勾股定理证明方法

1、【证法1】（课本的证明）ab勾股定理的证明ba坐 RtA HAE, / EHA / GHD = 90o, / GHD = 90o.b做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b,所以面积相等即2 2 1 2 1a b 4 ab 二 c 4 ab22222,整理得 a2+b2=c2【证法2】（邹元治证明）以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的 1ab面积等于2把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上

2、，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上 Rt HAE 坐 RtA EBF, / AHE = / BEF / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o / HEF = 180o90o= 90o.四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于c2.-Rt A GDH / HGD =-/ HGD + / EHA +-/ GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o.2 ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于+b）a2b2 =c2 （a +b 丫 =4 江丄 ab +c22【证法3】（赵爽证明）以C为斜以a

3、、b为直角边（b>a）, 边作四个全等的直角三角形，则每个直角ab三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状v Rt DAH 坐 RtA ABE, / HDA = / EAB v / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 900, ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.v EF = FG =GH =HE = ba ,/ HEF = 900.2 EFGH是一个边长为b a的正方形，它的面积等于ba .2.2 2a b c【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）2ab的面积等于 直线上v Rt EAD / ADE =v /

4、AED + / AED +以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形DbabE a B把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 qA、E、B三点在一条坐 RtA CBE, / BEC/ ADE = 900, / BEC = 900. / DEC = 180090o= 90o DEC是一个等腰直角三角形,1 2它的面积等于2C又 v / DAE = 900, / EBC = 900,AD / BC.ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1 1 12fe+b2ar2a2b2 二 c2【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ,斜边长为

5、c.把 它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F在一条直线上过C作AC的延长线交DF于点P.-D、E、F在一条直线上，且RtA GEF刍 RtA EBD, / EGF = / BED , / BED + / GEF = 90°/ / EGF + / GEF = 90° / BEG =180o 90o= 90o.AB = BE = EG = GA = c ,个边长为c的正方形/ CBE = 90o.坐 RtA EBD, / ABC = / EBD./ CBE = 90o.bcDBPHa bABEG 是 / ABC + Rt A ABC / EBD +即 / CBD= 90

6、o.又T / BDE = 90o,Z BCP = 90o, BC = BD = a BDPC是一个边长为a的正方形 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCBE的面积为S,贝S2 2 1 a b = S 2 ab,2a2 b22 1 c-S 2 -ab2【证法6】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b （b>a），斜边 长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C三 点在一条直线上过点Q作QP/ BC,交AC于点P 过点B作BM丄PQ,垂足为M ;再过点F作FN丄PQ,垂足为Nt / BCA = 90o, Q

7、P / BC, / MPC = 90o,t BM 丄 PQ, / BMP = 90o, BCPM 是一个矩形，即/ MBC = 90o.T / QBM + / MBA = / QBA = 90o,/ ABC + / MBA = / MBC = 90o, / QBM = / ABC ,又T / BMP = 90o,/ BCA = 90o, BQ = BA = c , Rt A BMQ 坐 RtA BCA 同理可证RtA QNF幻RtA AEF从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）【证法9】（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b （b>a）,斜边长为c.再做

8、一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形过A作AF丄AC ,AF交GT于F, AF交DT于R过B作BP丄AF，垂足为P.过D作DE与CB的延 长线垂直，垂足为E, DE交AF于Hv / BAD = 90o,Z PAC = 900,二 / DAH = / BAC. 又T / DHA = 90o,Z BCA = 90o, AD = AB = c ,二 Rt DHA 坐 RtA BCA DH = BC = a, AH = AC = b 由作法知PBCA是一个矩形，所以 RtAAPB幻Rt BCA. 即 PB = CA = b, AP= a,从而 PH = b a.v Rt DGT 坐 RtA

9、 BCA , RtA DHA 坐 Rt BCA二 Rt DGT 坐 RtA DHA DH = DG = a，/ GDT = / HDA 又 v / DGT = 90o,Z DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o,DGFH是一个边长为a的正方形二 GF = FH = a TF 丄 AF , TF = GTGF = b a TFPB是一个直角梯形，上底 TF=ba,下底BP= b,高FP=a + （ba） 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为2AS8S3S4 = b b - a2Ah a b - a I b2

10、-一 ab= 2 ,C S1 S2 S3 S4 S52b -Si -S8从而有 BC2二BDABS5 =' S921S3 + S4 = b ab S8 2 把代入，得2 2 2c = S1 S2 b - S1 - S8 S8 S9 二 bS2 S9 = b2 a2a2 b2 二c2 【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在RtA ABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD丄AB，垂足是D. 在 ADC 禾口 ACB 中，v / ADC = / ACB = 90o, / CAD = / BAC , ADC s ACB AD : AC = AC :

