第4单元 指数函数与对数函数（强化篇）（解析版）

1、第4单元 指数函数与对数函数（强化篇）基础知识讲解1分段函数的解析式求法及其图象的作法【基础知识】分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用几个式子来表示函数，这种形式的函数叫分段函数已知一个分段函数在某一区间上的解析式，求此函数在另一区间上的解析式，这是分段函数中最常见的问题【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法1、待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；2、换元法或配凑法，已知复合函数fg（x）的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；3、消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f（x）；另外，在解

2、题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法分段函数是一类重要的函数模型解决分段函数问题，关键抓住在不同的段内研究问题2函数单调性的性质与判断【基础知识】 一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2， 当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数 若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf（x）的单调区间【技巧方法】 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值；作差；变形；

3、确定符号；下结论 利用函数的导数证明函数单调性的步骤：第一步：求函数的定义域若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域第二步：求函数f（x）的导数f（x），并令f（x）0，求其根第三步：利用f（x）0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表第四步：由f（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）maxa或f（x）mina，解不等式求参数的取值范围第六步：明确规范地表述结论3复合函数的单调性【基础知识】 复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基

4、本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性平常常见的一般以两个函数的为主【技巧方法】 求复合函数yf（g（x）的单调区间的步骤：（1）确定定义域；（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；（3）分别确定两基本初等函数的单调性；（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间4奇函数、偶函数【奇函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称【技巧方法】如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）0解相关的未知量；若定义域不包括原点，那么运用f（x）f（x）解相关参数；已知奇函数大于0的部分的函数表达式，

5、求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x0时，f（x）x2+x那么当x0时，x0，有f（x）（x）2+（x）f（x）x2xf（x）x2+x 【偶函数】 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称【技巧方法】运用f（x）f（x）求相关参数，如yax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（2）0，周期为2，那么在区间（2，8）函数与x轴至少有几个交点5函数奇偶性的性质与判断【基础知识】如果函数f（x）的定义域关于原点对称

6、，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（x）f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称【技巧方法】奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）0解相关的未知量；奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）f（x）解相关参数；偶函数：在定义域内一般是用f（x）f（x）这个去求解；对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反6.函数解析式的求解及常用方法【基础知识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的

7、过程就是函数的解析式的求解【技巧方法】求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等7.幂函数的单调性、奇偶性及其应用【基础知识】1.幂函数定义：一般地，函数yxa（aR）叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数（1）指数是常数；（2）底数是自变量；（3）函数式前的系数都是1；（4）形式都是yxa，其中a是常数8.幂函数的性质【基础知识】所有的幂函数在（0，+）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）（1）当a0时，幂函数yxa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）（0，0）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；c、在第一象限内，a1时

8、，图象开口向上；0a1时，图象开口向右；d、函数的图象通过原点，并且在区间0，+）上是增函数（2）当a0时，幂函数yxa有下列性质：a、图象都通过点（1，1）；b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴（3）当a0时，幂函数yxa有下列性质：a、yx0是直线y1去掉一点（0，1），它的图象不是直线9.五个常用幂函数的图象和性质（1）yx； （2）yx2； （3）yx3； （4）y； （5）yx1yxyx2yx3yyx1定义域RRR0，+）x|x0

9、值域R0，+）R0，+）y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x0，+）时，增x（，0时，减增增x（0，+）时，减x（，0）时，减公共点（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）（0，0）（1，1）10.幂函数的奇偶性（1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）（2）如果a0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在0，+）上为增函数（3）如果a0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+）上为减函数（4）当a为奇数时，幂函数为奇函数，当a为偶数时，幂函数为偶函数11函数最值的应用【基础知识】 函数的最值顾名思义就是指函数在某段区间

10、内的最大值和最小值在日常生活中我们常常会遇到如何使成本最低，如何用料最少，如何占地最小等等的问题，这里面就可以转化为求函数的最值问题另外，最值可分为最大值和最小值【技巧方法】 这种题的关键是把现实的问题转化为数学上的问题，具体的说是转化为函数最值问题，这里面需要同学们要具有转化思维，具有一定的建模能力，在很多高考题中也常常以大题的形式出现，所以务必引起重视这里我们以具体的例题来讲解12根据实际问题选择函数类型【基础知识】1实际问题的函数刻画在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容【技巧方法】常用到的五种函数模型：直线模型：一次函

