流体力学第七章

1、第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动7-1 7-1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析7-2 7-2 速度环量与旋涡强度速度环量与旋涡强度7-3 7-3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念7-4 7-4 不可压缩不可压缩势流的基本求解方法势流的基本求解方法7-5 7-5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动7-6 7-6 平面势流的叠加平面势流的叠加7-7 7-7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加第三部分第三部分 二元流动二元流动一、一、 速度分解速度分解7-1 7-1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析第七章

2、第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动()()Gxyzyzuuxzyzy ()()Gyzxzxvvyxzxz ()()Gzxyxywwzyxyx 7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析流体微团的旋转和变形流体微团的旋转和变形线变形率线变形率角变形率角变形率旋转角速度旋转角速度 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x x从从xoy平面看速度分解平面看速度分解xxvvvxxuuuBB ，yyvvvyyuuuDD ，yyvxxvvvyyuxxuuuCC ，7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分

3、析 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x xtxxutyyvxuxyvy二、线变形率二、线变形率 ：单位长度在单位时间内的伸长量：单位长度在单位时间内的伸长量线变形率线变形率7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析流体的特征？流体的特征？7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析三、角变形率三、角变形率 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B uB x xtyyutxxvtyutgtxvtg1. 角变形角变形 y C D vD vC D uD C B uC y A v vB A u B

4、 uB x x角变形角变形率率)(2121lim0yuxvttzOO2OAO2. 角变形率角变形率7.1 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析tyutxv四、旋转角速度四、旋转角速度旋转角速度旋转角速度)(2121lim0yuxvttz线变形线变形率率zwyvxuzyx角变形角变形率率)(21)(21)(21yuxvxwzuzvywzyx旋转角速度旋转角速度只有旋转角只有旋转角速度是矢量速度是矢量7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析旋转角速度是矢量旋转角速度是矢量222|zyxV21 wv uzyx 2121 kjiV)(21yuxvz平面流动只有一个旋转角速度分量平面流动只有

5、一个旋转角速度分量 7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析在流场中每一点在流场中每一点 无旋流动无旋流动有旋流动有旋流动五、有旋流动和无旋流动五、有旋流动和无旋流动流体微团是否绕通过其自身的轴旋转？流体微团是否绕通过其自身的轴旋转？0zyxyuxv xwzu ,zvyw,7.1 流体微团的运动分析流体微团的运动分析例例. . 流体各个微团以流体各个微团以 u=ky，v=w=0 的速度平行于的速度平行于x 轴作平行直轴作平行直线流动线流动, , 试确定流动是有旋还是无旋。试确定流动是有旋还是无旋。0)(21xwzuy流线和迹线是直线，但流场内处处有旋。流线和迹线是直线，但流场内处处有旋。2

6、)(21kyuxvz0)(21zvywx解解 计算旋转角速度计算旋转角速度例例 题题速度环量：速度矢量沿路径的积分速度环量：速度矢量沿路径的积分（反映运动的趋势）（反映运动的趋势） 7-2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度00例例. . 绕翼型表面的环量绕翼型表面的环量第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动LLvdyudx)(dsV右手定则右手定则 规定环量符号规定环量符号A一、速度环量定义一、速度环量定义二元流动二元流动: : 面积面积A A, , 边界边界L L二、旋涡强度定义二、旋涡强度定义AAndAyuxvdA)(2I三、斯托克斯定理三、斯托

7、克斯定理AnLdA2dsV斯托克斯定理的证明斯托克斯定理的证明?7.2 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度数学分析中的斯托克数学分析中的斯托克斯斯公式在平面问题中的应用公式在平面问题中的应用ALdxdyyPxQQdyPdx)(令令 P=u，Q=v 即有即有AzLdxdyvdyudx2)(斯托克斯定理斯托克斯定理)(21yuxvz7.2 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度例例 不压缩流体平面流动的速度分布为不压缩流体平面流动的速度分布为u= 6 y，v=8x。求绕圆。求绕圆 x2+y2=1 的环量。的环量。积分路径在圆积分路径在圆r =1=1上，用极坐标上，用极坐标LLxdy

