实变函数论课件12培训讲学

1、实变函数论课件12基本内容：一可测函数的性质（续）（1）可测函数乘积的性质问题问题1：如何将集合如何将集合Ex|f(x)g(x)用形如用形如Ex|f(x)、Ex|g(x)、Ex|f(x)、Ex|g(x)的集合表示？的集合表示？是可测集,进而 都可测,这说明 也是E3上的可测函数。 0,)()(|)()(|0,333aaxgxfxEaxgxfxEaE2)()(xgxf )()()()(41)()(22xgxfxgxfxgxf （2） 可测函数商的可测性 问题问题2 2：可否直接应用乘积的可测性证明：可否直接应用乘积的可测性证明商的可测性？商的可测性？性质3 若 都是E上的可测函数则 当 在E上几

2、乎处处有意义时， 在E上可测。 (iv)证明（iv）。由（iii），仅需证明 是可测函数就可以了。)( )(xgxf，)(/ )(xgxf)(/ )(xgxf)(1xg对任意1，Ra 00)(|1)(|00)(|1)(|0)(|0)(|)(1|axgxEaxgxEaxgxEaxgxEaxgxExgxEaxgxE 由 可测性立得 可测，即 是E上的可测函数，证毕。（3） 可测函数序列的上、下极限之可测性问题问题3 3：假设：假设h(x)=h(x)=limlimf fn n(x),(x),如何用形如如何用形如Ex|fEx|fn n(x)(x)、Ex|fEx|fn n(x)(x)的集合表示的集合表示

3、集合集合Ex|h(x)?Ex|h(x)?)(xg)(/1 |axgxE )(/1xg问题问题4 4：如果：如果h(x)h(x)是是f fn n(x)(x)的上极限，情形又的上极限，情形又如何？如何？ 一个很重要的问题是：可测函数序列的极限是否是可测函数？到目前为止，至少有三种意义下的极限概念，其一是“一致收敛”、其二是“处处收敛”（即在给定的集上逐点收敛），其三是“几乎处处收敛”（即在给定的集上，除去一个零测 集后逐点收敛）。显然，如果我们证明了一个几乎处处收敛的可测函数序列的极限是可测函数，则上述任何意义下的极限函数都是可测的。为此，先证明一个引理。引理1 假设 是上的可测函数序列，则 1)

4、(mmxf)(inf)(),(sup)(i)11xfxlxfxhmmmm 都是上的可测函数。 都是上的可测函数。 证明：对任意实数 ，显然有 故由 的可测性立知f可测。而)(lim)(),(lim)(ii)(xfxfxfxfmmmm 1Ra 1)(|)(|mmaxfxEaxhxEmf 所以 也是上的可测函数，记 则由（i）知 都是上的可测函数，)(sup)(inf)(11xfxfxlmmmm )(xl)(sup)(xfxhmkmk )(inf)(xfxlmkmk kklh , )(supinf)(lim)(1xfxfxfmkmkmm 且 由此立得 ， 都可测。证毕。 )(inf1xhkk )(

5、infsup)(lim)(1xfxfxfmkmkmm )(sup1xlkk )(xf)(xf)(xfn)(xfEE 0（4）几乎处处收敛与几乎处处相等 定义3 设 是E上的函数列， 是E上的函数，若存在 ，使 且对任意 ，有 )(xfn)(xfEE 0， 00 mE0EEx ，则称在上几乎处处收敛到f，记作 性质4 如果 是E上的可测函数序列，且几乎处处收敛到 ，即)()(limxfxfmm E.)(lim)(eaxfxfmm 1)(mmxf)(xfE .)(lim)(eaxfxfmm 则 在E上可测。证明：由于 几乎处处收敛到 ，故存在零测集 ，使得 在 上处处收敛到 ,由引理1知 是 上的

6、可测函数，从而也是E上的可测函数。证毕。 我们已经看到，任何非负可测函数都可以)(xf)(xfm)(xf0E)(xfm0EE )(xf)(xf0EE 让单调递增的简单函数逐点逼近，那么一般的可测函数情形如何呢？为此，我们可以将上可测函数分成正部和负部如下：显然0),(max)(xfxf 0),(max)(xfxf )()()(xfxfxf )()(| )(|xfxfxf 问题问题5 5：f(x) f(x) 的可测性的可测性 与与f f+ +(x)(x)、f f- -(x)(x)的可测的可测性是否等价？性是否等价？问题问题6 6：|f(x)|f(x)|的可测性与的可测性与f f+ +(x)(x)

7、、f f- -(x)(x)的可的可测性是否等价？测性是否等价？问题问题7 7：f(x) f(x) 的可测性与的可测性与|f(x)|f(x)|的可测性是的可测性是否相同？否相同？由引理1的（i），知 都是， )(xf )(xf 非负可测函数，于是存在单调简单函数列 ，使 （任意 ）， （任意 ）所以 不难看到，两个简单函数的差仍是简单函数，事实上，若 11 ,nnnn)()(xfxn Ex )()(xfxn Ex 。 )()()(xfxxnn mijiiidxEEmiExCx1,)(, 1,)( 则且这说明 是简单函数列的极限。从及 很容易得到下面的性质5 在E上可测当且仅当 ， 都，, 1,1

8、kjjjEFkjFx ，)()(jijiFExdcxx jijiEFE,)( )(xf 1nnn)()()(xfxfxf )()(| )(|xfxfxf )(xf )(xf 在E上可测。当 在上可测时， 也在E上可测。 也许有人会问， 的可测性与 的可测性是否等价？这很容易从下面的例子中找到答案。例 设 是不可测集，定义0,1上函数如下：)(xf| )(|xf)(xf| )(|xf 1 , 0 E则 是0,1上的不可测函数，但可测。 ExExxf11)()(xf1| )(| xf一Egoroff定理（1）近一致收敛定义（2）处处收敛与一致收敛的关系问题问题8：区间上处处收敛的函数序列可否通区间

