第二十六二次函数y=axbxc的图象(人教九下)

1、26.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象1.1.掌握用描点法画出函数掌握用描点法画出函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象的图象.(.(重点重点) )2.2.掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标点坐标.(.(重点、难点重点、难点) )3.3.经历探索二次函数经历探索二次函数y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象的开口方向、对的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程称轴和顶点坐标以及性质的过程.(.(重点重点) )探究探究y = axy = ax2 2+

2、bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象及性质的图象及性质1.(1)1.(1)二次函数二次函数y=-4(x-2)y=-4(x-2)2 2+1+1图象的开口方向图象的开口方向_,_,对称轴是对称轴是_,_,顶点坐标为顶点坐标为_._.它是由它是由y=-4xy=-4x2 2的图象先向右平移的图象先向右平移_个单位个单位, ,再向上平移再向上平移_个单位得到的个单位得到的. .(2)(2)把把y=-4(x-2)y=-4(x-2)2 2+1+1化成一般形式得化成一般形式得:y=_.:y=_.(3)(3)二次函数二次函数y=-4xy=-4x2 2+16x-15+16x-15的图象与的图象与y=-4xy=

3、-4x2 2的图象的形状、大的图象的形状、大小小_,_,位置位置_._.向下向下直线直线x=2x=2(2,1)(2,1)2 21 1-4x-4x2 2+16x-15+16x-15相同相同不同不同2.y=ax2.y=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)配方的过程配方的过程: :y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c=a_=a_提取二次项系数提取二次项系数=ax=ax2 2+ x+_+ + x+_+ 配方配方= = 化为完全平方式化为完全平方式= = 化为化为y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的形式的形式2bcxx)aa（ba22bb()2a2a （）ca222b4acb

4、a(x)2a4a22b4acba(x)2a4a【总结【总结】1.y=ax1.y=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象是的图象是_, ,形状与形状与y=axy=ax2 2相同相同, ,只是只是_不同不同. .2.y=ax2.y=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的顶点坐标为的顶点坐标为( (_, ,_),),对称轴对称轴是直线是直线x=x=_. . 抛物线抛物线位置位置b2a24acb4ab2a ( (打打“”或或“”)”)(1)(1)抛物线抛物线y=xy=x2 2+4x+9+4x+9的对称轴是直线的对称轴是直线x=2.x=2.( )( )(2)(2)二次函数二次函数

5、y=-2xy=-2x2 2+x+x有最大值是有最大值是0.0.( )( )(3)(3)把二次函数把二次函数y=- xy=- x2 2-x+3-x+3用配方法化成用配方法化成y=a(x-h)y=a(x-h)2 2+k+k的形式的形式是是y=- (x-2)y=- (x-2)2 2+2.+2.( )( )(4)(4)抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)经过原点经过原点, ,则则c=0.c=0.( )( )1414知识点知识点 1 1 y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象及其性质的图象及其性质【例【例1 1】(2012(2012徐州中考徐州

6、中考) )二次函数二次函数y=xy=x2 2+bx+c+bx+c的图象经过点的图象经过点(4,3),(3,0).(4,3),(3,0).(1)(1)求求b,cb,c的值的值. .(2)(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴. .(3)(3)在所给坐标系中画出二次函数在所给坐标系中画出二次函数y=xy=x2 2+bx+c+bx+c的图象的图象. .【思路点拨【思路点拨】把点的坐标代入解析式把点的坐标代入解析式列方程组列方程组b,cb,c的值的值把解析式配方把解析式配方顶点坐标、对称轴顶点坐标、对称轴作图作图. .【自主解答【自主解答】(1)(1)由题意得由

7、题意得解得解得(2)(2)由由(1)(1)知函数解析式是知函数解析式是y=xy=x2 2-4x+3,-4x+3,可化为可化为y=(x-2)y=(x-2)2 2-1,-1,其顶点坐标是其顶点坐标是(2,-1),(2,-1),对称轴为直线对称轴为直线x=2.x=2.164bc393bc0，b4c3. ，(3)(3)如图所示如图所示: :【总结提升【总结提升】画二次函数图象的三步骤画二次函数图象的三步骤1.1.化化: :把一般式化成顶点式把一般式化成顶点式. .2.2.定定: :确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴. .3.3.画画: :利用抛物线对称性列表利