8、ydxvdyudx)86()(解解. . 由环量定义求由环量定义求sin ,cosyx2020)(sincos8)(cossin6dd cos8sin6202202dd例例 题题14| )2sin412(2|620207)(21yuxvz14222rdAzAn代入斯托克斯代入斯托克斯公式得公式得解法二解法二: : 利用斯托克斯定理利用斯托克斯定理由由 u= 6y，v=8x 得得AnLdA2dsV例例 题题7.2 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度解解 由由 r= r0 处速度连续，速度分布写为处速度连续，速度分布写为0200 , ,rrrrvrrrv涡核涡核 如刚体旋转如刚体旋转自由

9、涡自由涡例例. . 已知龙卷风流场速度分布已知龙卷风流场速度分布 v = r， r r0，v = r02/rDACDBCAB0 11202220rrrrrr例例 题题自由涡是无旋流动自由涡是无旋流动7.2 7.2 速度环量和旋涡强度速度环量和旋涡强度第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动旋涡产生的原因？ z 旋涡诱发的速度场？理想流体中的旋涡运动7-3 7-3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念定义涡量旋涡 大尺度流体团的强烈旋转运动 从涡量场出发研究旋涡运动 有时比直接解运动方程更方便; 有旋运动不一定表现为旋涡运动;问题:一、一、涡线和涡管涡线和涡

10、管二、开尔文定理二、开尔文定理三、三、旋涡运动的生成旋涡运动的生成2自然界和工程中的旋涡流动自然界和工程中的旋涡流动例：绕流圆柱体例：绕流圆柱体 Re 1005 5 ReRe 4040一对稳定的对称旋涡一对稳定的对称旋涡ReRe 4040交替脱落的旋涡交替脱落的旋涡周期性旋涡脱落（周期性旋涡脱落（卡门涡街）卡门涡街）7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念 ds 涡线上各流体质点的涡量方向与该曲线相切涡线上各流体质点的涡量方向与该曲线相切一、涡线和涡管一、涡线和涡管7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念),(),(),(tzyxdztzyxdytzyxdxzyx涡管涡

11、管 （截面上）的涡通量（截面上）的涡通量旋涡强度旋涡强度1. 涡线的微分方程涡线的微分方程AndA2ILLwdzvdyudx)(dsVI斯托克斯定理斯托克斯定理7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念2. 涡管强度守恒定理涡管强度守恒定理 (Helmholtz定理定理) 同一涡管上各截面的旋涡强度相等。同一涡管上各截面的旋涡强度相等。12 d dA AAVAVn 12 ddAAAAnn 0 v 7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念封闭流体线的环量的时间变化率：封闭流体线的环量的时间变化率：AnLdA2dsV斯托克斯定理斯托克斯定理Lwdzvdyudxdtddtd)(

12、封闭流体线的环量随时间变化的条件？封闭流体线的环量随时间变化的条件？分析理想流体中产生分析理想流体中产生涡量涡量的原因的原因 涡管截面上的旋涡强度如何变化涡管截面上的旋涡强度如何变化?7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念二、开尔文定理二、开尔文定理对流体线的积分求导可移入积分号内进行对流体线的积分求导可移入积分号内进行Lwdzvdyudxdtddtd)(Ldtdzwddtdyvddtdxuddzdtdwdydtdvdxdtdu)()()()(流体线的速度和线元长度随时间变化，方程右边为流体线的速度和线元长度随时间变化，方程右边为)222( )1()1()1(222wvuddzx

13、pfdyxpfdxxpfdtdLzyx引入理想流体运动方程引入理想流体运动方程7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念密度只是压强的函数密度只是压强的函数 不可压缩不可压缩 P=p/ 等熵等熵如果质量力有势（力势函数如果质量力有势（力势函数 ）如果是正压流体（存在压力函数如果是正压流体（存在压力函数 P )dpdP10)(LPddtdzfyfxfzyx , , 若若 、P是单值函数，是单值函数，则有则有重力场重力场 = gz) 1( pP7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念111()()() xyzLdpppfdxfdyfdzdtxyz 理想、正压流体在有势质量力理

