、解因为令,比较系数得6、解,故积分与路径无关,选取折线路径原式=7、解令,则有,解一阶线性非齐次微分方程得,代入得,,即.当为时,积分为8解设则，除去原点以外一切点上式都成立.①当曲线的内部不含原点时.②当曲线的内部含原点时,可在的内部做一个充分小的椭圆，从到.利用复连通域上的格林公式，有（四）1、解曲面在坐标平面上的投影为.,，故2、解设表示在第一卦限内部分，则3、解设，其中，在面上的投影分别为4、解化为第一类曲面积分，因为的正法线的方向余弦为原式5、解此题不能用Gauss公式，不满足公式的条件.设是的上半椭球面的上侧和下半椭球面的下侧，在面的投影为，则同理得，所以（五）1、解令，则.由Green公式得2、解由Green公式得3、解补充点C(2,1)、直线段，则4、解由已知得，则由Gauss公式得原式=5、解记，利用Gauss公式，有原式=，由重