三角函数的图象和性质

1、定更域与值域三角函数的图象和性质五点法做函数y=Asin（wx+卬）+ k的图象单调性三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质对称I生融性巩固点点突破热门考点01 “五点法”做函数kAsin（5+°） + /7的图象“五点法”作图：先列表，令公工+ 9 = 0,1，子募,2汗，求出对应的五个X的值和五个y值，再根据求出 的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到），=Asin（5 + e） + /z在 一个周期的图象，最后把这个周期的图象以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数y = Asin（0x+°） + 的图象.【典例1】（2020全国高

2、一课时练习）在同一直角坐标系中，画出函数一 一y = sinx, x0,2J, y=cosx, xe 一三、三 的图象.通过观察两条曲线，说出它们的异同.【答案】见解析【解析】可以用“五点法”作出它们的图象,还可以用图形计算器或计算机直接作出它们的图象，图象如图.两条曲 线的形状相同，位置不同.【典例2】（2020,全国高三（文）利用“五点法”画出函数/（x） =），= sin（'x +为在长度为一个周期 26的闭区间的简图.列表：17T X+ 26Xy作图:r . ” v 9 . ， -1并说明该函数图象可由y = sinx*£R）的图象经过怎么变换得到的.（3）求函数/（

3、X）图象的对称轴方程.24【答案】见解析（2）见解析（3） x = 2k九+ ,k wZ.3【解析】（1）先列表，后描点并画图17T X+ 260乃 2乃3万T2兀X冗2T57 T8万 T1U3y010-10（2）把.v = sinx的图象上所有的点向左平移个单位,再把引象的点的横坐标伸长到原来的2 ；o坐标不变），得到y = sin（1x + g）的图象，即y = sin（x + f）的图象；2626（3）由工工+工=化（+工,x = 2&4 +k wZ ,2623所以函数的对称轴方程是x = 2k/r +三,keZ.3【总结提升】用“五点法”作图应抓住四条：将原函数化为y = As

4、in（s+°） + （A>0>0）或y = Acos（s+0）+ （A>O,o>O）的形式：求出周期丁 =工；求出振幅4；列出一个周期内的 co五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点.热门考点02三角函数的图象和性质正弦函数丁 = si n x,余弦函数y = cos x,正切函数y = tan x的图象与性质值域R最值当 x = 2k/r + g(攵 eZ)时，>'max =1;当x=2k7r-(k e Z)时， )min ="1当 x = 2攵乃(ZwZ)时，ynM=h 当 x = 2k7r+7r(k eZ)

5、时， %in = T,既无最大值，也无最小值周期性24乃奇偶性sin(-x) = -sinx,奇函数cos(X)= COS X 偶函数tan(-x)= -tan x 奇函数单调性在2k冗一土、2k冗 + 土 (AeZ) 22上是增函数：在2k冗,2k乃T(k e Z)22上是减函数.在2丘一产,2#可(kwZ)上是 增函数：在n 2女4,2女乃+可仕eZ)上是 减函数.在 k- - ,k + keZ) 22)上是增函数.对称性对称中心心肛0)(% tZ) 对称轴x = k/r + g(攵eZ),既 是中心对称又是轴对称图形.对称中心k九+三,4 (k e Z) 2 )对称轴x = k7(AwZ

6、)，既是中心对称又是轴对称图形.(k冗 、对称中心(4£Z) 1 2/无对称轴，是中心对称但不是轴 对称图形.【典例3】(2020 全国高考真题(理)设函数/W = cos(5 + ：)在一兀，兀的图像大致如下图，则f(x)6的最小正周期为()【答案】C【解析】'4/r 八、由图可得：函数图象过点一丁，。，将它代入函数/（X）可得：cos=0< 96,（4笈X-,0是函数/（x）怪I象1"轴负半轴的第一个交点,所以一土二0+巳=一巳，解得：co = 96222%_ 2乃_ 4%所以函数/ （x）的最小正周期为7 = WH2故选：C【典例4】（2019年高考北京

7、卷文）设函数£（冷二cos/加inx （8为常数），则“加0”是“f （*）为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 =0时，/（x） = cosx4-/?sinx = cosx, /（x）为偶函数；/（X）为偶函数时，/（T）于V）对任意的x 恒成立，即/（T）= cos（T）+ /?sin（T）= cosx-/?sinx , cosx+Z?sinx = cosx-Z?sinx ,得sinx = 0时任意的尤恒成立，从而 =0.从而“8=0 ”是“/（%）为 偶函数”的充分必要条件，故选C.【典例5】（202

