研究性学习 钟表里的数学

1、 同学们，我们每天的同学们，我们每天的日常生活都离不开表，但日常生活都离不开表，但是你们知道表中还隐藏着是你们知道表中还隐藏着什么样的有趣的数学知识什么样的有趣的数学知识吗？让我们一起研究研究。吗？让我们一起研究研究。 不知你是否观察过钟表上的时不知你是否观察过钟表上的时针和分针，它们总是成一定角度。针和分针，它们总是成一定角度。那么，你是否知道它们什么时候那么，你是否知道它们什么时候重合？什么时候成一条直线？什重合？什么时候成一条直线？什么时候成直角？其中有什么规律？么时候成直角？其中有什么规律？ 问题一：问题一： 这类问题实际上是分针追时这类问题实际上是分针追时针的追击问题，它的公式是：针

2、的追击问题，它的公式是：21VVST 追追(1).(1).两针重合时的位置两针重合时的位置:图一图二 我们知道两表针在我们知道两表针在12:0012:00时会重合时会重合( (如图如图一一),),设下一次重合位置为图二设下一次重合位置为图二, ,时针走过的路时针走过的路程用黄线表示程用黄线表示, ,分针走过的路程用红线分针走过的路程用红线+ +棕红棕红线表示线表示, ,追及路程追及路程S S为绿线所示，恰为一周。为绿线所示，恰为一周。1V2VS S解法一解法一：取钟表上的一小格（即一分钟）取钟表上的一小格（即一分钟）为单位路程，则为单位路程，则)(60 格格 S)/( 11分分格格 V)/(1

3、212分分格格 V（分分）追追1156511720121160 T解法二解法二： 取钟表上的一大格（即一小时）取钟表上的一大格（即一小时）为单位路程，则为单位路程，则)(12 格格 S)/(121时时格格 V)/( 12时时格格 V（分分）（时时）追追115656011111111111211212 T结果相同。结果相同。根据以上计算，每隔根据以上计算，每隔 分时针和分针重分时针和分针重合一次。合一次。11565在一天中它们重合的次数是：在一天中它们重合的次数是：（次次）22117206024 N它们的位置分别是：它们的位置分别是：00:24,11654:22,11149:21,11743:2

4、0,11238:19,11832:18,11327:17,11921:16,11416:15,111010:14,1155:13,00:12,11654:10,11149: 9,11743: 8 ,11238:7,11832: 6,11327: 5,11921: 4,11416: 3,111010: 2,1155: 1(2).两针成一线时的位置两针成一线时的位置:图一 我们知道两表针在我们知道两表针在6:006:00时会时会成与一线成与一线( (如图一如图一),),设下一次设下一次成一成一线的线的位置为图二位置为图二, ,时针时针走过的路程用走过的路程用黄线黄线表示表示, ,分针走过的路程用红

5、分针走过的路程用红线线+ +棕红线表示棕红线表示, ,追及路程追及路程S S为为绿线绿线所示，恰好为所示，恰好为一周一周，因此，此问，因此，此问题的解答与题的解答与(1)完全类似。完全类似。即每隔即每隔 分时针和分针成一线，一天分时针和分针成一线，一天内表针将内表针将22次成一线。次成一线。11565图二S S1V2V(3).两针垂直时的位置两针垂直时的位置: 两表针在两表针在3:003:00时时垂直垂直( (如图一如图一),),设下一次设下一次垂直的垂直的位置为图二位置为图二, ,时时针走过的路程用黄线表示针走过的路程用黄线表示, ,分针走过的路程用红线表示分针走过的路程用红线表示, ,追及

6、路程追及路程S S为绿线所示。由于蓝角与绿角互补，红角也与绿角互补，所以，红为绿线所示。由于蓝角与绿角互补，红角也与绿角互补，所以，红角角= =蓝角，故图中两黄线部分相等。因此，追及路程恰好为半周蓝角，故图中两黄线部分相等。因此，追及路程恰好为半周。图一图一图二图二2V1VS S解：解：取钟表上的一小格（即一分钟）取钟表上的一小格（即一分钟）为单位路程，则为单位路程，则)(30 格格 S)/( 11分分格格 V)/(1212分分格格 V（分分）追追1183211360121130 T方法二：方法二：S图一图一图二图二 将时针看作是不动的，分针以相对时针的速度（二将时针看作是不动的，分针以相对时

