文科立体几何大题复习

1、文科立体几何大题复习一解答题（共12 小题）1如图 1，在正方形 ABCD 中，点， E，F 分别是 AB ，BC 的中点， BD 与 EF 交于点 H，点 G， R分别在线段 DH ，HB 上，且将AED ，CFD ，BEF 分别沿 DE ，DF ，EF 折起，使点 A，B，C 重合于点 P，如图 2 所示（ 1）求证： GR 平面PEF ；（ 2）若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 PDEF 的内切球的半径2如图，在四棱锥 PABCD 中，PD 平面ABCD ，底面 ABCD 是菱形， BAD=60 °，AB=2 ，PD=，O 为 AC 与 BD 的交点， E 为棱 PB

2、 上一点（ ）证明：平面 EAC 平面PBD ；（ ）若 PD 平面EAC ，求三棱锥 PEAD 的体积第1页（共 23页）3如图，在四棱锥中PABCD ，AB=BC=CD=DA ，BAD=60 °， AQ=QD ，PAD 是正三角形（ 1）求证： AD PB ；（ 2）已知点 M 是线段 PC 上， MC= PM ，且 PA 平面MQB ，求实数 的值4如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P 为侧棱 SD 上的点第2页（共 23页）（ ）求证： AC SD ；（ ）若 SD 平面PAC ，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面PAC 若

3、存在，求SE： EC的值；若不存在，试说明理由5如图所示，ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直， 且 ABBC ，AB=BC=2 ，BCD=60 °，点 M 为 BE 的中点，点 N 在线段 AC 上（ ）若 =，且 DN AC ，求 的值；（ ）在（ ）的条件下，求三棱锥 BDMN 的体积第3页（共 23页）6如图，在三棱柱ABC A1B1 C1 中， AB=AC ，且侧面 BB 1C1C 是菱形，B1BC=60 °（ ）求证： AB 1BC ；（ ）若 AB AC ， AB1 =BB1 ，且该三棱柱的体积为2，求 AB 的长7如图 1，在矩形 ABCD 中，

4、 AB=4 ，AD=2 ， E 是 CD 的中点，将ADE 沿 AE 折起，得到如图2所示的四棱锥 D1ABCE ，其中平面 D1AE 平面ABCE （ 1）证明： BE平面D1 AE；（ 2）设 F 为 CD 1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点M，使得 MF 平面D1 AE，若存在，求出的第4页（共 23页）值；若不存在，请说明理由8如图，已知多面体ABCDEF 中，ABD 、ADE 均为正三角形，平面ADE 平面ABCD ，AB CDEF，AD：EF：CD=2 ：3：4（ ）求证： BD 平面BFC ；（ ）若 AD=2 ，求该多面体的体积9如图，在四棱锥中PABCD ，底面 ABC

5、D 为边长为的正方形， PABD （ ）求证： PB=PD ；（ ）若 E，F 分别为 PC， AB 的中点， EF 平面PCD ，求三棱锥的 DACE 体积第5页（共 23页）10 如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点， BE平面ABCD （ ）证明：平面 AEC 平面BED ；（ ）若ABC=120 °，AE EC ，三棱锥 EACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积第6页（共 23页）11 如图，四边形 ABCD 是正方形， DE 平面ABCD ，AF DE， AF=ED=1 （ ）求二面角 EAC D 的正切值；（ ）设点 M 是线段 BD 上一个动点

6、，试确定点M 的位置，使得 AM 平面BEF ，并证明你的结论12 如图，在四棱锥PABCD 中， AB 平面BCP ，CD AB ，AB=BC=CP=BP=2 ， CD=1 （ 1）求点 B 到平面 DCP 的距离；（ 2）点 M 为线段 AB 上一点（含端点），设直线 MP 与平面 DCP 所成角为 ，求 sin 的取值范围第7页（共 23页）文科立体几何大题复习参考答案与试题解析一解答题（共12 小题）1如图 1，在正方形 ABCD 中，点， E，F 分别是 AB ，BC 的中点， BD 与 EF 交于点 H，点 G， R分别在线段 DH ，HB 上，且将AED ，CFD ，BEF 分别

