北科大材力弯曲变形PPT课件

1、第1页/共60页第2页/共60页1.1.挠曲线方程：挠曲线方程：( )wf x由于小变形，截面形心在由于小变形，截面形心在x x方向的位移忽略不计方向的位移忽略不计4.4.挠度与转角关系为：挠度与转角关系为：tan,arctandwdwdxdx挠曲线挠曲线wxxw挠度挠度转角转角2.2.挠度挠度w w：截面形截面形 心在心在y y方向的位移方向的位移w向上为正向上为正3.3.转角转角：截面绕中性轴转过的角度。截面绕中性轴转过的角度。逆钟向为正逆钟向为正7-26-2 6-2 梁的挠曲线的微分方程梁的挠曲线的微分方程第3页/共60页纯弯曲纯弯曲时，得到：时，得到：z zEIEIM M1 1横力弯曲

2、横力弯曲时时, ,忽略剪力对变形的影响忽略剪力对变形的影响1( )( )zM xxEI MM1,dMdsddsEI2222arctan111dddxddwdxdsdx dsdxdxdsd wddwdxdxdxdxdxdsdsdwdwdxdxarctandwdxdxdwds2222,1dsdxdwdwdsdxdx223221d wMdxEIdwdx第4页/共60页挠曲线微分方程挠曲线微分方程： 上式是非线性的，适于弯曲变形的任意情况。上式是非线性的，适于弯曲变形的任意情况。小变形情况下：小变形情况下： MM tan,dwfxdx223221d wMdxEIdwdx21dwdxb。解解1 1）由梁

3、整体平衡分析得：）由梁整体平衡分析得：lFaFlFbFFByAyAx ,02 2）弯矩方程）弯矩方程1111, (0)AyFbM xF xxxalAC AC 段：段：222222()(),()AyFbM xF xF xaxF xaaxllCB CB 段：段：maxwab1x2xACDFxAyFByFABwB第10页/共60页3 3）列挠曲线近似微分方程并积分）列挠曲线近似微分方程并积分211121()d wFbEIM xxdxl121111( )2dwFbEIEIxxCdxl1311 116FbEIwxC xDlAC AC 段：段：2222222()()d wFbEIM xxF xadxl22

4、222222()()22dwFbFEIEIxxxaCdxl23322222()66FbFEIwxxaC xDlCB CB 段：段：maxwab1x2xACDFxAyFByFABwB1111, (0)AyFbM xF xxxal222222()(),()AyFbM xF xF xaxF xaaxll第11页/共60页4 4）由边界条件确定积分常数）由边界条件确定积分常数22=( ) = 0 xl,wl11= 0(0) = 0 x,w代入求解，得代入求解，得位移边界条件位移边界条件光滑连续条件光滑连续条件)()(,2121aaaxx 1212=( ) =( )xxa,w aw alFbFblCC6

5、61321 021 DDmaxwab1x2xACDFxAyFByFAByB1211()2FbEIxxCl1311 116FbEIwxC xDl222222()()22FbFEIxxxaCl23322222()66FbFEIwxxaC xDl第12页/共60页5 5）确定转角方程和挠度方程）确定转角方程和挠度方程)(6222211bllFbxlFbEI 113221-(-)FbFbEIwxlbx6l6lAC AC 段：段：ax 10)(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI33222222()()666FbFFbEIwxxalbxllCB CB 段：段：lxa2maxwab1x2x

6、ACDFxAyFByFAByB第13页/共60页6 6）确定最大转角和最大挠度）确定最大转角和最大挠度令令 得，得，0 dxd )(6,maxalEIlFablxB 令令 得，得，= 0dwdx22 322max(),()39 3FblblbxEIl wmaxwab1x2xACDFxAyFByFAByB第14页/共60页最大转角，显然在支座处最大转角，显然在支座处(0)()6AzPabLbEI L ( )()6BzPabLLaEI LBbamax Abamax （顺时针方向）（顺时针方向）（逆时针方向）（逆时针方向）（绝对值）（绝对值）maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB)(62