8、用抛物线对称性列表, ,描点描点, ,连线连线. .知识点知识点 2 2 y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象与系数的关系的图象与系数的关系【例【例2 2】二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示的图象如图所示, ,请你分别判断请你分别判断a,b,ca,b,c及及a+b+ca+b+c的符号的符号. .【解题探究【解题探究】1.1.根据抛物线的开口向根据抛物线的开口向_, ,得得a a_0.0.2.2.由图中顶点横坐标得由图中顶点横坐标得- - _0,0,其中其中a a_0,b0,b_0.0.3.3.抛物线抛物线y=axy=ax2 2+

9、bx+c+bx+c与与y y轴的交点坐标是多少轴的交点坐标是多少? ?结合此交点在结合此交点在y y轴的位置轴的位置, ,试判断试判断c c的符号的符号. .提示提示: :抛物线抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与y y轴的交点坐标是轴的交点坐标是(0,(0,_),),该点在该点在y y轴的轴的_轴上轴上,c,c_0.0.4.4.因为因为a+b+ca+b+c是是x=x=_时时y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的值的值, ,此时图象上所对应的点此时图象上所对应的点在在x x轴的下方轴的下方, ,所以函数值小于所以函数值小于0,0,即即a+b+ca+b+c_0.0.b2a

10、负半负半 1 1 0- 0时时,b,b与与a a的符号有何关系的符号有何关系?- 0?- 0- 0时时,b,b的符号与的符号与a a的符号相异的符号相异;- 0;- 0,a0,开口向下开口向下a0a0b b的符号的符号左同右异左同右异, ,顶点在顶点在y y轴左侧轴左侧,b,b与与a a符号相符号相同同; ;顶点在顶点在y y轴右侧轴右侧,b,b与与a a符号相异符号相异c c的符号的符号c c为图象与为图象与y y轴交点的纵坐标轴交点的纵坐标题组一题组一: :y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象及其性质的图象及其性质1.1.二次函数二次函数y=xy=x2 2-4x

11、+5-4x+5的顶点坐标为的顶点坐标为( () )A.(-2,-1)A.(-2,-1)B.(2,1)B.(2,1)C.(2,-1)C.(2,-1) D.(-2,1) D.(-2,1)【解析【解析】选选B.B.方法一：方法一：a=1,b=-4,c=5a=1,b=-4,c=5，顶点坐标为（顶点坐标为（2,12,1）. .方法二：方法二：yyx x2 24x4x5 5=x=x2 2-4x+ +5=-4x+ +5=（x-2x-2）2 2-4+5-4+5= =（x-2x-2）2 2+1,+1,顶点坐标为（顶点坐标为（2,12,1）. .b422a2 1 224acb4 1 5420 1614a4 14

12、（）2244( )( )222.2.在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,若将抛物线若将抛物线y=2xy=2x2 2-4x+3-4x+3先向右平移先向右平移3 3个个单位单位, ,再向上平移再向上平移2 2个单位个单位, ,则经过这两次平移后所得抛物线的则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是顶点坐标是( () )A.(-2,3)A.(-2,3)B.(-1,4)B.(-1,4)C.(1,4)C.(1,4)D.(4,3)D.(4,3)【解析【解析】选选D.yD.y=2x=2x2 2-4x+3=2x-4x+3=2x2 2-4x+2+1=2(x-4x+2+1=2(x2 2-2x+1)+1=-2x

13、+1)+1=2(x-1)2(x-1)2 2+1,+1,将抛物线将抛物线y=2xy=2x2 2-4x+3-4x+3经两次平移后所得到新抛物线的解析式经两次平移后所得到新抛物线的解析式为为y=2(x-1-3)y=2(x-1-3)2 2+1+2,+1+2,即即y=2(x-4)y=2(x-4)2 2+3,+3,新抛物线的顶点坐标为新抛物线的顶点坐标为(4,3).(4,3).【归纳整合【归纳整合】二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c的平移的平移先把函数解析式配方成顶点式先把函数解析式配方成顶点式, ,再根据平移规律再根据平移规律, ,确定平移后的确定平移后的顶点坐标顶点坐标, ,进

14、而得到平移后的抛物线的解析式进而得到平移后的抛物线的解析式. .3.(20133.(2013襄阳中考襄阳中考) )二次函数二次函数y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c的图象如图所示的图象如图所示, ,若若点点A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )在此函数图象上在此函数图象上, ,且且x x1 1xx2 21,1,则则y y1 1与与y y2 2的大的大小关系是小关系是( () )A.yA.y1 1yy2 2B.yB.y1 1yyy2 2【解析解析】选选B.B.根据二次函数的图象性质可知根据二次函数的图象性质可知, ,当当x1x1时时,y,y随随着着