9、上处处收敛的函数序列可否通过挖去长度充分小的区间使其在剩下的过挖去长度充分小的区间使其在剩下的集合中一致收敛集合中一致收敛？问题问题9 9：一般情况下，一个几乎处处收敛的：一般情况下，一个几乎处处收敛的函数序列能否经适当的限制使其一致收函数序列能否经适当的限制使其一致收敛？敛？问题问题1010：如何表示函数序列不收敛的点集？：如何表示函数序列不收敛的点集？问题问题1111：能否利用问题：能否利用问题1010构造一个测度很构造一个测度很小的集合，使函数序列在其余集上一致小的集合，使函数序列在其余集上一致收敛？收敛？ 函数逼近是分析及计算中十分重要的问题，它的本质就是用“好”的或“简单”的函数去逼

10、近“坏”的或“复杂”的函数，无论是用多项式逼近连续函数的Weirstrass 定理，还有用三角级数逼近可测函数的Fourier分析都可归类为逼近问题。由于收敛概念有多种，所以函数逼近相应的也有多种含义；即“一致逼近”、“逐点逼近”、“几乎处处逼近”，后面我们还要介绍另一种收敛概念：“依测度收敛”，因此，又有“依测度逼近”的概念。很自然地，有两个问题是必须考虑的：1、什么样的函数可以用“好”的函数按某种收敛意义逼近？ 2、几种收敛性关系如何？ 这正是本节要讨论析内容。关于第二个问题，前面已作过初步讨论，显然“一致收敛”强于“处处收敛”、“处处收敛”强于“几乎处处收敛”。本节则是要考察反方向的结论

11、。几乎处处收敛能否推出一致收敛？当然，一般情况下，这是做不到的。即使 是定义于某个区)(xfn 间上的连续函数序列，且逐点收敛到连续函数 ， 也不一定一致收敛到 例如， 在(0,1)上处处收敛到0，但不一致收敛到0。然而，假如我们将1的一个小邻域挖掉，即考虑区间 ，不管多么小， 在 上总是一致收敛到0的。这就是说，我们 )(xf)(xfn)(xfnnxxf )(1 , 0( ) 10( )(xfn1 , 0( 可以将(0,1)挖去长度充分小的区间，使 在剩下的集合上一致收敛。对 中一般可测集上的可测函数，相应的结论是否仍然正确呢？下面的Egoroff定理给出了一个肯定的回答。（3）Egorof

12、f定理的叙述*定理1（叶果洛夫（Egoroff）设 是可测集，且 是E上)(xfnnRnRE 1)( ,nnxfmE 的几乎处处有限的可测函数序列， 是E上几乎处处有限的可测函数，则下列各数言等价。(ii)对任意存在可测子集，使而在上，一致收敛 于)(xfE .)()(limieaxfxfnm ）（0 EE )(EEmE)(xfn。 )(xf证明： .设对任意 ，存在，使 ，且 在 上一致收敛于 ，取 ，则存在 ， ，且 ，令 ，则 ，且 ，故)()(iii 0 EE )(EEm)(xfnE)(xfkk1 EEk kEEmk1)( kkEEkff|一致 10kkEEEE 001)()(0 kE

13、EmEEmk 。往证 在 上几乎处处收敛到 ，事实上，对任意 。存在 ，使 ，由 立得 。 。假设 ，我们来看看使 不收敛的点集是什么。若 0)(0 EEm)(xfn0E)(xf0Ex kkEx kkEEnff|一致)()(xfxfn)()(iii E .)()(eaxfxfn)(xfn ，则存在 ，使得无论 取何值，都有 ，使 ，这就是说，对任意N， ，从而 ，但对不)()(xfxfn0 NN NnN | )()(|xfxfNn| )()(| | xfxfxExnNn| )()(| |1 xfxfxExNnNn 同的 ，对应的 可能不同，因此，取一串正数 ，使得 单调趋于0，则对任意 ，总存

14、在 ，使 ，从而当 时，一定也有 ，由此立知xkk0 k k | )()(|xfxfnknxfxf | )()(| )()(| |)()(|11kNnNnknxfxfxExfxfxE 反之，若，则存在 ，使于是对任意N，有进而存在 ，使| )()(| |11kNnNnkxfxfxEx 0k， | )()(| |01kNnNnxfxfxEx ， | )()(| |0knNnxfxfxEx NnN 显然 ，故由(i)的条件， ，均为零测集，于是， | )()(|0knxfxfxExN )()(xfxfn)()(|xfxfxEn）（ | )()(| |11 NknNnkxfxfxE)(| xfxE)

15、(| xfxEn是零测集， ， 在 显然是处处有限的。任给 ，我们要找 ，使，且对任 ，存在N，使当 时，对任意 ，有 。由于前述 )(|)(|10 xfxExfxEEnn)(xf 1)(mnxf0EE 0 EE )(EEm0 Nn Ex | )()(|xfxfn的 单调下降于0，故仅需就 证明就可以了。即然要求 所以 集合当然应该去掉，(此处 待定)，记则在 上， 必然一致收敛到 。这是因为对任意 ，可取 ，则当k k， )(| )()(|kknNnxfxf | )()(| |knNnkxfxfxEEk kN，10 kkEE0EE nff0 kkNn 时，只要 ，总有 ，所以剩下的问题是如何保证 可以充分小。注意到 是零测集，由(*)式知对每个 ， 0EEx kEx knxfxf| )()(|0mE)()(|xfxfxEnk0| )()(| |1 kNnNnxfxfxEm 由于 是单调递减的，故因此，对每个k，我们可取充分大，使| )()(| |kn