7、沿 DE ，DF ，EF 折起，使点 A，B，C 重合于点 P，如图 2 所示（ 1）求证： GR 平面PEF ；（ 2）若正方形 ABCD 的边长为 4，求三棱锥 PDEF 的内切球的半径【解答】证明：（ ）在正方形 ABCD 中，A、B、C 均为直角，在三棱锥 PDEF 中， PE ，PF ，PD 三条线段两两垂直，PD 平面PEF ，=，即，在PDH 中， RG PD，GR 平面PEF 解：（ ）正方形 ABCD 边长为 4，由题意 PE=PF=2 ， PD=4 ，EF=2，DF=2，SPEF=2 ，SPFD =SDPE =4 ，=6 ，设三棱锥 PDEF 的内切球半径为r，第8页（共

8、23页）则三棱锥的体积：=，解得 r=，三棱锥PDEF 的内切球的半径为2如图，在四棱锥 PABCD 中，PD 平面ABCD ，底面 ABCD 是菱形， BAD=60 °，AB=2 ，PD=，O 为 AC 与 BD 的交点， E 为棱 PB 上一点（ ）证明：平面 EAC 平面PBD ；（ ）若 PD 平面EAC ，求三棱锥 PEAD 的体积【解答】（ ）证明：PD平面ABCD ，AC?平面 ABCD ，AC PD 四边形 ABCD 是菱形，AC BD ，又PD BD=D ，AC 平面PBD 而 AC?平面 EAC ，平面EAC 平面PBD （ ）解：PD 平面EAC ，平面 EAC

9、 平面PBD=OE ，PD OE ，O 是 BD 中点，E 是 PB 中点取 AD 中点 H，连结 BH ，四边形 ABCD 是菱形，BAD=60 °，第9页（共 23页）BH AD ，又 BH PD ，AD PD=D ，BH 平面PAD ，=3如图，在四棱锥中PABCD ，AB=BC=CD=DA ，BAD=60 °， AQ=QD ，PAD 是正三角形（ 1）求证： AD PB ；（ 2）已知点 M 是线段 PC 上， MC= PM ，且 PA 平面MQB ，求实数 的值【解答】证明：（1）如图，连结 BD ，由题意知四边形ABCD 为菱形，BAD=60 °，AB

10、D 为正三角形，又AQ=QD ，Q 为 AD 的中点，AD BQ ，PAD 是正三角形， Q 为 AD 中点，AD PQ ，又 BQPQ=Q ，AD 平面PQB ，又PB?平面 PQB ，ADPB 解：（ 2）连结 AC，交 BQ 于 N，连结 MN ，第 10 页（共 23 页）AQ BC，PN 平面MQB ， PA?平面 PAC ，平面 MQB 平面PAC=MN ，根据线面平行的性质定理得 MN PA ，综上，得，MC=2PM ，MC= PM，实数 的值为 24如图，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P 为侧棱 SD 上的点（ ）求证： AC SD ；（ ）

11、若 SD 平面PAC ，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面PAC 若存在，求SE： EC的值；若不存在，试说明理由【解答】解：（）连 BD ，设 AC 交 BD 于 O，由题意 SO AC ，在正方形 ABCD 中， ACBD ，所以 AC 面SBD ，第 11 页（共 23 页）所以 AC SD （ ）若 SD 平面PAC ，则 SDOP，设正方形 ABCD 的边长为 a，则 SD=，OD=，则 OD2=PD?SD，可得PD=，故可在 SP 上取一点 N，使 PN=PD ，过 N 作 PC 的平行线与 SC 的交点即为 E，连 BN 在BDN 中知 BNPO ，又由于 NEPC