14、想、正压流体在有势质量力的作用下运动时，沿沿封闭流体线封闭流体线的速度环量在运动过程中不随时间变化。开尔文定理开尔文定理例例: : 初始无旋的不可压、理想流动在重力场永远无旋。初始无旋的不可压、理想流动在重力场永远无旋。旋涡旋涡生成生成原因原因1 1、粘性，特别是壁面的无滑移条件；、粘性，特别是壁面的无滑移条件；2 2、非正压性流体，例如大气密度分层；、非正压性流体，例如大气密度分层；3 3、无势质量力场，例如地球自转引起的哥氏力；、无势质量力场，例如地球自转引起的哥氏力；4 4、流场中的强间断面（如激波）。、流场中的强间断面（如激波）。7.3 7.3 旋涡运动的基本概念旋涡运动的基本概念三、

15、三、旋涡运动的生成旋涡运动的生成第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动7-4 7-4 不可压缩不可压缩势流的基本求解方法势流的基本求解方法一、速度势函数及势流一、速度势函数及势流是以下命题的充分必要条件：存在某一函数是以下命题的充分必要条件：存在某一函数 ，使，使无旋流动又称有势流动无旋流动又称有势流动无旋流动无旋流动yuxv xwzu ,zvyw, uvwxyz，不可压缩流体的有势流动不可压缩流体的有势流动（ 势函数）势函数）0uvwxyz2222220 xyz+(1) (1) 不可压缩不可压缩无旋无旋流动势函数满足拉普拉斯方程流动势函数满足拉普拉斯方

16、程速度势函数的主要性质速度势函数的主要性质(2) (2) 任意曲线的速度环量等于其两端速度势函数值之差任意曲线的速度环量等于其两端速度势函数值之差02222yxBABAABvdyudx)(dsVABBAd7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法二、不可压缩流体的平面势流二、不可压缩流体的平面势流yvxu ,0yvxu02222yx例例. 不可压缩流体平面流动的速度势为不可压缩流体平面流动的速度势为 = x2-y2，求点，求点（2，1.5）处速度）处速度V 的大小。的大小。4222xxu35 . 122yyvsmvuV/522解解 由速度势的定义求出由速度势的定义求出例例 题

17、题yvxu三、三、不可压缩流体平面运动的不可压缩流体平面运动的流函数流函数不可压缩流体的连续性条件不可压缩流体的连续性条件流线方程流线方程0vdxudyxvyu ,（流函数（流函数 ）Cd , 0等流函数线就是流线等流函数线就是流线7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法是以下命题的充分必要条件：存在某一函数是以下命题的充分必要条件：存在某一函数 ，使，使02222yxxvyu ,0yuxv1. 不可压缩流体的平面有势流动不可压缩流体的平面有势流动2. 流函数的主要性质流函数的主要性质(2) (2) 平面流动中，两条流线间的体积流量等于两条流线平面流动中，两条流线间的体积流

18、量等于两条流线 的流函数值之差。的流函数值之差。(1) (1) 不可压缩有势流动的流函数满足拉普拉斯方程不可压缩有势流动的流函数满足拉普拉斯方程02222yxlvdxudyQ12 ld7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法等势线和流线组成的正交流网等势线和流线组成的正交流网4. 4. 和和 的关系的关系等势线族等势线族 (x, y)=C 和流线族和流线族(x, y)=C 互相正交互相正交xyyx ,0yyxx7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法例例. . 不可压缩平面流动不可压缩平面流动 u =x 4y，v = y 4x （1 1）证明流动满足连续

19、性方程并求流函数；）证明流动满足连续性方程并求流函数； （2 2）若流动无旋，试求速度势的表达式。）若流动无旋，试求速度势的表达式。由速度积分求流函数：由速度积分求流函数：yxyu4)(2)4(2xfyxydyyx解解. .（1 1）用连续性方程）用连续性方程积分常数包含参数积分常数包含参数 x，用已知，用已知v 确定确定 f(x)vxxxf4 Cxxf22)(2222yxyx令令 (0, 0)=00yvxu验证不可压缩流动验证不可压缩流动例例 题题)4(xyxfy（2）代入）代入0)(21yuxv由速度势定义由速度势定义yxxu4)(421)4(2ygxyxdxyx令令 (0, 0)=0 得

