动点问题练习

1、动点问题所谓“动点型问题”就是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动得类开放性题目、解决这类问题得关键就是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题、关键：动中求静、数学思想：分类思想数形结合思想转化思想1、如图 1,梯形 ABCD 中，AD / BC,/ B=90 ° , AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点 P 从A开始沿AD边以1cm/秒得速度移动，点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒得速度移动， 如果P, Q分别从A , C同时出发，设移动时间为 t秒。当t=时，四边形就是平行四边形；6当t=时，四边形就是等腰梯形、82、如图2,正方形ABC

2、D得边长为4,点M在边DC上，且DM=1 , N为对角线 AC上任意一点，则DN+MN得最小值为 53、 如图，在 Rt ABC 中,ACB 90°, B 60° , BC 2 点 ° 就是 AC 得中点，作CE / AB交直线l于点E ,设直线I得旋转角为I II I(1)当度时,四边形EDBC就是等腰梯形，此时AD得长为当度时,四边形EDBC就是直角梯形，此时 AD得长为(2 )当90°时，判断四边形EDBC就是否为菱形，并说明理由.解：(1 30, 1 : 60, 1、5;(2)当/% =900时，四边形EDBC就是菱形、 v/a =/ACB=90

3、 °,. BC/ED、/ CE/AB,在 Rt ABC 中，/ ACB=900,/ B=60°,BC=2,四边形EDBC就是平行四边形/ A=300、B1 AB=4,AC=2 .3、 A°=2Ac=.3、在 BD=2、 BD=BC、又v四边形 EDBC就是平行四边形,四边形EDBC就是菱形4、在 ABCM D(1) 当直线(2) 当直线(3) 当直线 关系,ARt AOD 中，/ A=30°,二 AD=2、B中，/ ACB=90° , AC=BC，直线 MN经过点C,且AD丄MN于D, M CM1得位置时，求证： ADC CEB :N2得位置时

4、，求证：3得位置时，试占八、绕点B图1C旋转到图CN加以证明、BAEN图2DDE=AD-BE ;AD、BE具有怎样请写出这个等量BD图3=AD +BE;过点°得直线l从与AC重合得位置开始，绕点°作逆时针旋转，交AB边于点D 过点C解：(1 / ACD= / ACB=90 / CAD+ / ACD=90/-Z BCE+ / ACD=90/ CAD= Z BCE / AC=BC ADC CEB/ ADC CEB CE=AD , CD=BE DE=CE+CD=AD+BE(2) tZ ADC= Z CEB= Z ACB=90° /Z ACD= Z CBE 又；AC=BC

5、ACD CBE CE=AD , CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 当 MN 旋转到图 3 得位置时，DE=BE-AD(或 AD=BE-DE , BE=AD+DE 等)Z ADC= Z CEB= Z ACB=90° /Z ACD= Z CBE , 又 t AC=BC ,ACD CBE , AD=CE , CD=BE , DE=CD-CE=BE-AD、5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABC就是正方形，点E就是边BC得中点.AEF 90o,且EF交正方形外角DCG得平行线CF于点F,求证：AE=EF.M连接 ME贝U AMtEC,易证经过思考，小明展示了一种正确

6、得解题思路：取AB得中点 AME ECF，所以 AE EF .在此基础上，同学们作了进一步得研究：（1 ）小颖提出：如图2,如果把“点E就是边BC得中点”改为“点 E就是边BC上（除B, C外）得 任意一点”，其它条件不变，那么结论“ AE=EF”仍然成立，您认为小颖得观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由;（2）小华提出：如图3，点E就是BC得延长线上（除C点外）得任意一点，其她条件不变，结论“AE=EF'仍然成立.您认为小华得观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.解：（1）正确.证明：在AB上取一点MBM BE. BMEQCF就是外角平分线

