《1.5 全称量词与存在量词》优秀教研导学案

1、第一章集合与常用逻辑用语1.5全称量词与存在量词1.5.1全称量词与存在量词1.5.2全称量词命题和存在量词命题的否定1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词；2.了解含有量词的全称量词命题和存在量词命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性；3.会写全称量词命题和存在量词命题的否定；4. 使学生体会从具体到一般的认知过程，培养学生抽象、概括、转化的能力1.教学重点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假，全称量词命题和存在量词命题的否定；2.教学难点：判断全称量词命题和存在量词命题的真假。一、全称量词命题、存在量词命题的基本

2、概念1全称量词、全称量词命题的概念（1）全称量词及表示:定义：短语“ ”、 、 、 、 在逻辑中通常叫全称量词。表示：用符号 表示。（2）全称量词命题及表示:定义：含有 的命题，叫全称量词命题。表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为: 。读作:“对任意x属于，有p(x)成立”。2.存在量词、存在量词命题的定义（1）存在量词及表示:定义：短语 、 、 、 、 在逻辑中通常叫做存在量词。表示：用符号 表示。（2）存在量词命题及表示：定义：含有 的命题,叫做存在量词命题.表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为 .读作:“存在一个x属于M,

3、使p(x)成立”.3、 命题的否定 全称量词命题的否定是 命题，存在量词命题的否定是 命题。探究一、全称量词命题的含义1.思考:下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)x>3(2)2x+1是整数(3)对所有的xR,x>3(4)对任意一个xZ,2x+1是整数2、归纳新知（1）全称量词及表示:定义：短语“ ”、 、 、 、 在逻辑中通常叫全称量词。表示：用符号 表示。（2）全称量词命题及表示:定义：含有 的命题，叫全称量词命题。表示：全称命题“对M中任意一个x，有含变量x的语句p(x）成立”表示为: 。读作:“对任意x属于，有p(x)成立”。练习：用量词“

4、 ”表达下列命题:(1)实数都能写成小数形式;(2)凸多边形的外角和等于2； （3）任一个实数乘以-1都等于它的相反数。例1.判断下列全称量词命题的真假(1) 所有的素数都是奇数;(2) , |x|+11(3) 对每一个无理数x,x2也是无理数4、思考：如何判断全称量词命题的真假？探究二 存在量词命题的含义1.思考：下列语句是命题吗?(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系?(1)2x+1=3(2)x能被2和3整除;(3)存在一个xR,使2x+1=3;(4)至少有一个xZ,x能被2和3整除.2.存在量词、存在量词命题的定义（1）存在量词及表示:定义：短语 、 、 、 、 在逻辑中通常叫做存

5、在量词。表示：用符号 表示。（2）存在量词命题及表示：定义：含有 的命题,叫做存在量词命题.表示：存在量词命题“存在M中的一个x,使p(x)成立”可用符号简记为 .读作:“存在一个x属于M,使p(x)成立”.3.练习：下列命题是不是存在量词命题？ （1）有的平行四边形是菱形; （2）有一个素数不是奇数 4.练习： 设q(x):x2=x,使用不同的表达方法写出存在量词命题“xR,q(x)”例2 下列语句是不是全称量词命题或存在量词命题。(1) 有一个实数a，a不能取倒数；(2) 所有不等式的解集A,都是AR；(3) 有的四边形不是平行四边形。例3 判断下列存在量词命题的真假 (1)有一个实数x,

6、使x2+2x+3=0;(2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线;(3)有些平行四边形是菱形.5.思考：如何判断存在量词命题的真假探究三 全称量词命题和存在量词命题的否定1.定义：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这一新命题称为原命题的否定。牛刀小试：说出下列命题的否定。（1） 56是7的倍数；（2） 空集是集合A=1,2,3的真子集；2.思考：（2）每一个素数都是奇数；。（2）p:每一个四边形的四个顶点在同一个圆上3.思考：（2）某些平行四边形是菱形；。（3）有一个偶数是素数.例6 写出下列命题的否定，并判断真假； （1）任意两个等边三角形都相似； 1下列说法中，正确的个

7、数是()存在一个实数x0，使2xx040；所有的素数都是奇数；至少存在一个正整数，能被5和7整除A0B1C2D32设命题p：nN，n22n，则命题p的否定为()AnN，n22nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n3判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出这些命题的否定(1)有一个奇数不能被3整除；(2)xZ，x2与3的和不等于0；(3)有些三角形的三个内角都为60°；(4)每个三角形至少有两个锐角；(5)与圆只有一个公共点的直线是圆的切线这节课你的收获是什么？ 参考答案：探究一 1.（1）不是 (2)不是 (3) 是 （4）是关系：(3)在(1)的基础上,用量词

8、“所有的”对变量 x进行限定; (4)在(2)的基础上,用短语”对任意一个”对 变量x进行限定.3.练习 （1）x能写成小数形式;（2） x x|x是凸n边形,x的外角和等于;(3)x·(-1)= -x.例1 （1）2是素数,但不是奇数,全称命题(1)是假命题;(2),|x|0,从而|x|+11,全称命题(2)是真命题;（3）是无理数,但是有理数，,全称命题(3)是假命题;4.若判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x验证P(x)成立;若判定一个全称量词命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x=x0 ,使得P(x)不成立即可。探究二 1. (1)不是 （2）不是

9、（3）是 （4）是关系：(3)在(1)的基础上,用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定,使(3)变成了可以判断真假的语句;(4)在(2)的基础上,用“至少有一个”对变量x的取值进行限定,从而使(4)变成了可以判断真假的语句. 3.都是存在量词命题。4.存在实数x,使x2=x成立； 至少有一个xR,使x2=x成立；对有些实数x,使x2=x成立；有一个xR,使x2=x成立；对某个xR,使x2=x成立。例2 （1）存在量词命题 （2）全称量词命题 （3）存在量词命题例3 (1)由于 ， ,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以,存在量词命题(1)是假命题.(2)由于平面内垂直于同一条直线的两

10、条直线是互相平行的,因此不存在两个相交的直线垂直于同一条直线.所以,存在量词命题(2)是假命题。（3）由于正方形既是平行四边形又是菱形，所以存在量词命题“有些平行四边形是菱形”是真命题。5.要判断存在量词命题“xM,p(x)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可.如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在量词命题是假命题.探究三 牛刀小试 （1）否定： 56不是7的倍数；（2）否定： 空集不是集合A=1,2,3的真子集。2.(2)存在一个素数表示奇数；。从形式看，全称量词命题的否定是存在量词命题例4.（1）否定： 存在一个能被3整除的整数不是奇数.（2

11、）否定：存在一个四边形，它的四个顶点不在同一个圆上；（3）否定：的个位数字等于3.3.否定:（1）所有实数的绝对值都不是正数;（2）每一个平行四边形都不是菱形;（3） 从命题形式看,这三个存在量词命题的否定都变成了全称量词命题.例 5（2） 该命题的否定：所有三角形都不是等边三角形（3） 该命题的否定：任意一个偶数都不是素数例6 （1） 该命题的否定：存在两个对边三角形，它们不相似。因为任意两个等边三角形的三边成比例，所以任意两个等边三角形都 相似。因此这是一个假命题。（2）该命题的否定：.所以这是一个假命题。达标检测1.【解析】方程2x2x40无实根；2是素数，但不是奇数；正确故选B.【答案】B2.【解析】因为“xM，p(x)”的否定是“xM，¬p(x)”，所以命题“nN，n2>2n”的否定是“nN，n22n”故选C.【答案】C3.(1)是存在量词命题，否定为：每一个奇数