数学专升本考试试题

1、高等数学（二）命题预测试卷（二）一、选择题（本大题共5 个小题，每小题4 分，共 20 分。在每个小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1下列函数中，当x1时，与无穷小量 (1x) 相比是高阶无穷小的是（）A ln( 3x)B x32x2xC cos(x1)D x212曲线 y3 x31 在 (1, ) 内是（）xA处处单调减小B处处单调增加C具有最大值D具有最小值3设 f (x) 是可导函数，且 lim f (x0 2h)f (x0 )1，则 f ( x0 ) 为（）x 0hA1C24若 f (1)x，则xx1A 12C15设 uxy z , u 等于

2、（ xB0D 121f ( x)dx 为（）0B 1ln 2D ln 2）A zxyzB xy z 1C y z 1D y z二、填空题：本大题共10 个小题， 10 个空，每空 4 分，共 40 分，把答案填在题中横线上。6设 z exyyx 2 ，则 z(1,2 ) =y精选文库7设 f ( x)exln x ，则 f (3)8 f ( x)x，则 f ( 1)1xx9设二重积分的积分区域D 是1x2y 24，则dxdyD10 lim (11 ) x =x 2x11函数 f (x)1 (exe x ) 的极小值点为212若 limx2ax 43 ，则 ax1x 113曲线 yarctanx

3、 在横坐标为 1 点处的切线方程为14函数 yx2sintdt 在 x处的导数值为021x sin 2x15dx1 1cos2 x三、解答题：本大题共13 小题，共 90 分，解答应写出推理、演算步骤。16（本题满分 6 分）arctan1x0的间断点求函数 f (x)x0x017（本题满分 6 分）计算 lim xx1 x2x 212精选文库18（本题满分 6 分）1计算 lim ln arcsin x(1x) xx019（本题满分 6 分）1设函数 f (x)xe xx0，求 f ( x) ln(1 x)1x020（本题满分 6 分）求函数 ysin( xy) 的二阶导数21（本题满分 6

4、 分）求曲线 f (x)x42x3 的极值点22（本题满分 6 分）3精选文库x3计算dx 2x123（本题满分 6 分）若 f ( x) 的一个原函数为 xln x ，求 x f ( x)dx 24（本题满分 6 分）0kdx1 ，求常数 k 的值已知1x 2225（本题满分 6 分）求函数 f (x, y)y3x 26x12 y5 的极值26（本题满分 10 分）求( x2y)dxdy ，其中 D 是由曲线 yx2 与 xy2 所围成的平面区域D4精选文库27（本题满分 10 分）设 f ( x) x 2aaa3f ( x) dx ，且常数 a1 ，求证： f (x)dx003(a1)28

5、（本题满分 10 分）求函数 yln x 的单调区间、极值、此函数曲线的凹凸区间、拐点以及渐近x线并作出函数的图形参考答案一、选择题1B2B3D4D5D二、填空题6 2e217 e318 1319 3x110 e211 x05精选文库12 513 y14( x 1)2214 sin1504三、解答题16解这是一个分段函数， f ( x) 在点 x0 的左极限和右极限都存在limf ( x)limarctan12x0x0xlimf ( x)lim arctan 12x0x0xlimf ( x)limf ( x)x0x0故当x0时，的极限不存在，点x0是f (x)的第一类间断点f ( x)111x

6、x1xx 21217解 原式 = limlim2x21122xx2x 2118解设 f (x)arcsin x(1 x) x 由于 x0 是初等函数 ln f (x) 的可去间断点，1故lim ln f (x)x 0ln lim f ( x)ln limarcsin x(1x) xx0x01ln lim arcsin xlim (1 x) xx 0x 0ln( 0e)ln e119解 首先在 x0 时，分别求出函数各表达式的导数，即111111 )当 x0 时， f ( x) ( xe x )e xxe xe x (1x2x当 1x 0 时， f ( x) ln( x 1)1x1然后分别求出在