8、0 海南省高考真题）下图是函数产sinjd/的部分图像，则sinj”田敏）二（）【答案】BCD. cos( -2a) 6【解析】由函数图像可知：工=2%一生=巳，则& =竺=2=2,所以不选A,2 36 2T n2 乃c 3当彳乃十不 _ 5九时，y = - 2x (p = + 2k7r(<k eZ),x = -2=n1222解得：(p = 2k7r + 7r(k £ Z),即函数的解析式为：=cos 2x + =sin 2x6j 13= sin 2x + 一九 + 2k加 =sin 2x+ + 3 J 6 2jfij cos 2x + V 6)/57r -、 = -c

9、os(-"2x)故选：BC.jr 3 JI【典例6】（2019年高考全国U卷文）若石二:，廿一是函数“0=sin5（o>0）两个相邻的极值点，则 44。二（ ）ACD 3A. 2d.一2IC. 1D.一2【答案】A2jt3tt 冗【解析】由题意知，/（外二门的的周期7二二二4）=冗，解得0 = 2.故选A.co4 4sin v+ V【典例7】（2019年高考全国【卷文）函数= =在一兀兀的图象大致为（）cosx + x【解析】由"T户舞箸K=意赛=一"、)得了是奇函数其图象关于原点对称，. 兀1 + 40排除 A.又/(=) = 一= 与二 >1，/S

10、) = -A=>0,排除 B, C,故选 D.2 ,兀、2 7T- 1 + 7T(5)【典例8】(2020 全国高考真题(理)关于函数f (x)=sinx +-有如下四个命题: sinxf(X)的图像关于y轴对称.f (x)的图像关于原点对称.f (x)的图像关于直线归三对称.2f (x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是【答案】【解析】对于命题，/(£=;+2=£, /则/ qL/d o / 22 Oy 22 16yz o y所以，函数/(x)的图象不关于y轴对称，命题错误；对于命题，函数/(X)的定义域为x|xwk4次eZ,定义域关于原点对称，11(1 Af (

11、-x) = sin (t) + = 一sin x -= - sin x + = -/ (x),sin(-x)sinxsinxy所以，函数/(x)的图象关于原点对称,命题正确;/乃、.（乃111对于命题，【2；【2）. ncosx.sm匕一'J/T 11Z X Z2 J 12 J sin+v 8SX,则了匕7卜/匕+ X所以，函数/（X）的图象关于直线x = £对称，命题正确；对于命题，当一；r<x<0时，sinx<0,则/（x） = sinx + !<。<2, sinx命题错误.故答案为：.【典例9 （2018年全国卷in文）函数f。）二 晨工的

12、最小正周期为（）. 7T _ 7TA二B,三C. JI D. 2jt【答案】C【解析】由已知得f（x）=tanx1 + tan2=sinxcosx = -sin2xf（x）的最小正周期T = = tt故选c.x【典例10 （2020山东高一期末）函数丁 = tan5的定义域为【答案】不k工2%乃+笈,攵£2【解析】解不等式f HJbr + £（k£Z）,可得xw2Kr+/r（AeZ）, 22因此，函数y = tan ；的定义域为x|x W 2攵不+凡攵e Z. 乙故答案为：x|x，2Qr +万, £Z【典例11 （2017新课标2 ）函数/（%） = s

13、t必尤+同;。sv（x G 0,7）的最大值是.【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，川了（%）=1 - cos2% + 3cosx - 7 = - cos2% + 3cosx + 7 = 44O/当）2 +1,由 e 04可得必力£ 04,当皿汽=4时，函数/'（二）取得最大值1.【典例12（2017新课标2）函数/（%） = sin2% cosx - （% E ）的最大值是.4 L 2 J【答案】1【解析】化简三角函数的解析式，则八%）-1 - cos2x -I- f3cosx = - cos2% + f3cosx + -=一任必一当）2 +1,由W0,常可得CO&qu