7、，AMEQ AEBBAE（2）正确.证明：在BA得延长线上取一点 NBN BE . N PCEQ四边形ABCD就是正方形，DAE BEA.NAE ANEECF （ASA）.AE EF .ECF .BAE 90° ,CEF .，使AMEC，连接ME .A 1D45°AME 135°Mr FDCF45° ,ECF135° .BE CGCEFAEB AME BCF使AN45° .AD II BE .CEF .90。,(ASA).CE ,AE EF .图16、如图，射线MB上,MB=9,A就是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB得距离为 线

8、MB方向以1个单位/秒得速度移动，设 P得运动时间为t、求（PAB为等腰三角形得t值；（2） PAB为直角三角形得t值；7、如图1在等腰梯形ABCD中，AD / BC , E就是AB得中点，过点E作EF / BC交CD于点F . AB 4, BC 6, Z B 60、求：（1）求点 E 到 BC 得距离；（2）点P为线段EF上得一个动点，过P作PM EF交BC于点M，过M作MN / AB交折线ADC 于点N，连结PN，设EP x、当点N在线段AD上时（如图2）, PMN得形状就是否发生改变？若不变，求出 PMN得周长;若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3）,就是否存在点P，使APM

9、N为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求得x得值；若不存在,请说明理由12解（1）如图1,过点E作EG BC 于占G.八、/ E 为 AB得中点，1BE AB2在RtA EBG2.中，Z B 60 ,. Z BEG 30 .BG 1BE 1, EG 2即点E到BC得距离为、彳(2)当点N在线段AD上运动时,/ PM EF, EG EF, PM/ PMN得形状不发生改变.EG. EF / BC,- EPGM , PMEG .3 同理MNAB 4.图1G如图2,过点P作PHMN于H/ MN / AB,Z NMC Z B 60,Z PMH1 PM2- MH PM gsos30NH MN MHC图2

10、在 RtAPNH 中，PN . NH2Ph2237. PMN 得周长=PM PN4.当点N在线段DC上运动时，3，作 PR MN 于 R，则 MR当PM类似,此时，xPN时，如图3MR .2EP GM PMN得形状发生改变，但 MNC恒为等边三角形.NR.2MR 3.T MNC就是等边三角形， MC MN3.BCBGMC 6 13 2.图3图4(P)C当MP MN时，如图4，这时MC MNMP此时，xEP GM 6、3 5 ,3.当 NP NM时，如图:丄 PNM / MNC MC PM gtan301.5，/ NPM / PMN 30 .180 . 因此点此时，xP与F重合,EP GM则/

11、PMN 120，又/ MNC PMC为直角三角形.6 114.60综上所述，当x 2或4或5、.3 时, PMN为等腰三角形.8、如图，已知 ABC 中, AB AC10厘米，BC 8厘米，点D为AB得中点.(1) 如果点P在线段BC上以3cm/s得速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点 运动 若点Q得运动速度与点 P得运动速度相等，经过 1秒后， BPD与°CQP就是否全等，请说明理 由； 若点Q得运动速度与点P得运动速度不相等，当点Q得运动速度为多少时，能够使 BPD与CQP 全等？(2) 若点Q以中得运动速度从点 C出发，点P以原来得运动速度从点 B同时出发，

12、都逆时针沿 ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在 ABC得哪条边上相遇?解: (1 ：t 1 秒， BP CQ 3 13厘米，AB 10厘米，点D为AB得中点， BD 5厘米.又 PC BCBP, BC8厘米,PC8 35厘米， PC BD.又 v AB AC ,BC. BPDCQP v VpVq ,/BP CQ,又v BPDCQPBC，则 BPPC4，CQ BD 5CQ515+BP4vqt47点P，点Q运动得时间33 秒，3厘米/秒。1580X3x 2 10X(2)设经过X秒后点P与点Q第一'次相遇，由题意，得4解得3秒.803 80点P共运动了3厘米.v 80228 2