20、得2221421yxyx分别对分别对x、y 积分积分yxyv4)(214)4(2xkyxydyyx验证为无旋流动（有势）验证为无旋流动（有势）&例例 题题7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法u =x4yv = y 4x2. 2. 复位势的性质复位势的性质四、不可压缩流体平面势流的复变函数四、不可压缩流体平面势流的复变函数如果满足柯西如果满足柯西- -黎曼条件黎曼条件xyyx ,),(),()(yxiyxzWivuyiyxixdzdW1. 1. 复位势与流函数和速度势函数间的对应关系复位势与流函数和速度势函数间的对应关系则有复速度则有复速度（要求偏导数存在且连（要

21、求偏导数存在且连续，这是复变函数可导续，这是复变函数可导的充分必要条件）的充分必要条件）设复变函数设复变函数7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法321WWWW（1 1）复速度沿曲线积分）复速度沿曲线积分2. 复势函数的性质复势函数的性质（2 2）复势函数加任一复常数而不改变所代表的流动）复势函数加任一复常数而不改变所代表的流动（3 3）不可压缩平面无旋流满足叠加原理）不可压缩平面无旋流满足叠加原理iQidddWdzdzdWllll321321321VVVV如果如果则有则有7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法五、不可压缩流体轴对称势流五、不可压缩流

22、体轴对称势流 轴对称流动轴对称流动 流场中存在对称轴流场中存在对称轴 以轴为心的圆周切向速度为零以轴为心的圆周切向速度为零 各物理参数沿此圆周不变。各物理参数沿此圆周不变。平面流动和轴对称流动都是平面流动和轴对称流动都是二元流动二元流动用柱坐标系或者球坐标系（参考附录）用柱坐标系或者球坐标系（参考附录）7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法7.4 不可压缩势流的基本求解方法不可压缩势流的基本求解方法3. 任意曲线的速度环量等于其两端速度势函数值之差任意曲线的速度环量等于其两端速度势函数值之差BABAABvdyudx)(dsVABBAd六、速度势函数和流函数的主要性质六、速

23、度势函数和流函数的主要性质2. 平面流动中，两条流线间的体积流量等于两条流线平面流动中，两条流线间的体积流量等于两条流线 的流函数值之差。的流函数值之差。1. 等势线和流线正交，等流函数线与流线重合；等势线和流线正交，等流函数线与流线重合；2 ()ABBAQ lvdxudyQ轴对称流动中，两条流线间的旋转体积流量等于两轴对称流动中，两条流线间的旋转体积流量等于两条流线的流函数值之差。条流线的流函数值之差。轴对称流动、三维流动？轴对称流动、三维流动？BAld沿封闭曲线的速度环量沿封闭曲线的速度环量? 7-5 7-5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动一、均匀直线流一、均匀直线流不计重力作用不计

24、重力作用全流场为无旋流动全流场为无旋流动1. 均匀直线流动的复势均匀直线流动的复势ieViVivudzdW)sin(cos )(sin(cos )(iyxiVzeVzWi)sincos()sincos(xyV yxV二、平面点源流和点汇流二、平面点源流和点汇流三、点涡流三、点涡流四、平面偶极流四、平面偶极流第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动均匀直线流动的压强分布均匀直线流动的压强分布CVp22 pp 若为无旋流动，若为无旋流动， C 在全流场为常数在全流场为常数理想不可压缩定常流动的伯努利方程（不计重力）理想不可压缩定常流动的伯努利方程（不计重力）沿

25、流线沿流线C 为常数为常数2. 均匀直线流动的压强分布均匀直线流动的压强分布22VpC7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动二、平面点源流和点汇流二、平面点源流和点汇流常数 rv2Q vr , 002rvrQvQ 称为点源强度原点是奇点点源点源( (位于原点位于原点) )全流场除源点外为无旋全流场除源点外为无旋1. 1. 点源流的速度场点源流的速度场7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动rvrvr1极坐标中极坐标中0)(1rrvrvr0)(rvrrvrvrvr1连续方程连续方程无旋无旋7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动rQrr2 , 0rQrr2 , 0rQln22Q 2