14、ot; e 0，当皿欠=?时，函数取得最大值1.【典例13（2018年江苏卷）已知函数y二和（2X十9）（一三<3（勺的图象关于直线r=系对称，则平的值 /22是【答案】【解析】由题意可得sin（|n + 4 = ±1,所以=+夕=升江 w=.+ 5（kwZ）,因为一所以A = 0,9 = E, 6【典例14（2018年理北京卷】设函数/（X）=85（3%-3>0）,若为三对任意的实数X都成立， o3则3的最小值为.【答案】:【解析】因为八九)王对任意的实数x都成立，所以取最大值，所以 34-1 = 2kn(tkEZy /. to = 8k+KkeZ),因为®&

15、gt;0,所以当k = 0时，s取最小值为三4623【总结提升】1 .三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2 .三角函数值域的不同求法(1)利用sin x和cos x的值域直接求：(2)把所给的三角函数式变换成p=Hsin(，”x+的形式求值域：(3)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域；(4)利用sin x±cos x和sin a-cos x的关系转换成二次函数求值域.3 .求形如y =对血(比+夕)或丁 = Acos(，x + e)(其中ANO,。>0)的函数的单调区间，可以通过

16、解不 等式的方法去解答，列不等式的原则是：把“5 + 0 (。>0)”视为一个“整体"：A>O(AO)时，所 列不等式的方向与)，=sinx (xwR), y = cosx (x£ R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).4 .当GV0时，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为y = Asin(5 0)的形式，然后求其单调递增 区间，应把-。工一°放在正弦函数的递减区间之内：若求K递减区间，应把-。放在正弦函数的递增 区间之内.5 .已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列

17、不等式(组)求解.(2)反子集法：由所给区间求出整体角的范闱，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列 不等式(组)求解.6 .求三角函数的周期的方法(1)定义法：使得当x取定义域内的每一个值时，都有/(x+r)= /(x).利用定义我们可采用取值进行验 证的思路，非常适合选择题：(2)公式法：使用周期公式，必须先将解析式化为y = Asin(iyx + °) +力或y = Acos(<yx +) + /?的形式:2/r7t正弦余弦函数的最小正周期是丁 =入，正切函数的最小正周期公式是丁 =：注意一定要注意加绝对值, |创同两个公式不要弄混.(3)图象法：可以画出函

18、数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能 够容易画出函数草图的函数；(4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是: 弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定.如y = siir x, y =卜in 的周期都是，但y = |sin,r| + |cos 乂的周期 '为,而y =12sin(3x I,y =1 2sin(3x-) + 21, y =1 tanxI的周期不变.6267 .对称与周期:正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期

19、,相邻 的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期;正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期.8 . 一般根据函数的奇偶性的定义解答，首先必须考虑函数的定义域，如果函数的定义域不关于原点对称， 则函数一定是非奇非偶函数；如果函数的定义域关于原点对称，则继续求/(-幻：最后比较/(-工)和/“) 的关系，如果有/(-幻二/(x),则函数是偶函数，如果有/(-x)=-/(x),则函数是奇函数，否则是非奇 非偶函数.9 .如何判断函数/(3X + 9)的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数/(0X + 9)的奇 偶性，常见的结论如下：(1)若)，=Asin(tyx + 0)为偶

20、函数，则有8 =攵%+ 3(攵£2);若为奇函数则有夕= k/r(k eZ)； (2)若丁 = Acos(3¥ + 0)为偶函数，则有9 =攵4(攵wZ)；若为奇函数则有8 =攵江+ 3(eZ)：若y = A tan(v + 8)为奇函数则有(p = knk e Z).10 .函数的对称性问题，往往先将函数化成y = Asin(©x +) + 8的形式，其图象的对称轴是直线(ax +(p = k + -(keZ),凡是该图象与直线y = 8的交点都是该图象的对称中心，关键是记住三角函数 2的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的对称轴与对称中心.1

21、】函数y = Acos(3左 + 9)+ B(A > 0j3 > 0)的性质(1)%。二月;比%1fa = 4艮(2)周期T =t?(3)由3算+ 1 =求对称轴片最大值对应自变量满足U)a)x +(p= 2kn(k uZ),最小值对应自变量满足何尤+ <p = rt+2fcn(k e Z),(4)由一三十 25至3九十0至：十2/oi(ku Z)求增区间；+ 2kn W co尤+伊W三+ 2kn(k七Z)求减区间. 222212 .对正弦函数、余弦函数单调性的两点说明(1)正弦函数、余弦函数在定义域R上均不是单调函数，但存在单调区间.由正弦函数、余弦函数的最小正周期为2瓦，

