副三角板摆放、旋转等问题

1、副二角板摆放、旋转等冋题例1.（2004年福建南平）如图1,将两块三角板的直角顶点重合后重叠在一起，如果/仁40。，那么 / 2=_。同样问题改变设问就是（山西临汾）中考题：若/ AOD=145，则/ BOC=。團1图2陆BC,则/ AFD的度数是的度数是。观察/a与易得所求问题相同。例2.（广东梅州）如图2,将一副三角板重叠在一起,使直角顶点重合于 D点,则/ AOB+Z DOC=例3.（山东威海）如图 3，将一副三角尺如图放置，已知AE/例4. （2008扬州）一副三角板如图 4所示叠放在一起，则图中/图4'是2010河南中考题例5. （2007浙江衢州）一副三角板按图5所示叠放在

2、一起，若固定厶AOB，将 ACD绕着公共顶点A,按顺时针方向旋转度（0<a <180°）,当厶ACD的一边与厶AOB的某一边平行时，相应的旋转角a的值是)ADC将三角板ABC绕点A依例6. （2006安徽）取一副三角板图 6 （1）拼接，固定三角板顺时针方向旋转一个大小为a的角（0 ° <aW 45°）等到 ABC，如图6 （2）所示。试问（1）当a为多少度时，能使得图 6 （2）中的AB/ DC（2） 当旋转至图6 （ 3）位置时，此时 a又为多少度图中你能找出哪几对相似三角形，并 求出其中一对的相似比；（3）连接BD当0° <

3、aW 45°时，探寻/ DBC +/ CAC +/BDC值的大小变化情况，并给 出你的证明。例7.（上海）将两块三角板如图 7放置，其中/ C=Z EDB=90 , / A=45° , / E=30° ,AB=DE=6 求重叠部分四边形 DBCF的面积。如图7',已知AB=14cm求阴影部分面积（2010吉林）例8.（湖北荆门）将一副三角尺如图8摆放在一起，连接 AD,试求/ ADB的正切值。例9.（2008徐州）如图9（ 1），一副三角板满足 AB=BC,AC=DE。操作：将三角板 DEF的直角顶点E放置于三角板 ABC的斜边AC上，再将三角板 DEF绕

4、点E旋转，并使 DE与AB交于点P, EF与BC交于点QAA- FED V二1x.1P#/ n.叭 +BCHC11C (E)DFFms <i)圈9郎(3)探究1在旋转过程中，CE（1）如图9 （2）,当=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系，并给出证明。EA（2）如图9（3），当C =2时，EP与EQ满足怎样的数量关系，并说明理由。EAE（3）根据你对（1）（2）的探究结果，试写出当一一=m时，EP与EQ满足的数量关系式EA其中m的取值范围是 .（直接写出结论，不必证明）探究2：如图9（3），若AC=30cm连接PQ设厶EPQ的面积为S（cm2），在旋转过程中:（1）S是否存在最大值或最小

5、值若存在，求出最大值或最小值，若不存在，说明理由。（2） 随着S取不同的值，对应 EPQ的个数有哪些变化求出相应S值的取值范围。例10. （2007辽宁十二市）如图10，小颖利用一个锐角是 30°的三角形测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5m,AB为（即小颖的眼睛距地面的距离），那么这课树的高图11例11. （ 2008甘肃兰州）如图 11,已知EF是O O的直径，把/ A为60 °的直角三角板 ABC的一条直角边放在直线 EF上，斜边AB与O O交于点P,点B与点O重合，将三角板 ABC沿OE方向平移，使得点 B与点E重合为止，设/ POF=x，贝U x的取

6、值范围是 。例12. (2008遵义)如图12,在矩形ABCD中, AD=2AB E是AD的中点，一块三角板的直角顶点与E点重合，将三角板绕点 E按顺时针方向旋转，当三角形的两直角边与AB BC分别相交于点M、N时，观察或测量 BM与 CN的长度，你能得到什么结论并证明你的结论。图EJ例13. ( 2007河北)在厶ABC中，AB=AC CGL BA交BA的延长线于点 G 一等腰直角三角尺 按如图13 (1)所示的位置摆放， 该三角尺的直角顶点为 F, 条直角边与 AC边在一条直线 上，另一条直角边也恰好经过点 B。(1) 在图13(1)中请你通过观察，测量 BF与CG的长度，猜想并写出 BF

7、与CG满足的数量 关系，然后证明你的猜想；(2) 当三角尺沿 AC方向平移到图13 (2)所示的位置时，一条直角边仍与 AC边在同一直 线上，另一条直角边交 BC边于点D,过点D作DEI BA于点E。此时请你再通过观察测量 DE DF与CG的长度，猜想并写出 DE+DF与 CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；(3) 当三角尺在图13 ( 2)的基础上沿 AC方向平移到图13 (3)所示位置(点F在线段AC 上，且点F与点C不重合)时，图13 (2)中的猜想是否仍然成立(不用说明理由)例14.(吉林长春)用两块相同的含30°角的三角尺如图 14放置，若AD=6 6 ，求三角尺各边

8、的长。AL/I< w -/w 5 ' /閹M阍“例15.(山东枣庄)如图15,两个全等的含 30°、60°的三角板 ADE和ABC如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连接 BD,取BD中点M,连接ME,MC试判断 EMC 的形状, 并说明理由。例16. (2008湖北荆门)将两块全等的含 30°角的三角尺如图16 (1)摆放在一起，它们的较短直角边为 3。(1 )将厶ECD沿直线I向左平移到图16 ( 2)的位置，使 E点落在AB上，贝U CC =;(2)将厶ECD绕点C逆时针旋转到图16( 3)的位置，使点E落在AB上，则厶ECD绕点C旋转的

9、度数为；(3) 将厶ECD沿直线AC翻折到图16(4)的位置，ED与AB相交于点F,求证：AF=FD例17. ( 2006湖南常德)把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点 D与三角板 ABC的斜边中点 0重合，其中/ ABC=/ DEF=90，/ C=Z F=45° AB=DE=4把三角板 ABC固定不动，让三角板 DEF绕点0旋转，设射线 DE与射线AB相交于 点P,射线DF与线段BC相交与点 Q(1) 如图17 (1),当射线DF经过点B,即点Q与点B重合时，易证 APBA CDQ 此时，AP- CQ=。(2) 将三角板DEF由图17 (1 )所

10、示的位置绕点 0沿逆时针方向旋转，设旋转角为a,其中0° <a <90°,问AP- CQ的值是否改变说明你的理由。(3) 在(2)的条件下，设 CQ=x两块三角板重叠面积为 y ,求y与x的函数关系式。DiO)I-图17BFI)ACDQ仑中不得含有未标识的字(说明母)A图7° C )(0)/| w图18 (1)放置，点 D在BC上，连结BE, AD, AD的延长线交 BE于点F。求证:AF丄BE=延长线交BE于点F。问AF与BE是否垂直并说明理由。(2)把两个含有30°角的直角三角板如图18 (2)放置，点 D在BC上，连结 BE,AD,AD的图8 (2)例19. (2008山东泰安)两个