26、. 点源流的点源流的流函数和速度势流函数和速度势速度势速度势:流函数流函数:流线是射线簇流线是射线簇等势线是圆簇等势线是圆簇位于位于z0 的点源的点源/汇汇zQirQiWln2)(ln2)ln(20zzQW复势复势: :7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动rvrvr1rvrvr13. 点汇点汇(源源)流的压强分布流的压强分布2228rQpppQrp2200pvpr22伯努利方程伯努利方程绝对压强为零的点绝对压强为零的点0rppr7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动三、点涡流三、点涡流 0 ,2rvrv常数 rv2 称为点涡强度 逆时针为正原点为奇点全流场除涡点外为无旋全流场除涡

27、点外为无旋 点涡点涡（位于原点）（位于原点）xy7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动 rr21复势复势点涡位于点涡位于z0ziWln2)ln(20zziW)(ln2)ln(2iririiW rr2由速度求速度势由速度求速度势2 r ln27.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动例例 设设 x 轴是一块无限大平板，平板两侧都是静止大气，压轴是一块无限大平板，平板两侧都是静止大气，压强为强为p pa。如果在点。如果在点( (a，b)处放置一个强度为处放置一个强度为Q Q 的点源，试求的点源，试求平板由于上下两侧压差产生的合力。平板由于上下两侧压差产生的合力。xyo例例 题题为满足壁面法

28、为满足壁面法向速度为零的向速度为零的条件，叠加一条件，叠加一个位于个位于( (a, b)的的 等强度点源等强度点源解解. . Q(a,b)（镜像法）（镜像法）在在（a, b）和和（a, b）等强度点源叠加等强度点源叠加速度分布速度分布)(ln(2)(ln(2ibazQibazQW)(1)(12ibazibazQivudzdW例例 题题平板上平板上( ( y=0) =0) 法向速度为零，法向速度为零，满足边界条件！满足边界条件！22)()(22bazazQ此复势解适用于上半平面此复势解适用于上半平面（a, b）+Q（a,b）+Q7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动由上、下侧压差引起的平板

29、的合力为由上、下侧压差引起的平板的合力为0)(2dxppFabQF42222)()(2221baxaxQppa平板上侧的压强分布为平板上侧的压强分布为( p = pa )例例 题题7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动222 22 0 02dd()4aQxaQFppxxxabb解解 设设 r=r0 ，p=p0；r，p=p 求涡核中心的最小压强求涡核中心的最小压强 pc 。空气密度。空气密度 =1.225Kg/m3 。例例. 龙卷风龙卷风涡核涡核半径半径 r0=20m，涡核边缘涡核边缘最大风速最大风速 v0 =50m/s。速度分布速度分布mr smrrmr smrv20),/(20),/(

30、20pvp22涡核外是涡核外是 点涡流点涡流（无旋流，适用（无旋流，适用伯努利方程伯努利方程）涡核内如涡核内如 刚体旋转刚体旋转（有旋，适用（有旋，适用相对静止的压强分布）相对静止的压强分布）rvCvp ,22例例 题题例例 题题涡核边缘的压强涡核边缘的压强涡核内由涡核内由r=r0，p=p0、v =v0，得涡核压，得涡核压强强分布分布22021vvpp涡核中心压强最小涡核中心压强最小2200vppkPa vppc063. 3207.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动pvp22Cvp22例例 题题7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动四、平面偶极流四、平面偶极流点源流和点汇流叠加的极

31、限情况为偶极子流点源流和点汇流叠加的极限情况为偶极子流7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动ayaxyaxaQMaQQa2)ln()ln(42lim2222202)(222yxMx得得偶极子势函数偶极子势函数令令2aQ =M 保持不变取极限保持不变取极限 y +Q -Q x -a a 点汇点汇点源点源M 偶极子强度偶极子强度方向方向 点汇到点源点汇到点源点源流和点汇流叠加的极限情况点源流和点汇流叠加的极限情况偶极子流偶极子流)ln(4)ln(42222yaxQyaxQ7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动（位于原点，与（位于原点，与x轴方向相反的偶极子）轴方向相反的偶极子）cos2

