高中数学基础知识汇总(最新版)(共36页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上高中数学基础知识汇总（最新版）高中数学知识归纳汇总目录第一部分 集合1N，Z，Q，R分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集；2交集，并集，符号区分；3（1）含n个元素的集合的子集数为2n,非空子集数为2n1；真子集数为2n1；非空真子集的数为2n-2；（2） 注意：讨论的时候不要遗忘了的情况。（3）4是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分 函数与导数1定义域：抽象函数；已知 定义域，求 定义域， 与 值域相同。（具体可以参考本节第4点复合函数定义域求法）。具体函数。分母不为0，偶次根号下不为负数， 中a不为0， ， 中的x为正数。2值域：一元二次方程配

2、方法 ；换元法；分离参数法 ；3解析式：配方法 ；换元法；待定系数和；消去法。4复合函数的有关问题（1）复合函数定义域求法： 若f(x)的定义域为a，b,则复合函数fg(x)的定义域由不等式ag(x)b解出； 若fg(x)的定义域为a,b,求 f(x)的定义域，相当于xa,b时，求g(x)的值域。（2）复合函数单调性的判定：首先将原函数分解为基本函数：内函数与外函数；分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。注意：外函数的定义域是内函数的值域。5函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；是奇函数；是偶函数 ；奇函

3、数在原点有定义，则； 在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；6函数的单调性单调性的定义：在区间上是增函数当时有；在区间上是减函数当时有；单调性的判定 定义法：一般要将式子化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号； 导数法（见导数部分）； 复合函数法； 图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意，若有 （其中为非零常数），则称函数为周期函数，为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（2）三角函数的周期 ； ； ； 与周期有关的结论或 的周期为；的图象

4、关于点中心对称周期为2；的图象关于直线轴对称周期为2；的图象关于点中心对称，直线轴对称周期为4；8基本初等函数的图像与性质幂函数： （ ；指数函数：；对数函数:；正弦函数:；余弦函数： ；（6）正切函数：；一元二次函数：；其它常用函数： 正比例函数：；反比例函数：；特别的 函数；9二次函数：解析式：一般式：；顶点式：，为顶点；零点式： 。二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论。10函数图象： 图象作法 ：描点法 （特别注意三角函数的五点作图）图象变换法图象变换： 平移变换：，左“+”右“-”； 上“+”下

5、“-”； 伸缩变换：， （纵坐标不变，横坐标伸长为原来的 倍；， （横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍； 对称变换：； ； 翻转变换：右不动，右向左翻（在左侧图象去掉）；上不动，下向上翻（|在下面无图象）；11函数图象（曲线）对称性的证明(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（2）证明函数与图象的对称性，即证明图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在的图象上，反之亦然； （注意上述两点的区别！）注：曲线C1:f(x,y)=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：f(2ax,2by)=0;曲线C1:f(x,y)=0关于直线x=a的对称曲线C2方

6、程为：f(2ax, y)=0;曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(或y=x+a)的对称曲线C2的方程为f(ya,x+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);f(a+x)=f(bx) （xR）y=f(x)图像关于直线x=对称；特别地：f(a+x)=f(ax) （xR）y=f(x)图像关于直线x=a对称；函数y=f(xa)与y=f(bx)的图像关于直线x=对称；12函数零点的求法：直接法（求的根）；图象法；.13导数 导数定义：f(x)在点x0处的导数记作；常见函数的导数公式: ； 。导数的四则运算法则：（理科）复合函数的导数：导数的应用：利用导数求切线：注意：）所给点是切点吗？）所求的是

7、“在”还是“过”该点的切线？利用导数判断函数单调性： 是增函数； 为减函数； 为常数； 利用导数求极值：求导数；求方程的根；列表得极值。利用导数最大值与最小值：求的极值；求区间端点值（如果有）；得最值。14（理科）定积分 定积分的定义：定积分的性质： （常数）； （其中。微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）：定积分的应用：求曲边梯形的面积：； 求变速直线运动的路程：；求变力做功：。第三部分 三角函数、三角恒等变换与解三角形1角度制与弧度制的互化：弧度，弧度，弧度弧长公式：；扇形面积公式：。2三角函数定义：角中边上任意一点为，设则：3三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4诱导公式记忆

8、规律：“奇变偶不变，符号看象限”；5对称轴：；对称中心：； 对称轴：；对称中心：； 6同角三角函数的基本关系：；7. 三角函数的单调区间 的递增区间是，递减区间是；的递增区间是，递减区间是的递增区间是的递减区间是8两角和与差的正弦、余弦、正切公式： 。二9. 倍角公式：；。10正、余弦定理：正弦定理： （是外接圆直径）注：；。余弦定理：等三个；注：等三个。11。几个公式:三角形面积公式：；内切圆半径r=；外接圆直径2R=11已知时三角形解的个数的判定： AbaCh其中h=bsinA,A为锐角时：a<h时，无解；a=h时，一解（直角）；h<a<b时，两解（一锐角，一钝角）；ab