7、22211bllFbxlFbEI )(6)(222222222bllFbaxFxlFbEI讨论：讨论：1.1.或由大致挠曲线确定或由大致挠曲线确定从从AB， : ，中间必经过，中间必经过0。第15页/共60页2. 当当P力作用在跨中央时，力作用在跨中央时，fmax发生在梁中央。发生在梁中央。当当P力无限接近端点力无限接近端点B时，即时，即b0时时010.5773 0.5xLLL接近简支梁无论简支梁无论F作用在何处用作用在何处用%65. 2最大误差max() 2Lww代替maxwab1x2xACDFxAyFByFAByB第16页/共60页积分法求梁的变形关键点：积分法求梁的变形关键点： 分段列弯

8、距方程分段列弯距方程 寻找边界条件寻找边界条件分段分段: AB、BC、CD三段，六个积分常数。三段，六个积分常数。边界条件边界条件 0, 0 , AABBccwwwww左右左右, 0Dccw左右PDABC第17页/共60页边界条件：0, ABBCwwl 集中力、集中力偶作用点，分布力的集中力、集中力偶作用点，分布力的起、终点，梁的自然端点为分段点。起、终点，梁的自然端点为分段点。支承条件、连续条件、光滑条件。有支承条件、连续条件、光滑条件。有多少积分常数就有且仅有多少个边界多少积分常数就有且仅有多少个边界条件。条件。ABC第18页/共60页小小 结结解题步骤解题步骤:1.分段求M(x);2.分

9、段写挠曲线微分方程EIw=M(x),并积分之;3.由边界条件定积分常数,得挠曲线方程w(x)及转角方程(x);4.求最大变形max, wmax.由经验判定挠曲线,找出最大值所在位置;对变形方程求极值而确定最大值;由M图画大致挠曲线:M(x) = EIwM0 , w 0 ;M0 , w 0 ;M = 0 , w= 0 ;M = c , = c . 圆弧第19页/共60页例例:已知挠曲线方程已知挠曲线方程 则两端截面的约束则两端截面的约束可能为下列情形中的可能为下列情形中的.323(32) (48),EIyqx llxx/Bxol(D)yxol(C)y(B)xoly(A)xoly323032302

10、00(32)/480,0,(98)/480,0,(2418 )/480,0,(4818 )/480,0, ,xx lxx lxx lsssxx lEIwEIqx llxxwwA BEIwq llxxB DEIwqxlxMMMB DEIwqxlFFFA B C D 第20页/共60页22( )d wEIEIwM xdx 设梁上有设梁上有n n 个载荷同时作用，任意截面上的弯矩个载荷同时作用，任意截面上的弯矩为为M(x)M(x)，转角为转角为 ，挠度为，挠度为w w，则有：，则有： ( )iiEIwM x 若梁上只有第若梁上只有第i i个载荷单独作用，截面上弯矩个载荷单独作用，截面上弯矩为为 ，转

11、角为，转角为 ，挠度为，挠度为 ，则有：，则有：i iw)(xMi由弯矩的叠加原理知：由弯矩的叠加原理知：)()(1xMxMnii 所以，所以，11()( )nniiiiEIwEIwM x7-46-4 6-4 用叠加法求梁的变形用叠加法求梁的变形第21页/共60页故故1()niiww由于梁的边界条件不变，因此由于梁的边界条件不变，因此,1nii1niiww重要结论：重要结论： 梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角，等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代数和。这就是这就是计算弯曲变形的叠加原理计算弯曲变形的叠加

12、原理。因为因为11()( )nniiiiEIwEIwM xEIw第22页/共60页某梁对应某种荷载情况的挠度为w1该梁对应另种荷载情况的挠度为w2当这两种荷载同时作用在梁上时挠度为w12www则同样地， =1+2叠加法成立前提，线弹性、小变形线弹性、小变形。第23页/共60页3,3BzPLwEIzBEIPL22LAPBABLq4,8BzqLwEIzBEIqL63APB3,48CzPLwEIzAEIPL16245,384CzqLwEIzAEIqL243挠度： 3、8、48、5384转角： 2、6、16、24ABqL/2L/2CL/2L/2C第24页/共60页例例: : 已知简支梁受力如图示，已知