7、针的速度（二者的速度差）追及时针。者的速度差）追及时针。两表针在两表针在3:003:00时时垂直垂直( (如图一如图一),),下一次下一次垂直的垂直的位置为图二位置为图二, ,分针走过的路程用绿线表示，分针走过的路程用绿线表示，这也就是追及的路程这也就是追及的路程S S，恰好为圆周的半圈。恰好为圆周的半圈。时时分分VV 解：解：取钟表上的一小格（即一分钟）为单位路程，则取钟表上的一小格（即一分钟）为单位路程，则)(30 格格 S)/(12111分分格格 V)/( 02分分格格 V（分分）追追1183211360012130 T当两针再次重合时，又回到图一的情况，因此，当两针再次重合时，又回到图

8、一的情况，因此，每隔每隔 分两针相互垂直分两针相互垂直 11832根据以上计算，每隔根据以上计算，每隔 分时针和分针垂分时针和分针垂直一次。直一次。11832在一天中它们重合的次数为在一天中它们重合的次数为（次次）44113606024 N它们的位置分别是：它们的位置分别是：.11327: 2,00: 9,11327: 8,11654: 7,11921: 7,11149: 6,11416: 6,11743: 5,111010: 5,11238: 4,1155 : 4,11832: 3,00: 3 时针与分针还可以成时针与分针还可以成20度、度、30度或度或其它度数的角，它们在一天中会出现几其它

9、度数的角，它们在一天中会出现几次？分别在哪些位置？其实，分析方法次？分别在哪些位置？其实，分析方法与相互垂直时完全类似，请你也试一试。与相互垂直时完全类似，请你也试一试。推广：推广： 在分析此问题时，我们用到了追在分析此问题时，我们用到了追及问题的知识、数形结合法、用字及问题的知识、数形结合法、用字母表示数、求代数式的值以及圆和母表示数、求代数式的值以及圆和角度的一些知识角度的一些知识。小结：小结： 问题二：问题二： 如果一个工人师傅错把一块表如果一个工人师傅错把一块表的时针和分针安反了，那么这块表的时针和分针安反了，那么这块表还能正确表示所有时间吗？还能正确表示所有时间吗？ 答案是否定的，除

10、了两针重合答案是否定的，除了两针重合时能正确表示时间外，表针在其它时能正确表示时间外，表针在其它位置均无法表示时间位置均无法表示时间例如：例如：正常正常装错装错3：0012：00？ 12：15？ 问题三：问题三： 表是用来反映时间的工具，但如表是用来反映时间的工具，但如果你的表不准，你是否可以根据它果你的表不准，你是否可以根据它来判断其他人的表准不准呢？答案来判断其他人的表准不准呢？答案是肯定的。下面由我来告诉你们方是肯定的。下面由我来告诉你们方法法。设：表设：表A比标准时间比标准时间一小时一小时快快a，表，表B比比 表表A每小时每小时快快b。那么，表。那么，表B是否准确？是否准确？ 分析：分

11、析： 标准时间一小时中标准时间一小时中B B所走的时间：所走的时间：当当A走走1小时时，小时时，B走走b+1小时；当小时；当标准时标准时为为1小时小时时，时，A走走a+1小时；设：小时；设：B走走x小时。小时。A、B两表速度成比例，应有：两表速度成比例，应有：111 bax)1)(1(bax 准准若若Bba1)1)(1 ( 不不准准若若Bba1)1)(1 ( 这就是判断这就是判断B表准不准的判据。表准不准的判据。下面，让我们根据上面的判据来判断一下：下面，让我们根据上面的判据来判断一下：分析：分析：)(601)(601时时时时 ba不准不准）（136003599605960616011)6011()1)(1( ba 例：我的表比标准时间每小时快例：我的表比标准时