12、 ，故平面 BEN 面PAC ，得 BE 面PAC ，由于 SN：NP=2 ：1，故 SE：EC=2 ：15如图所示，ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直， 且 ABBC ，AB=BC=2 ，BCD=60 °，点 M 为 BE 的中点，点 N 在线段 AC 上（ ）若 =，且 DN AC ，求 的值；（ ）在（ ）的条件下，求三棱锥 BDMN 的体积第 12 页（共 23 页）【解答】解：（）取 BC 的中点 O，连接 ON ，OD ，四边形BCDE 为菱形，BCD=60 °，DO BC ，ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在平面垂直， DO 平面ABC ，A

13、C?平面 ABC ，DO AC ，又 DN AC，且 DN DO=D ，AC 平面DON ，ON?平面 DON ，ON AC，由 O 为 BC 的中点， AB=BC ，可得，即 =3；（ ）由平面 ABC 平面BCDE ，AB BC ，可得 AB 平面BCDE ，由，可得点 N 到平面 BCDE 的距离为，由菱形 BCDE 中，BCD=60 °，点 M 为 BE 的中点，可得 DM BE ，且，BDM 的面积，三棱锥NBDM 的体积又 VNBDM =VBDMN ，三棱锥BDMN 的体积为第 13 页（共 23 页）6如图，在三棱柱ABC A1B1 C1 中， AB=AC ，且侧面 B

14、B 1C1C 是菱形，B1BC=60 °（ ）求证： AB 1BC ；（ ）若 AB AC ， AB1 =BB1 ，且该三棱柱的体积为2，求 AB 的长【解答】解：（I）取 BC 中点 M，连结 AM ，B1M，AB=AC ， M 是 BC 的中点，AM BC ，侧面BB 1C1 C 是菱形，B1BC=60 °，B1M BC ，又 AM?平面 AB1M，B1M?平面 AB1M，AMB1M=M ，BC 平面AB1 M，AB 1?平面 AB 1M，BC AB1（ II）设 AB=x ，则 AC=x ，BC=x，M 是 BC 的中点，AM=，BB1=，B1M=，又AB 1=BB

15、1 ，AB1=，AB121221MAM=B M+AM，B第 14 页（共 23 页）由（ I）知 B1 MBC， AM?平面 ABC ，BC?平面 ABC ，AM BC=M ，B1M 平面ABC ，V=，x=2，即 AB=2 7如图 1，在矩形 ABCD 中， AB=4 ，AD=2 ， E 是 CD 的中点，将ADE 沿 AE 折起，得到如图2所示的四棱锥 D1ABCE ，其中平面 D1AE 平面ABCE （ 1）证明： BE平面D1 AE；（ 2）设 F 为 CD 1 的中点，在线段 AB 上是否存在一点M，使得 MF 平面D1 AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解答】（1）证明

16、：连接 BE ，ABCD 为矩形且 AD=DE=EC=2 ，AE=BE=2，AB=4 ，AE 2+BE 2=AB 2，BE AE，又 D1 AE平面ABCE ，平面 D1AE 平面ABCE=AE ，第 15 页（共 23 页）BE 平面D1 AE （ 2） =取 D1E 中点 N，连接 AN，FN，FN EC ， ECAB ，FN AB ，且 FN=AB ，M，F，N，A 共面，若 MF 平面AD 1 E，则 MFAN AMFN 为平行四边形，AM=FN= = 8如图，已知多面体ABCDEF 中，ABD 、ADE 均为正三角形，平面ADE 平面ABCD ，AB CDEF，AD：EF：CD=2

17、：3：4（ ）求证： BD 平面BFC ；（ ）若 AD=2 ，求该多面体的体积【解答】解：（）因为 AB CD ，所以ADC=120 °，ABD 为正三角形，所以 BDC=60 °设 AD=a ，因为 AD： CD=2 ：4=1 ：2，所以 CD=2a ，在BDC 中，由余弦定理，得，第 16 页（共 23 页）所以 BD 2 +BC2 =CD2 ，所以 BD BC 取 AD 的中点 O，连接 EO ，因为ADE 为正三角形，所以EO AD ，因为平面 ADE 平面ABCD ，所以 EO 平面ABCD 取 BC 的中点 G，连接 FG ，OG ，则，且 EF OG ，所以