13、4点P、点Q在AB边上相遇，80经过3秒点P与点Q第一次在边AB上相遇.9、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4, / BAD=120 ° AEF为正三角形，点E、F分别在菱形得边 BC. CD上滑动，且 E、F不与B. C. D重合.(1 )证明不论 E、F在BC. CD上如何滑动，总有 BE=CF ;(2)当点E、F在BC . CD上滑动时，分别探讨四边形 AECF与厶CEF得面积就是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大(或最小)值.【答案】解：（1）证明：如图，连接 AC四边形 ABCD为菱形，/ BAD=120° ,/ BAE+Z EAC=60&#

14、176; , / FAC+ / EAC=60° ,/ BAE= Z FAC。vZ BAD=120° , / ABF=60° ABC与厶ACD为等边三角形。 Z ACF=60° , AC=AB°.Z ABE=Z AFC。在厶 ABE 与厶 ACF 中，vZ BAE= Z FAC , AB=AC , Z ABE= Z AFC, ABE ACF (ASA)。/ BE=CF。(2)四边形AECF得面积不变， CEF得面积发生变化。理由如下:由(1)得厶 ABE ACF，则 Smbe=Saacf。作AH丄BC于H点，贝y BH=2 ,D1bc Jab2

15、bh2aef得边ae与bc垂直时,- S 四边形 AECF=SaAEC+SaACF=SaAEC+SaABE=SaABC，就是定值。1S四边形aecf S abc - BC AH2边AE最短.由垂线段最短”可知：当正三角形故厶AEF得面积会随着 AE得变化而变化，且当 ae最短时，正三角形 aef得面积会最小, 又Sacef=S四边形aecf - Saaef,则此时 CEF得面积就会最大.- SaCEF=S 四边形 aecf - Saaef 4真 1 2/3J3 J3。 CEF得面积得最大值就是3。【考点】菱形得性质，等边三角形得判定与性质，全等三角形得判定与性质，勾股定理，垂直线段得性质。【分

16、析】(1)先求证 AB=AC，进而求证 ABC> ACD为等边三角形，得/ ACF =60 ° AC=AB，从而求证 abe也厶ACF，即可求得 be=cf。(2)由厶 ABE = ACF 可得 Saabe= Sa acf，故根据 S 四边形 AEcF=SaAEC+SaACF=SaAEC+SaAbE = SaABC即可得四边形 AECF得面积就是定值。当正三角形 AEF得边AE与BC垂直时，边 AE最短. AEF得 面积会随着AE得变化而变化，且当 AE最短时，正三角形 AEF得面积会最小，根据 Sacef=S四边形aecf Saaef ,则厶CEF得面积就会最大。10、如图，

17、在厶AOB中，/ AOB=90 °OA=OB=6 , C为OB上一点，射线CD丄OB交AB于点D, OC=2 .点 P从点A出发以每秒防2个单位长度得速度沿 AB方向运动，点 Q从点C出发以每秒2个单位长度得速 度沿CD方向运动，P、Q两点同时出发，当点 P到达到点B时停止运动，点 Q也随之停止.过点 P作 PE丄OA于点E, PF丄OB于点F，得到矩形PEOF.以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN ,斜边MN / OB,且MN=QC .设运动时间为t (单位：秒).(1 )求t=1时FC得长度.(2)求MN=PF时t得值.(3 )当厶QMN与矩形PEOF有重叠部分时，求重叠(阴影)部分图形面积S与t得函数关系式.(4) 直接写出 QMN得边与矩形PEOF得边有三个公共点时t得值.AnLO r CB考点：相似形综合题.分析：(1)根据等腰直角三角形，可得 f . ., OF=EP=t，再将t=1代入求出FC得长度；(2) 根据MN=PF，可得关于t得方程6 - t=2t，解方程即可求解；(3) 分三种情况：求出当 1弐电时；当2v t昙时；当主v t W时；求出重叠(阴影)部分图形面积S与t得函数关系式；(4) 分M在0E 上; N在PF上两种情况讨论求得 QMN得边与矩形 PEOF得边有三个公共点 时t得值.解答：解：(1)根据题意， AOB、 AEP都就