13、简支梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面的挠度截面的挠度y yC C ；B B截面的截面的转角转角 B B1 1）将梁上的载荷分解）将梁上的载荷分解321CCCCyyyy 321BBBByC1yC2yC32 2）查表得）查表得3 3种情形下种情形下C C截面的挠度和截面的挠度和B B截截面的转角面的转角。EIqlB2431EIqlB1631EIqlB333EIqlyC384541EIqlyC4842EIqlyC1643解解第25页/共60页yC1yC2yC33 3） 应用叠加法，将简单载荷作用时的结应用叠加法，将简单载荷作用时的结果求和果求和 )(384111

14、6483845444431EIqlEIqlEIqlEIqlyyiCiC)(481131624333331EIqlEIqlEIqlEIqliBiB第26页/共60页qBACla例例: : 已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示，q q、l、a a、EIEI均为已知。求均为已知。求C C 截面的挠度截面的挠度y yC C和转和转角角 C CqBAClaByByC36CBqlEI CBByya 4386qlql aEIEI 3243qllaEI 第27页/共60页Cy例例: : 已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C截面的挠度截面的

15、挠度y yC C和转角和转角 C CdxxdxxdP查表，其中查表，其中 dP = qdx, c = x2(3)6cdPxdylxEI 2(3)6qxlxdxEI 2llccydy22(3)6llqxlxdxEI43264llqxlxEI 441384qlEI 第28页/共60页例例: : 已知：悬臂梁受力如图示，已知：悬臂梁受力如图示，q q、l、EIEI均为已知。求均为已知。求C C截面的挠度截面的挠度y yC C和转角和转角 C C1 1）将载荷变成有表可查的情形）将载荷变成有表可查的情形 Cy2Cy1Cy2By,841EIqlyC 43222,2128482CBBlqlqllyyEIE

16、IEIqlC631EIqlC4832 42141,384CCiiqlyyEI 3 3）将结果叠加）将结果叠加 321748CCiiqlEI 2 2）计算各自）计算各自C C截面的挠度和转角截面的挠度和转角第29页/共60页解解：我们分别考虑AB和BC梁段的情况。LaABCPPam 0(a) 刚化BC 求图示荷载作用下，C截面的挠度。LaABCPLaABCPBaBPam 0zzBEIPaLEILm330123CBzPa LfaEI第30页/共60页(c) 叠加(b) 刚化ABBCP2CfLaABCP233CzPafEI12 CCCfff)(32aLEIPazaEIPaLEIPazz333LaAB

17、CPBaBPam 0123CBzPa LfaEI(a) 刚化BC第31页/共60页(c) 叠加(b) 取AB：BCP2CfLaABCP233CzPafEI12 CCCfff)(32aLEIPazaEIPaLEIPazz333123CBzPa LfaEI解二：(a) 取BC：LaABCPBaBBmPaRBFPBMPaRBF第32页/共60页第33页/共60页第34页/共60页第35页/共60页1234123412340 11 22 33 4fffffffffllll 第36页/共60页1234123412340 11 22 33 4fffffffffllll 第37页/共60页节数12345厚度

18、t(mm)66555高度h(mm)6686686665133823/12yIbh3/12xIb h2ycIIAa221cossinsin2yyxyzIIIaIa221sincossin2xyxyzIIIaIa412989665549IImm43693265420Imm44454295119Imm45249835730Imm th1h2h第38页/共60页第39页/共60页,maxmax yy建筑钢梁的许可挠度：建筑钢梁的许可挠度：1000250ll机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角：30001精密机床的许可转角：精密机床的许可转角：500017-56-5 6-5 梁的刚度校核梁的刚度校

19、核第40页/共60页已知：q=10kN/m ，L=3m，bhLfGPaE2 , 2501 , 200试设计截面。hbABLq, 120MPa解：(1) 按强度条件设计A截面为危险截面mNqLM3232max1045310102121maxzWM32646332bbbhWz)2(bh 63310120104532bcmmb 25. 8 1025. 8101202104532363cmbh 5 .162 第41页/共60页(2) 按刚度条件设计maxLfLf4max , 8zqLfEI3212)2(12433bbbbhIzABLqhb333max9410 1031282508 200 103Zfq