18、四边形 OEFG 为平行四边形，所以 FG EO ，所以 FG 平面ABCD ，所以 FG BD 因为 FG BC=G ，所以 BD 平面BFC （）过 G 作直线 MNAD，延长 AB 与 MN 交于点 M，MN 与 CD 交于点 N，连接 FM，FN因为 G 为 BC 的中点，所以 MG=OA 且 MG OA ，所以四边形 AOGM 为平行四边形，所以AM=OG 同理 DN=OG ，所以 AM=OG=DN=EF=3 又 AB CD ，所以 AM DN ，所以 AM DN EF ，所以多面体 MNF ADE 为三棱柱过 M 作 MH AD 于 H 点，因为平面 ADE 平面ABCD ，所以

19、MH 平面ADE ，所以线段 MH 的长即三棱柱MNF ADE 的高，在AMH 中，所以三棱柱 MNF ADE 的体积为因为三棱锥 FBMG 与 FCNG 的体积相等，所以所求多面体的体积为9如图，在四棱锥中PABCD ，底面 ABCD 为边长为的正方形， PABD （ ）求证： PB=PD ；（ ）若 E，F 分别为 PC， AB 的中点， EF 平面PCD ，求三棱锥的 DACE 体积第 17 页（共 23 页）【解答】解：（）连接 AC 交 BD 于点 O，底面ABCD 是正方形，AC BD 且 O 为 BD 的中点又 PA BD， PAAC=A ，BD 平面PAC ，又 PO?平面 P

20、AC ，BD PO 又 BO=DO ，RtPBO RtPDO ，PB=PD （）取 PD 的中点 Q，连接 AQ，EQ，则 EQCD，又AF，AFEQ 为平行四边形， EF AQ ，EF 平面PCD ，AQ 平面PCD ，PD?平面 PCD ，AQ PD ，Q 是 PD 的中点，AP=AD=AQ 平面PCD ， CD?平面 PCD ，AQ CD ，又 ADCD ，又 AQ AD=A ，CD 平面PADCD PA ，又 BD PA ，CD BD=D ，第 18 页（共 23 页）PA 平面ABCD 故三棱锥 DACE 的体积为10 如图，四边形 ABCD 为菱形， G 为 AC 与 BD 的交点

21、， BE平面ABCD （ ）证明：平面 AEC 平面BED ；（ ）若ABC=120 °，AE EC ，三棱锥 EACD 的体积为，求该三棱锥的侧面积【解答】证明：（ ）四边形 ABCD 为菱形，AC BD ，BE 平面ABCD ，AC BE，则 AC 平面BED ，AC?平面 AEC ，第 19 页（共 23 页）平面AEC 平面BED ；解：（ ）设 AB=x ，在菱形 ABCD 中，由ABC=120 °，得 AG=GC=x， GB=GD=，BE 平面ABCD ，BE BG ，则EBG 为直角三角形，EG=AC=AG=x，则 BE=x，三棱锥EACD 的体积 V=，解得 x=2 ，即 AB=2 ，ABC=120 °，AC 2=AB 2+BC 2 2AB?BCcosABC=4+4 2×=12，即AC=，在三个直角三角形EBA ，EBG ，EBC 中，斜边 AE=EC=ED ，AE EC，EAC 为等腰三角形，则 AE2+EC 2=AC 2=12 ，即 2AE 2=12，AE 2=6 ，则AE= ，从而得AE=EC=ED=，EAC 的面积 S=3，在等腰三角形 EAD 中，过 E 作 EFAD 于 F，则 AE=，AF=，则EF=，