22、所以任给一个正弦函数、余弦函数的单调区间，加上2E, 伏£Z)后，仍是单调区间，且单调性相同.13 .对正弦函数、余弦函数最值的三点说明明确正、余弦函数的有界性，即lsiiu|wl, lcosx|<l.(2)函数y=sinx, x£D, (y=cosx, x£。)的最值不一定是1或一 1,要依赖函数定义域。来决定.(3)形如产Asin(3x+«)(A>0,5>0)的函数最值通常利用“整体代换”，即令s+p=Z,将函数转化为产AsinZ 的形式求最值.14 .正切函数单调性的三个关注点(1)正切函数在定义域上不具有单调性.分，百%),上都

23、是增函数.(2)正切函数无单调递减区间，有无数个单调递增区间，住(一头 (3)正切函数的每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在(g,加(全y)U.±是增函数.巩固提升L (2020福建高二学业考试)函数V = cosx的最小正周期为()A. -B. 71C. D. 2万22【答案】D【解析】函数y = cosx的最小正周期为：2万故选： D2 . (202。河南开封高一期末)设函数/(x) = cos(5 +在一兀，汨的图像大致如下图，则7U)的最小正周 6期为()10兀A. 一9C,在3【答案】C7兀B.6c 3兀D.2【解析】由图可得：函数件I象过点一三-,0

24、 , J(47r 将它代入函数/(x)可得：cos|-乃 n67 + . = 06；,0是函数/(X)图象LjX轴，；一个交点.所以一也口十三=一三.解得：CD = - 96222乃_ 2万_ 4乃所以函数/(X)的最小正周期为7 =-=y=T2故选：C3 .(2019届四川省成都市摸底)“3二一手'是“函数外约二cos(3%-3)的图象关于直线r 二千对称”的()A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当 0二一叁时，f(x) = cos(3r -= cos(3r + %)= 8$(千 +，)= cosjt 二 一1,所以算二一叁 是

25、函数 f。)的对称轴；令强一卬=儿冗，r =p(P =三一碗，k£Z,当k = l时， = 一三,当兑取值不同时，的 值也在发生变化.综上，(P =一概函数/'") = cos(3% - 0)图象关于直线r 对称的充分不必要条件.选A. 4.(2018届河北省唐山市三模)已知函数/= sin®t+勺-23("> 0)的图象与冥轴相切，则/=()A. B. C. y-1 D. -y-1【答案】B【解析】v 3 > 0,且汽>的图象卜比轴相切，所以最大值1 23 = 0,； 2a)= 1,即g =；，/. /(%) = sin (；

26、发 + - 1,；/。0 =s讥尊一1二一三故选B. o25.(浙江省七彩联盟2019届高三上期中)已函数y = fQ) +8S%是奇函数，且r(9=l,则“一二()A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】A【解析】根据题意，函数y=八。+cos犬是奇函数， 则/9 + cos g + fC-1) + cos(- f) = 0,解可得：一勺=一2, 3故选:A.6 .(浙北四校2019届高三12月模拟)若函数八© 二 cos+ xeR,则汽幻是()A.最小正周期为冗为奇函数B.最小正周期为冗为偶函数C.最小正周期为三为奇函数D.最小正周期为三为偶函数【答案】A【解析】VCO

27、S (y+ 2jt)=-sin2x,.*.f (x) =-sin2x,可得f (x)是奇函数，最小正周期1苧只故选：A.7 . (2018届福建省厦门市第二次质量检查)函数f(%) = sin(G冥+卬)3>0)的周期为71,八九)二右汽算)在(05)上单调递减，则程的一个可能值为()A- 6 B- I c.拳 0- T【答案】D【解析】由函数/"(%) = sin(u% +0)(3 > 0)的周期为方,得三=R3 = 2, fx = sin(2x + 9),/(Ji) = sm(2jr + <p) = sing) = 7,(P = Zkri + £或 =

28、 2kr + 1jt ,令k = 0, (p =工或p = -Ji, 663=*%+Eg外f（x）在（o, 9不是单调函数.=汴合题意,故3二之灯，故选D. O& （2017课标3,理6）设函数f（x）=cos（/£）,则下列结论错误的是（）3A. f（x）的一个周期为-2中B.尸小）的图象关于直线x二号对称C. f （x+加）的一个零点为X=£6D f在（%）单调递减【答案】D【解析】2打试题分析：函数的最小正周期为7 =亍=2，则函数的周期为7 = 2匕«keZ）,取k=-l ,可得函 数了（无）的一个周期为2笈,选项月正确;yrjt国数的对称铀为+亍