11、AB , 即 AC2 = AD* AB 同理可证， CDB s ACB222AC BC -：'：.AD DB AB =AB，即 a2 b2 =c2【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结BF、 CD.过 C 作 CL 丄 DE, 交AB于点M，交DE于点L.v AF = AC , AB = AD ,/ FAB = / GAD , FAB 坐 GAD ,1 2v FAB的面积等于2a , GAD的面积等于矩形ADLM 的面积的一半，矩形ADLM的面积二a2.同理可证，矩形 MLEB的面积 二b2. v正方形A

12、DEB的面积c2二a2b2a2 b2=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积5Q【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b （b>a）,斜边的长为c.做三个边长分别 为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用 数字表示面积的编号（如图）.v / TBE = / ABH = 90o, / TBH = / ABE 又 v / BTH = / BEA = 900,BT = BE = b, Rt HBT 坐 RtA ABE . HT = AE = a. GH = GTHT = ba. 又 v / GHF + / BHT = 90o,/ DB

13、C + / BHT = / TBH + / BHT = 90o, / GHF = / DBC DB = EB ED = b a,/ HGF = / BDC = 90o, Rt HGF 坐 RtA BDC.即 S7 二 S2.过Q作QM丄AG，垂足是 M由/ BAQ = / BEA = 90o,可知 / ABE =/ QAM，而 AB = AQ = c，所以 RtA ABE 幻 Rt QAM 又 RtA HBT 幻Rt ABE所以 RtA HBT 幻 RtA QAM 即 S S5由 Rt ABE 坐 RtA QAM，又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAE v / AQM + /

14、 FQM = 90o,Z BAE + / CAR = 90o,Z AQM = / BAE , / FQM = / CAR又 v / QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a ,Rt QMF 坐 RtA ARC.即 S S6 2c = Si S2 S3 S4 S52a 二 SiS62bS3S7Ss22=c【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ABC中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边AB = c.如图，以B为圆心a 为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E,贝S BD = BE = BC = a因为/ BCA =90o,点C在。B上，所以AC是。B的切线.由

15、切割线定理，得在Rt ABC中，设直角边BC = a, AC = b,斜边AB = c （如图）过点A作AD / CB，过点B作BD / CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆根据 多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有S7 = S2Ss = S5S4 = S6> > >2 2a b = SiS6S3S7Ss=Si S4S3S2S5b2BCAB DC 二 AD *BC AC *BD , AB = DC = c , AD = BC = a ,AC = BD = b ,AB2 =BC2 AC2，即 c2 =a2 b2,2 . 2 2a b c .【证

16、法13】（作直角三角形的内切圆证明）在Rt ABC中，设直角边 BC = a , AC = b，斜边AB = c作RtA ABC的内切 切点分别为D、E、F （如图），设。O的半径为rAE = AF，BF = BD，CD = CE，AC BC - AB E.AE CE BD CD - AF BFr + r = 2r,=CE CD = a b -c = 2r， a b =2r c.(a +b $ = (2r +c )，a2 b2 2ab = 4 r2 rc 广 c2sabc = 2 ab2 ，2ab = 4S.abc ，br21又1cr2S ABC - S AOB ' S.Boc 

17、9; S Aoc1 2r c c r=2 =24 r rc = 4S abc ,4 r rc = 2aba2 b2 2ab 二 2ab c2 ,【证法14】(利用反证法证明) 如图，在RtA ABC中，设直角边 c,过点C作CD丄AB，垂足是D.假设a2 b2 =c2，即假设AC2 BC2 =AB2，则由AB2 = AB *AB = AB AD BD 二 AB AD AB * BDr2 rca2AC、b2 =c2.BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为可知 ac2=abad，或者 bc2=abbd即ad : AC工AC : AB，或者 BD : BC 工BC : AB在 A ADC 禾口 A

18、ACB 中,v / A = / A，若 AD : AC 工 AC : AB，/ ADC 工/ ACB 在 A CDB 禾口 A ACB 中，v / B = / B，若 BD : BC工 BC: AB，/ CDB 仁 ACB 又 v / ACB = 90o， / ADC 工 90o，Z CDB 工 90o这与作法CD丄AB矛盾.所以，AC2 BC2 = AB2的假设不能成立.2 . 2 2a b c .【证法15】（辛卜松证明）ABCD把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分， 则正方形ABCD的面积 为a "Sa2b2 Jab ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方2 1 2形 ABCD 的面积为 a b =4 2ab C =2ab c2.a2 b2 2ab = 2ab c2,2 2 2a b -c .【证法16】（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b （b>a）,斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形状，使 E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）.在EH = b上截取ED = a,连结DA、 则AD = cv EM