32、 rMsin2 rM势函数和势函数和流函数流函数iezMzW2)(与与x正向成正向成 角的偶极子复势角的偶极子复势势函数和流函数的等值线势函数和流函数的等值线7.5 基本的平面有势流动基本的平面有势流动7-6 平面势流的叠加平面势流的叠加一、直线流与点源流的叠加一、直线流与点源流的叠加四、均匀流绕圆柱体的无环量流动四、均匀流绕圆柱体的无环量流动二、螺旋流二、螺旋流五、均匀流绕圆柱体五、均匀流绕圆柱体的的有环量流动有环量流动第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动例例 试分析复势试分析复势W(z)=2z+(1+i)ln(z2+4)由那些基本势流叠加而成由那些

33、基本势流叠加而成?（3）W4(z)=iln(z+2i)、W5(z)= iln(z-2i) 点涡强度点涡强度 =2 位置？ 方向？ （顺时针）（顺时针）复势可分解为复势可分解为 W(z)=2z+(1+i)(ln(z+2i)+ ln(z-2i)（1）W1 (z)= 2z 平行流平行流 （2）W2(z)=ln(z+2i)、 W3(z)= ln(z-2i) 点源强度点源强度 Q=2 解解例例 题题例例 试分析复势试分析复势W(z)=z+lnz由那些基本势流叠加而成由那些基本势流叠加而成? ?复势复势 可分解为可分解为 （1）W1(z)= z ， 平行于平行于x轴的直线流，轴的直线流，V=1 （2）W2

34、(z)=lnz，位于原点的点源流，点源强度，位于原点的点源流，点源强度 Q=2 解解W(z)=z+lnz复势复势W(z)由由平行直线流和点源流平行直线流和点源流叠加而成叠加而成例例 题题一、直线流与点源流的叠加一、直线流与点源流的叠加zQzVzWln2)(2sinln2cosQrVrQrV驻点位置和过驻点的流线方程？驻点位置和过驻点的流线方程？求解：求解： 速度速度 驻点驻点 过驻点的流线过驻点的流线7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加2sinQrV流线的叠加流线的叠加 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加例例. 直线流与点源流的叠加直线流与点源流的叠加驻点驻点sin ),cos2(1Vrvr

35、VQrrvrcos2 ; , 0 VQr2sin2QrVQ过驻点的流线方程过驻点的流线方程VQr2 , )(2VQy速度速度7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加二、螺旋流二、螺旋流rQrQln222ln27.6 平面势流的叠加平面势流的叠加点涡与点汇的叠加点涡与点汇的叠加三、均匀流绕圆柱体的无环量流动三、均匀流绕圆柱体的无环量流动偶极子流和均匀来流的叠加偶极子流和均匀来流的叠加 绕绕圆柱流线圆柱流线速度分布速度分布压强分布压强分布绕圆柱环量绕圆柱环量升力、阻力升力、阻力7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加（2）位于原点，与）位于原点，与x轴反向的偶极子流的轴反向的偶极子流的 、（1）沿）沿x轴

36、方向的均匀流的轴方向的均匀流的 、cos2 rMsincosrVrVsin2 rM1. 1. 势函数和势函数和流函数流函数叠加叠加zMzW2)(复势复势7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加偶极子流和均匀流叠加偶极子流和均匀流叠加sin)2(cos)2(rMrVrMrV通过壁面的流线通过壁面的流线: 直线直线 y=0 和圆和圆r = r0 VMr220)1 (220rryV流函数可写为流函数可写为 7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加偶极子流和均匀流叠加偶极子流和均匀流叠加0v2. 绕流圆柱的绕流圆柱的速度分布速度分布cos)1 (220rrVrvr取取r r0 的流函数为绕流圆柱解的流函数为绕

