普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ理)含详解

1、普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分。第卷1至2页。第卷3至4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。3本卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果时间A、B互斥，那么如果时间A、B相互独立，那么如果事件A在一次试验中

2、发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率球的表面积公式，其中R表示球的半径球的体积公式，其中R表示球的半径一、选择题、设集合，则A BC D、已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则A BC D、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则A B C D、如果复数是实数，则实数A B C D、函数的单调增区间为A BC D、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则A B C D、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是A B C D、抛物线上的点到直线距离的最小值是A B C D、设平面向量、的和。如果向量、，满足，且顺时针旋

3、转后与同向，其中，则A BC D、设是公差为正数的等差数列，若，则A B C D、用长度分别为2、3、4、5、6（单位：）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A B C D、设集合。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有A B C D2006年普通高等学校招生全国统一考试理科数学第卷注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。2第卷共2页，请用黑色签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效。3本卷

4、共10小题，共90分。二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。、已知正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于_。、设，式中变量满足下列条件则z的最大值为_。、安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有_种。（用数字作答）、设函数。若是奇函数，则_。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。、（本小题满分12分）的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。、（本小题满分12分）A、B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试

5、验组进行对比试验。每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组。设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为。（）求一个试验组为甲类组的概率；（）观察3个试验组，用表示这3个试验组中甲类组的个数，求的分布列和数学期望。、（本小题满分12分）如图，、是互相垂直的异面直线，MN是它们的公垂线段。点A、B在上，C在上，。（）证明；（）若，求与平面ABC所成角的余弦值。、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，

6、C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：（）点M的轨迹方程；（）的最小值。（21）、（本小题满分14分）已知函数。（）设，讨论的单调性；（）若对任意恒有，求的取值范围。（22）、（本小题满分12分）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：一、选择题: 1.B 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.C 8.A 9.D 10.B 11.B 12.B二、填空题: 13. 14. 11 15. 2400 16. 一、选择题题号123456789101112答案BDABCBCADBBB1解：=，=， ，选B.2解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即=， ，

7、选D.3双曲线的虚轴长是实轴长的2倍， m<0，且双曲线方程为， m=，选A.4复数=(m2m)+(1+m3)i是实数， 1+m3=0，m=1，选B.5函数的单调增区间满足， 单调增区间为，选C.6中，a、b、c成等比数列，且，则b=a，=，选B.7正四棱柱高为4，体积为16，底面积为4，正方形边长为2，正四棱柱的对角线长即球的直径为2， 球的半径为，球的表面积是，选C.8设抛物线上一点为(m，m2)，该点到直线的距离为，当m=时，取得最小值为，选A.9向量、的和。向量、顺时针旋转后与、同向，且， ，选D.10是公差为正数的等差数列，若，则， d=3，选B.11用2、5连接，3、4连接各

8、为一边，第三边长为7组成三角形，此三角形面积最大，面积为，选B.12若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素

9、，则选法种数有=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=1种；总计有，选B.解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；从5个元素中选出3个元素，有=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；从5个元素中选出4个元素，有=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；从5个元素中选出5个元素，有=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两

10、组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；总计为10+20+15+4=49种方法。选B.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在横线上。13. 14. 11 15. 2400 16. 13正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为，底面边长为2，底面积为12，所以正四棱锥的高为3，则侧面与底面所成的二面角的正切tan=, 二面角等于。14，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是A(0，1)，B(7，1)，C(3，7)，在ABC中满足的最大值是点C，代入得最大值等于11.15先安排甲、乙两人在后5天值班，有=20种排法，其余5人再进行排

11、列，有=120种排法，所以共有20×120=2400种安排方法。16，则=，为奇函数， =.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.解: 由A+B+C=, 得 = , 所以有cos =sin .cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ 当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为18.解: (1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小鼠有i只" , i=0,1,2,Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小鼠有i只" , i=0,1,2, 依题意有

12、: P(A1)=2×× = , P(A2)= × = . P(B0)= × = , P(B1)=2× × = , 所求概率为: P=P(B0·A1)+P(B0·A2)+P(B1·A2)= × + × + × = ()的可能值为0,1,2,3且B(3,) . P(=0)=()3= , P(=1)=C31××()2=, P(=2)=C32×()2× = , P(=3)=( )3= 0123P的分布列为: 数学期望: E=3× =

13、.19.解法一: ()由已知l2MN, l2l1 , MNl1 =M, 可得l2平面ABN.由已知MNl1 , AM=MB=MN,可知AN=NB且ANNB. 又AN为AC在平面ABN内的射影.ABMNCl2l1HACNB （）RtCANRtCNB, AC=BC,又已知ACB=60°,因此ABC为正三角形.RtANBRtCNB, NC=NA=NB,因此N在平面ABC内的射影H是正三角形ABC的中心,连结BH,NBH为NB与平面ABC所成的角.ABMNCl2l1Hxyz在RtNHB中,cosNBH= = = .解法二: 如图,建立空间直角坐标系Mxyz.令MN=1, 则有A(1,0,0)

14、,B(1,0,0),N(0,1,0),()MN是 l1、l2的公垂线, l1l2, l2平面ABN. l2平行于z轴. 故可设C(0,1,m).于是 =(1,1,m), =(1,1,0). ·=1+(1)+0=0 ACNB.() =(1,1,m), =(1,1,m), |=|, 又已知ACB=60°,ABC为正三角形,AC=BC=AB=2. 在RtCNB中,NB=, 可得NC=,故C(0,1, ).连结MC,作NHMC于H,设H(0, ) (>0). =(0,1,), =(0,1, ). · = 12=0, = ,H(0, , ), 可得=(0, ), 连结

15、BH,则=(1, ),·=0+ =0, , 又MCBH=H,HN平面ABC,NBH为NB与平面ABC所成的角.又=(1,1,0),cosNBH= = = 20.解: 椭圆方程可写为: + =1 式中a>b>0 , 且 得a2=4,b2=1,所以曲线C的方程为: x2+ =1 (x>0,y>0). y=2(0<x<1) y '= 设P(x0,y0),因P在C上,有0<x0<1, y0=2, y '|x=x0= ,得切线AB的方程为: y= (xx0)+y0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y= .

16、由= +得M的坐标为(x,y), 由x0,y0满足C的方程,得点M的轨迹方程为: + =1 (x>1,y>2) ()| |2= x2+y2, y2= =4+ , | |2= x21+54+5=9.且当x21= ,即x=>1时,上式取等号.故|的最小值为3.21.解()f(x)的定义域为(,1)(1,+).对f(x)求导数得 f '(x)= eax. ()当a=2时, f '(x)= e2x, f '(x)在(,0), (0,1)和(1,+ )均大于0, 所以f(x)在(,1), (1,+).为增函数.()当0<a<2时, f '(x

17、)>0, f(x)在(,1), (1,+)为增函数. ()当a>2时, 0<<1, 令f '(x)=0 ,解得x1= , x2= .当x变化时, f '(x)和f(x)的变化情况如下表: x(, )(,)(,1)(1,+)f '(x)f(x)f(x)在(, ), (,1), (1,+)为增函数, f(x)在(,)为减函数.()()当0<a2时, 由()知: 对任意x(0,1)恒有f(x)>f(0)=1.()当a>2时, 取x0= (0,1),则由()知 f(x0)<f(0)=1()当a0时, 对任意x(0,1),恒有 >1且eax1,得 f(x)= eax >1. 综上当且仅当a(,2时,对任意x(0,1)恒有f(x)>1.22.解: ()由 Sn=an×2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a1×4+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an1×2n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)