7、 x0 处函数的左导数和右导数，即6精选文库f(0)lim1x1x0111 )f(0)limex (10x0x从而 f( 0)f(0) ，函数在 x0 处不可导11ex (1x0)所以 f( x)x1x0x120解ysin( xy)ycos(xy)(1y ) cos( xy)y cos(xy)ysin( xy)(1y )ycos( xy)y sin( xy) (1y )1 cos(x y) ysin( xy)(1y ) 2ysin( xy)(1y ) 21 cos( xy)又由解得 ycos( xy)1cos(xy)2cos(x y) 1cos(x y)1cos( xy)代入得 y1cos(x

8、y)sin( xy)1cos( xy) 321解先出求 f ( x) 的一阶导数： f( x)4x36x24 x2 ( x3 )323 令 f ( x) 0即 4x 2 (x)0解得驻点为 x10, x222再求出 f ( x) 的二阶导数 f( x)12x 212x12x( x1) 当 x23 时， f(3) 90 ，故 f ( 3)27 是极小值222160 ，在 (0, 3) 内 f ( x) 0当 x10 时，f(0)0，在 (,0) 内，f (x)2故x1 0 不是极值点7精选文库总之曲线 f (x)x42x 2 只有极小值点 x3 222解x3x3x xx( x21) xxx21x

9、21x 21x21xx3dx( xx)dxxdxxdxx 21x2x 2111 x 21d( x 21)1 x 21 ln( x 21)C22x12223解 由题设知 f (x)(x ln x)ln xx(ln x)ln x1故 xf (x)dxx(ln x1)dxx ln xdxxdxln x1dx 21x2221 ln xx 2x2 d (ln x)1 x 2221 ln x x21 x 2 1 dx 1 x 222x21 x 2 ln x1xdx1 x 22221x 2 ln x1x 2C 240kdxk01dxklim012 dx24解1x21x2a1xaklimarctan x a0

10、klim (arctan a) kaa20kdx1又1x22故 k12225解f2xx解方程组2x3y2解得 k1 6,f3y 212y60得驻点 A0 (3,2), B0 (3, 2)120又Afxx2, Bf xy0,Cf yy6 y8精选文库对于驻点 A0 : A 2, B 0,C 6y x 312，故 B2AC240y2驻点 A0 不是极值点对于驻点 B0 : A2, B 0, C 6y x312y2故 B 2AC24 0，又A 2 0函数 f ( x, y) 在 B0 (3, 2) 点取得极大值f (3, 2)(2) 39182453026解 由 yx 2 与 xy 2 得两曲线的交

11、点为 O (0,0) 与 A(1,1)x y2 ( y0) 的反函数为 yx ( x 21x(x 212 y1 y2 )2x dxy) dxdy0dx2y)dy(xxDx02151 x) ( x41 x 4 ) dx0( x 222( 2 x 721 x 23 x5 ) 10337410140af ( x)dxax2adx证f ( x)dx27000a2 dxaaf (x)dx dxx0001 x30aaaf (x)dxdx300a 3aa3f ( x)dx0aaa3f ( x)dxf ( x)dx0a30aa3于是f ( x) dx03(a1)28解 （1）先求函数的定义域为(0,) 9精选

12、文库（2）求 y 和驻点： y1ln x ，令 y 0 得驻点 x ex 2（3）由 y 的符号确定函数的单调增减区间及极值当 01ln x0 ，所以 y 单调增加；x e 时， yx2当 xe 时， y 0 ，所以 y 单调减少由极值的第一充分条件可知y x e 1 为极大值e（4）求 y 并确定 y 的符号：2 ln x 3 ，令 y3y0 得 x e2 x33当 0xe2 时， y0 ，曲线 y 为凸的；3当 xe2时， y0 ，曲线 y 为凹的33根据拐点的充分条件可知点(e2 , 3 e 2 ) 为拐点2这里的 y 和 y 的计算是本题的关键， 读者在计算时一定要认真、仔细。另外建议读者用列表法来分析求解更为简捷，现列表如下：x(0, e)e333(e,e2)e2(e 2 , )y0y0就表上所给的 y 和 y 符号，可得到：函数 yln x 的单调增加区间为 ( 0,e) ；x函数 yln x 的单调减少区间为 ( e,) ；x函数 yln x 的极大值为 y(e)1 ；xe3函数 yln x 的凸区间为 (0, e2 ) ；x10精选文库3函数 yln x