20、LLEIb代入刚度条件可得：cmb 92. 821020082503101034933cmbh 84.172 综合考虑强度和刚度条件，取：cmbcmh 9 18第42页/共60页 根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承根据要求，圆轴必须具有足够的刚度，以保证轴承B B 处转角不超过许用数处转角不超过许用数值。值。 B1 1）由前面求得承受集中载荷的外伸梁）由前面求得承受集中载荷的外伸梁B B 处的转角为：处的转角为： EIFlaB3解解例例: : 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa

21、。轴承轴承B B处的处的许可转角许可转角 =0.5 =0.5。根据刚度要求确定根据刚度要求确定轴的直径轴的直径d d。第43页/共60页例例: : 已知钢制圆轴左端受力为已知钢制圆轴左端受力为F F20 kN20 kN，al ml m，l2 m2 m，E E=206 GPa=206 GPa。轴承轴承B B处的处的许可转角许可转角 =0.5 =0.5。根据刚度要求确定根据刚度要求确定轴的直径轴的直径d d。B2 2）由刚度条件确定轴的直径：）由刚度条件确定轴的直径： B 111mmm101115 . 010206318012102064318064342934EFlad 1803EIFla EF

22、laI3180 EFlad3180644第44页/共60页1.1.静不定梁的概念静不定梁的概念超静定梁：超静定梁： 未知力数目大于有效平衡方程数目的梁。未知力数目大于有效平衡方程数目的梁。多余约束：多余约束： 从维持平衡角度而言从维持平衡角度而言, ,多余的约束。多余的约束。超静定次数：超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。多余约束或多余支反力的数目。2.2.用变形比较法求解静不定梁用变形比较法求解静不定梁解除多余约束，建立相当系统；解除多余约束，建立相当系统； 比较变形，列变形协调条件；比较变形，列变形协调条件； 由物理关系建立补充方程；由物理关系建立补充方程； 利用静力平衡条件求其他约束

23、反力。利用静力平衡条件求其他约束反力。相当系统：相当系统： 用多余约束力代替多余约束的静定系统。用多余约束力代替多余约束的静定系统。7-66-6 6-6 静不定梁静不定梁第45页/共60页解：三个反力二个平衡方程 所以是超静定问题。静定基：0qBRBBfffB34(2 )5 (2 )038448RBzzFlqlEIEI53 , 48RBRARCFqlFFqlACqFRBFRAFRCACqFRB 求图示梁的约束反力。ABCllq第46页/共60页 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA解解: :例例: : 求梁的支反力，梁的抗弯刚度为求梁的支反力，梁的

24、抗弯刚度为EIEI。1 1）判定超静定次数）判定超静定次数2 2）解除多余约束，建立相当系统）解除多余约束，建立相当系统(d)ABCFByABFC()()0ByBBFBFwww3 3）进行变形比较，列出变形协调条件）进行变形比较，列出变形协调条件第47页/共60页4 4）由物理关系，列出补充方程）由物理关系，列出补充方程 23(2 )14()(92 )63BFFaFawaaEIEI 38()3ByByBFF awEI03831433EIaFEIFaBy所以所以FFBy475 5）由整体平衡条件求其他约束反力）由整体平衡条件求其他约束反力 )(43),(2FFFaMAyA 2a(d)(c)(b)

25、(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFCA AM MAyAyF F第48页/共60页例例: 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 处铰接，处铰接，A A、C C 两端固定，梁的抗弯刚度均为两端固定，梁的抗弯刚度均为EIEI，F F = 40kN= 40kN，q q = 20kN/m= 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 从从B B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。梁。变形协调方程为：变形协调方程为：12BBwwBBFFFBwB1 FBwB2物理关系物理关系3414483BBFqwEIEI322423 4263BBFFwEIEI解解第49页/共60页FB FByB1yB2kN75. 84842046104023342BF代入得补充方程：代入得补充方程：EIFEIFEIFEIqBB342436234843234确定确定A A 端约束力端约束力04, 0 qFFFBAy44 208.7571.25 kNABFqF0424, 0 BAAFqMM4244 20 248.75125 kN mABMqF 第50页/共