29、=心1值七Z）,即；、 =劫7-（左七2），取k = 3可得产危）的图像关于直线x=亨对称，选顼S正确;/(x+) = cos十）、3= -COsj x十：叮叮,函数的零点满足九十十7/七团，即x = k（keZ） f k=0可得如f）的一个零点为A选项C正确j 6071也7T ,71当 X G ； 71 0 J > X + G(2 )3函魏在该区间内不单调，选项D错误;故选D.9. （2020辽宁沈阳神一期末）【多选题】己知函数/（x） = sinx|cosx|, xe -，学，下列结论正确的是（）A. 7*）的图象关于直线）'轴对称B. .“X）在区间上单调递减_ 4 4 _

30、C. 73）的图象关于直线x 轴对称 D.Ax）的最大值为! 22【答案】BCD【解析】小）在区间吊与上单调递减，故B正确;"X）的最大值为1，的最小值为-!，故D正确 22故选：BCD10. （2020全国高三其他）【多选题】函数工）=5皿3% +。）（。0,好0,2%）的部分图象如图所示，点P是图象上的最高点，点A是图象与轴的交点，点4在x轴上.若P48是等腰直角三角形，则下列结 论正确的是（）又点尸在了(X)的图像上,1 所以/ -= sinipxL小 1, W12 2/则9 = 7，所以x) = sinqx + 7),所以/(l) = sin =苧，A正确:、1i R

31、3;(1,2)时，x + * /(x)单调递减，B 错误;(3=0,所以“力的图像关于点5,0对称，C正:确:令/(x) = sin(gx + ?)=±1,则巳工+二=二+攵4，keZ,24 2keZ.A. "1) = 4乙B. /(x)在区间(1,2)上单调递增C. 7(x)的图象关于点0)对称D. f(x)在区间5,10上有1个极值点【答案】AC【解析】1 、由题意可得A5 = PB = 1,则3 -.01 zco该函数的最小正周期T = 4 =名，则« = 1.又xe50,则女=3或4,即/(x)在区间50上有2个极值点，D错误.故选：AC.11.(2020

32、宁县第二中学高一期中)函数y = / 的定义域是.yjsinx【答'案I(2k;r,2k乃+7r)ksZ【解析】因为丁 = -/二，所以sinx>0,解得2k7rvxv2k乃十凡keZ ,即函数的定义域为 y/sin X（2攵乃,2女乃+乃）&eZ故答案为：(2k/r,2/r+/r*eZ的值域12. （2020河南林州一中高一月考）函数 y = 4sin2x + 6cosx-61-g«x«：;r【答案】-6二.4.【解析】y = 4sin2 x + 6cosx-6 = 4(l-cos2 x) + 6cosx-6)3) 1=-4cos" x +

33、 6cosx-2 = -4(cosx+，7C2/ <X<7T ， 33<COSX<1 ,23iI-6<-4(cosx-)2 +-<-, 44 4 一故答案为：-6，1413. (2020上海高一课时练习)若函数/(x) = cos2x asinx +双。>0)的最大值为0,最小值为Y,则实数 a =, b=.【答案】2-2【解析】= / (x) = -sin2 x-asinx + h + 9令，=sinx(-l <r < 1) t 则 y = 产-at + h +1(-1 <r <1),函数的对称轴为，=-2，2(i1 +。+

34、/? + 1 = 0,。= 2,当一一工一1,即.22时，=>2一1一。+ /? + 1 = 4, = 一2,当一 1<一色<0,即0<a<2时，一（一3）2。（-3） + + 1 = 0且一1一“+/?+1 = -4, 222此时方程组无解；a = 2, < =一2,故答案为：2,-2.14. （2020.武功县普集高级中学高一月考）用五点法作出函数y = 3 + 2cosx在0,2句内的图像【答案】见解析【解析】列表：X0冗23万 T2万y = cosx10-101y = 3 + 2cosx53135描点得y = 3 + 2 cos x在0,2句内的图像（如图所示）:15. （浙江省名校新高考研究联盟（Z20）2019届高三第一次联考）己知函数九）=v"sin2x+2siM工（I）求