37、流圆柱解 ! !sin)1 (220rrVrv圆柱表面的速度分布圆柱表面的速度分布0 sin20drVsin2Vv3. 沿圆柱表面的速度环量沿圆柱表面的速度环量0rvVv Vv27.6 平面势流的叠加平面势流的叠加sin)1 (220rrrV偶极子流和均匀流叠加偶极子流和均匀流叠加)(1 (2122VvVpp4. 沿圆柱表面的压强分布沿圆柱表面的压强分布22sin4121VppCp引入压强系数定义得引入压强系数定义得)sin41 (2122VppFDFL200 cosdrpFD5. 阻力阻力(平行于平行于V )、升力、升力(垂直于垂直于V )200 sindrpFL0DF0LF均匀流绕圆柱体无

38、环量流动均匀流绕圆柱体无环量流动7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加zizrzVWln2)(20四、均匀流绕圆柱体有环量流动四、均匀流绕圆柱体有环量流动rrrrVln2sin)(202cos)(20rrrVV 1. 1. 绕圆柱流的势函数和流函数绕圆柱流的势函数和流函数7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加rvrvr102sin20rVvvr2. 2. 绕流圆柱的绕流圆柱的速度分布速度分布圆柱表面的速度分布圆柱表面的速度分布rrrVvrrVvr2sin)1 (cos)1 (2202207.6 平面势流的叠加平面势流的叠加绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动3. 3. 驻点位置驻点位置00 ,4sin

39、rrVr驻（2） =4 r0V ，一个驻点，一个驻点（3） 4 r0V 202)4(4 ,23rVVr（1）04 r0V ，两驻点，两驻点 =3/2， r= r0rrrVvrrVvr2sin)1 (cos)1 (2202207.6 平面势流的叠加平面势流的叠加绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动库塔库塔- -儒柯夫斯基定律儒柯夫斯基定律22)4sin2(21rVVpp0DF200 sindrpFL4. 沿圆柱表面的压强分布沿圆柱表面的压强分布5. 阻力、升力阻力、升力VFL7.6 平面势流的叠加平面势流的叠加绕圆柱有环量流动绕圆柱有环量流动例例. 圆柱体在水中的移动速度圆柱体在水中的移动速度V0=

40、15m/s，半径，半径r0=1m，顺时针方，顺时针方向环量向环量 =94m2/s。求圆柱体上驻点的位置、流体作用在圆柱体。求圆柱体上驻点的位置、流体作用在圆柱体上力的大小和方向。上力的大小和方向。 (相对速度相对速度V = 15m/s)(4sin0Vr驻015 ,30 , 5 . 0sin驻驻VFLNFL61041.194151000作用力的方向垂直向下作用力的方向垂直向下解解. 均匀流绕圆柱体有环量流动均匀流绕圆柱体有环量流动例例 题题sinrV例例. . 已知平面势流的流函数，问绕流图案特征已知平面势流的流函数，问绕流图案特征。rrrln50sin40sin10rln2sin2 rM这是均

41、匀流绕圆柱体的有环量流动，其中这是均匀流绕圆柱体的有环量流动，其中直线流直线流点涡流点涡流偶极子流偶极子流V =10(m/s ) =100 (m2/s) 逆时针方向逆时针方向r0=2 (m) VMr220解解. 均匀流绕圆柱体有环量流动均匀流绕圆柱体有环量流动例例 题题第七章第七章 理想不可压缩流体的势流和旋涡运动理想不可压缩流体的势流和旋涡运动7-7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加 轴对称流动轴对称流动 流场中存在对称轴流场中存在对称轴 以轴为心的圆周切向速度为零以轴为心的圆周切向速度为零 各物理参数沿此圆周不变。各物理参数沿此圆周不变。平面流动和轴对称流动都是平面流动和轴对称流动都是二元流动二元流动用柱坐标系或者球坐标系（参考附录）用柱坐标系或者球坐标系（参考附录）2222210rrrz势函数势函数222221D0rrrz斯托克斯流函数斯托克斯流函数 用柱坐标系用柱坐标系( , , )rrvv r z t( , , )zzvv r z trvrzvz1rvrz 1zvrr7.7 不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加不可压缩流体基本轴对称势流及其叠加连续性方程连续性方程()()0rzrvrvrz0rzvvzr无旋条件无旋条件一、基本的轴对称势流一、基本的轴对称势流(1) 均匀直线流均匀直线流积分得速度势