9、时，一解（一锐角）。A为直角或钝角时：ab时，无解；a>b时，一解（锐角）。第四部分 立体几何1三视图与直观图：注：原图形与直观图面积之比为。2表（侧）面积与体积公式：柱体：表面积：S=S侧+2S底；侧面积：S侧=；体积：V=S底h 锥体：表面积：S=S侧+S底；侧面积：S侧=；体积：V=S底h：台体：表面积：S=S侧+S上底S下底；侧面积：S侧=；体积：V= （S+）h；球体：表面积：S=；体积：V= 。3位置关系的证明（主要方法）：直线与直线平行：公理4；线面平行的性质定理；面面平行的性质定理。直线与平面平行：线面平行的判定定理；面面平行线面平行。平面与平面平行：面面平行的判定定理及

10、推论；垂直于同一直线的两平面平行。直线与平面垂直：直线与平面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理。平面与平面垂直：定义-两平面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理。注：理科还可用向量法。4.求角：（步骤-。找或作角；。求角）异面直线所成角的求法： 平移法：平移直线，构造三角形； 补形法：补成正方体、平行六面体、长方体等，发现两条异面直线间的关系。注：理科还可用向量法，转化为两直线方向向量的夹角。直线与平面所成的角：直接法（利用线面角定义）；先求斜线上的点到平面距离h，与斜线段长度作比，得sin。注：理科还可用向量法，转化为直线的方向向量与平面法向量的夹角。5结论： 长方体从一个顶点出发地三条棱长

11、分别为a，b，c，则对角线长为，全面积为2ab+2bc+2ca；长方体体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为则：cos2+cos2+cos2=1；sin2+sin2+sin2=2A 正方体的棱长为a，则对角线长为，全面积为6，体积为 长方体或正方体的外接球直径2R等于长方体或正方体的对角线长；(4) 正四面体的性质：设棱长为，则正四面体的： 高：；对棱间距离：； 内切球半径：；外接球半径：；第五部分 直线与圆1直线方程点斜式： ；斜截式： ；截距式： ；两点式： ；一般式：，（A，B不全为0）。（直线的方向向量：（，法向量（2求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件；（2）作可行域，写目

12、标函数；（3）确定目标函数的最优解。直线方程 平行的充要条件 垂直的充要条件 备注 有斜率 且 不可写成 （验证） 分式3两条直线的位置关系：4直线系：直线方程 平行直线系 垂直直线系 相交直线系 5几个公式设A（x1,y1）、B(x2,y2)、C（x3,y3），ABC的重心G：（）；点P（x0,y0）到直线Ax+By+C=0的距离：；两条平行线Ax+By+C1=0与 Ax+By+C2=0的距离是；6圆的方程：标准方程： ； 。一般方程： （注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C0且B=0且D2+E24AF>0；7圆的方程的求法：待定系数法；几何法；圆系法。8圆系：

13、； 注：当时表示两圆交线。 。9点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（表示点到圆心的距离）点在圆上；点在圆内；点在圆外。直线与圆的位置关系：（表示圆心到直线的距离）相切；相交；（直线与圆相交所得的弦长）相离。圆与圆的位置关系：（表示圆心距，表示两圆半径，且）相离；外切；相交；内切；内含。10与圆有关的结论：过圆x2+y2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上的点M(x0,y0)的切线方程为：(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2；以A(x1，y2)、B(x2,y2)为直径的圆的方程：(xx1)

14、(xx2)+(yy1)(yy2)=0。第六部分 圆锥曲线（此部分重点内容为三种圆锥曲线的方程、几何性质，下面所列可能是你会疏忽的一些内容）1定义：椭圆：；双曲线：；抛物线：2结论 焦半径：椭圆：（e为离心率）； （左“+”右“-”）；抛物线：（）弦长公式：；注：（）抛物线焦点弦长：x1+x2+p（）通径（最短弦）：椭圆、双曲线：；抛物线：2p。 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为： （同时大于0时表示椭圆，时表示双曲线）；(4) 双曲线中的结论：双曲线（a>0,b>0）的渐近线：； 共渐进线的双曲线标准方程为为参数，0）；双曲线为等轴双曲线渐近线为渐近线互相垂直；3直线与圆锥曲线问

15、题解法：直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“”还是关于“”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（代点相减法或叫点差法）：-处理弦中点问题步骤如下：设点A(x1，y1)、B(x2,y2)；作差得；解决问题。4求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义； （2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。第七部分 平面向量设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则： ab(b0)a=b （x1y2x2y1=0； ab(a、b0)a·b=0x1x2+y