15、x x的增大而增大的增大而增大. .xx1 1xx2 21,1,点点A A、点、点B B在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y1 1y0,a=10,所以二次函数所以二次函数y=xy=x2 2-2x+6-2x+6有最小值是有最小值是5.5.答案答案: :5 55.(20135.(2013湖州中考湖州中考) )已知抛物线已知抛物线y=-xy=-x2 2+bx+c+bx+c经过点经过点A(3,0),A(3,0),B(-1,0).B(-1,0).(1)(1)求抛物线的解析式求抛物线的解析式. .(2)(2)求抛物线的顶点坐标求抛物线的顶点坐标. .【解析【解析】(1)(1)方法一方法一:抛物线抛物线y=

16、-xy=-x2 2+bx+c+bx+c经过点经过点A(3,0),A(3,0),B(-1,0),B(-1,0), 解得解得抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=-xy=-x2 2+2x+3.+2x+3.方法二方法二: :抛物线的解析式为抛物线的解析式为y=-(x-3)(x+1),y=-(x-3)(x+1),即即y=-xy=-x2 2+2x+3.+2x+3.93bc01bc0， ，b2c3.，(2)(2)方法一：方法一：y=-xy=-x2 2+2x+3=-(x-1)+2x+3=-(x-1)2 2+4+4，顶点坐标为（顶点坐标为（1 1，4 4）. .方法二：方法二：a=-1a=-1，b=2b=2，c

17、=3c=3，- =- =1- =- =1，顶点坐标为（顶点坐标为（1 1，4 4）. .方法三：由方法三：由A A（3 3，0 0），），B B（-1-1，0 0）可知，此抛物线的对称轴）可知，此抛物线的对称轴为为x=1x=1，把把x=1x=1代入代入y=-xy=-x2 2+2x+3+2x+3，得，得y=4.y=4.顶点坐标为（顶点坐标为（1 1，4 4）. .b2a22 ( 1) 241344acb4,4a41 【高手支招【高手支招】求抛物线顶点坐标的三途径求抛物线顶点坐标的三途径(1)(1)可把二次函数一般式通过配方化成顶点式可把二次函数一般式通过配方化成顶点式, ,从而求出顶点从而求出顶

18、点. .(2)(2)可由一般式下的顶点坐标公式求出顶点坐标可由一般式下的顶点坐标公式求出顶点坐标. .(3)(3)在一般式下先求出对称轴直线在一般式下先求出对称轴直线x=h,x=h,再把再把x=hx=h代入解析式求得代入解析式求得对应的对应的y y值值, ,从而确定顶点坐标从而确定顶点坐标. .题组二题组二: :y=axy=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)的图象与系数的关系的图象与系数的关系1.1.二次函数二次函数y=xy=x2 2+ax+b+ax+b中中, ,若若a+ba+b=0,=0,则它的图象必经过点则它的图象必经过点( () )A.(A.(1,1,1) B.(1,1) B

19、.(1,1)1)C.(1,1) D.(C.(1,1) D.(1,1)1,1)【解析【解析】选选C.C.当当x=1x=1时时, ,代入二次函数解析式得代入二次函数解析式得,y=1+a+b,y=1+a+b,即即a+ba+b=y-1,=y-1,所以所以y-1=0,y-1=0,所以所以y=1.y=1.即当即当x=1x=1时时,y=1,y=1,所以图象必经过所以图象必经过点点(1,1).(1,1).2.(20132.(2013聊城中考聊城中考) )二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+bx的图象如图所示的图象如图所示, ,那么那么一次函数一次函数y=ax+by=ax+b的图象大致是的图象大致是(

20、 () )【解析【解析】选选C.C.抛物线开口向下抛物线开口向下, ,所以二次函数的二次项系数所以二次函数的二次项系数a0,a0,x=- 0,所以所以b0.b0.则由则由a a的值可知一次函数的值可知一次函数y y随随x x的增大的增大而减小而减小, ,直线从左到右呈下降趋势直线从左到右呈下降趋势, ,由由b b的值可知直线与的值可知直线与y y轴的正轴的正半轴相交半轴相交, ,故选故选C.C.b2a3.3.二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c中中,a0,b0,b0,b0,b0;- 0;又因为又因为c=0,c=0,所以所以 0,0,所以抛物线的顶点在第四象限所以抛物线的顶点在第四象限. .答案答案: :四四b2a224acbb4a4a4.4.如果抛物线如果抛物线y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c与与y y轴交于点轴交于点A(0,2),A(