16、1y2=0 .a·b=|a|b|cos<a,b>=x2+y1y2； 注：|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影； a·b的几何意义：a·b等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。cos<a,b>=；（4）三点共线的充要条件P，A，B三点共线；附：（理科）P，A，B，C四点共面。第八部分 数列1定义：等差数列 ；等比数列 ；2等差、等比数列性质 等差数列 等比数列通项公式 前n项和 性质 an=am+ (nm)d, an=amqn-

17、m; m+n=p+q时am+an=ap+aq m+n=p+q时aman=apaq 成AP 成GP 成AP, 成GP,3数列通项的求法：定义法（利用AP,GP的定义）；（2）累加法（；S1 (n=1)SnSn-1 (n2)an=（3）公式法：累乘法（型）；变形构造法（、等类型）；4前项和的求法：（1）倒序相加法；（2）错位相减法。（3）裂项相消法；（4）分组求和法5等差数列前n项和最值的求法：（数列思想） ；（函数思想）利用二次函数的图象与性质。第九部分 不等式1均值不等式：注意：一正二定三相等；变形，。2不等式的性质：；（6）。4不等式等证明（主要）方法：比较法：作差或作比；综合法；分析法。第

18、十部分 复数1概念：z=a+biRb=0 (a,bR)z= z20；z=a+bi是虚数b0(a,bR)；z=a+bi是纯虚数a=0且b0(a,bR)z0（z0）z2<0；a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,dR)；2复数的代数形式及其运算：设z1= a + bi , z2 = c + di (a,b,c,dR)，则：（1） z 1± z2 = (a + b) ± (c + d)i； z1.z2 = (a+bi)·(c+di)（ac-bd）+ (ad+bc)i； z1÷z2 (z20) （方法：分子分母同时乘以分母的共轭复数）;3共轭的性质

19、： ； ； ； 。4模的性质：（1）；（2）；（3）；第十一部分 概率1事件的关系：（1）事件A与事件B互斥：不可能同时发生的两个事件A和B叫做互斥事件；2对立事件：两个互斥事件A、B必有一个发生，则这两个事件叫做对立事件2概率公式：（1） 互斥事件（有一个发生）概率公式：P(A+B)=P(A)+P(B)；（2）对立事件概率公式：（3） 古典概型：；（4） 几何概型： =；第十二部分 统计与统计案例1抽样方法简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N，通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为n的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：每个个体被抽到的概率为；常用的简单随

20、机抽样方法有：抽签法；随机数法。系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：编号；分段；在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号；按预先制定的规则抽取样本。分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。注：每个部分所抽取的样本个体数=该部分个体数2总体特征数的估计：样本平均数；样本方差 ；样本标准差= ；3相关系数（判定两个变量线性相关性）：注：>0时，变量正相关；

21、<0时，变量负相关； 越接近于1，两个变量的线性相关性越强； 接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。 （3）判断两个变量线性相关性还可以通过画出散点图进行分析4独立性检验（分类变量关系）：随机变量越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。第十三部分 算法初步1程序框图：图形符号： 终端框（起止况）； 输入、输出框； 连接点。 处理框（执行框）； 判断框； 流程线 ；程序框图分类:顺序结构： 条件结构： 循环结构： r=0? 否 求n除以i的余数 输入n 是 n不是质素 n是质数 i=i+1 i=2 in或r=0?否 是第十四部分 常用逻辑用语与推理证明1 四种命题：原命题：

22、若p则q； 逆命题：若q则p；否命题：若p则q；逆否命题：若q则p注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。2充要条件的判断：（1）定义法-正、反方向推理；（2）利用集合间的包含关系：例如：若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；3逻辑连接词：且(and) ：命题形式 pq； p q pq pq p或（or）：命题形式 pq； 真 真 真 真 假非（not）：命题形式p . 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真4全称量词与存在量词 全称量词-“所有的”、“任意一个”等，用表示； 全称命题p：； 全称命题p的否定p：。 存在量词-“存在一

23、个”、“至少有一个”等，用表示； 特称命题p：； 特称命题p的否定p：；第十五部分 推理与证明数学归纳法（仅限理科）一般的证明一个与正整数有关的一个命题，可按以下步骤进行：证明当取第一个值是命题成立；假设当命题成立，证明当时命题也成立。那么由就可以判定命题对从开始所有的正整数都成立。这种证明方法叫数学归纳法。注：数学归纳法的两个步骤缺一不可，用数学归纳法证明问题时必须严格按步骤进行； 的取值视题目而定，可能是1，也可能是2等。第十六部分 理科选修部分1 排列、组合和二项式定理排列数公式:=n(n-1)(n-2)(n-m1)=(mn,m、nN*),当m=n时为全排列=n(n-1)(n-2)3.2.1=n!;组合数公式：（mn）,；组合数性质：；二项式