11、数模型ykx+b（k0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型ykx（k0）反比例函数模型：y（k0）型，增长特点是y随x的增大而减小指数函数模型：yabx+c（b0，且b1，a0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b1，a0），常形象地称为指数爆炸对数函数模型，即ymlogax+n（a0，a1，m0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a1，m0）幂函数模型，即yaxn+b（a0）型，其中最常见的是二次函数模型：yax2+bx+c（a0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a0）在

12、以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等习题演练1 选择题（共12小题）1若，则“且”是“且”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件【答案】A【解析】因为且，所以根据同向正数不等式相乘得，根据同向不等式相加得，即成立，因此充分性成立；当时满足且，但不满足且，即必要性不成立；从而“且”是“且”的充分不必要条件，故选：A2已知二次函数，满足：对任意实数，都有，且当时，有成立，又，则为（ ）A1BC2D0【答案】B【解析】由条件对任意实数x，都有f（x）x，知f（2）2成立当x（1，3

13、）时，有成立，取x=2时，成立，f（2）=24a+2b+c=2f（2）=04a2b+c=0由可得，4a+c=2b=1，b=，故选B3已知函数，若，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】当时,因为，所以，即;当时0，即;当时，由图可知;综上的取值范围是，故选：D.4函数的图象A关于原点对称B关于直线y=x对称C关于x轴对称D关于y轴对称【答案】D【解析】，因为，所以为偶函数所以的图象关于y轴对称故选D.5函数的单调递增区间是ABCD【答案】D【解析】由>0得：x(,2)(4,+)，令t=，则y=lnt，x(,2)时,t=为减函数；x(4,+)时,t=为增函数；y=lnt为增函数，故

14、函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+)，故选D.6已知奇函数在上是增函数，若，则的大小关系为( )ABCD【答案】C【解析】由题意：，且：，据此：，结合函数的单调性有：，即.本题选择C选项.7若函数在区间内单调递增，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】解不等式，即，解得，内层函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，而外层函数在定义域上为减函数，由复合函数法可知，函数的单调递增区间为，由于函数在区间上单调递增，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.8已知函数则（ ）A对任意实数，方程无解B存在实数，方程有2个根C存在实数，方程有3个根D对任意实数，方程有1个根【答

15、案】B【解析】由题意，函数，作出函数的图象，如图所示: 设，则方程，即为，结合图象，可得当时，此时方程有两个根，其中，此时方程有1个根或2个根；当时，此时方程有两个根，此时方程没有实数根；当时，此时方程只有一个根，其中，此时方程没有实数根；当时，此时方程没有实数根，此时方程没有实数根.综合可得，存在实数，方程有2个根.故选：B.9已知函数为一次函数，若，有，当时，函数的最大值与最小值之和是（ ）A10B8C7D6【答案】D【解析】由题意，设一次函数，因为，可得，解得，所以，故的图象关于对称，又设，可得函数为单调递增函数，且，即，所以是奇函数，则，则，所以即为的最大值与最小值之和6.故选：D.1

16、0在直角坐标系中，函数的图象大致是（ ）ABCD【答案】A【解析】令，为奇函数可排除B，当时，且，故选：A.11若，则（ ）ABCD【答案】B【解析】由于函数在上是增函数，则由基本不等式可得因此，12方程的解所在的区间是（ ）ABCD【答案】C【解析】设，则由指数函数与一次函数的性质可知，函数与的上都是递增函数，所以在上单调递增，故函数最多有一个零点，而，根据零点存在定理可知，有一个零点，且该零点处在区间内，故选答案C.2 填空题（共6小题）13已知函数，则函数的所有零点所构成的集合为_.【答案】【解析】令，由，即或，解得或，当时，解得或；当由，解得，即函数的所有零点所构成的集合为.故答案为：

17、.14已知，则_【答案】【解析】解：因为，所以，故答案为：.15已知函数，则_【答案】【解析】因为，且，则.故答案为-216已知函数若，是互不相同的正数，且，则的取值范围是_【答案】【解析】先画出函数的图象，如图所示：因为互不相同，不妨设，且，而，即有，可得，则，由，且，可得，且，当时，此时，但此时b，c相等，故的范围为故答案为17已知函数，若关于x的方程有6个不同的实数解，且最小实数解为，则的值为_【答案】【解析】由题意，作出函数图象，如图所示：令，根据图象可知，关于x的方程有6个不同的实数解，可转化为关于t的方程有2个不同的实数解，且必有一个解为0，另一个解大于0，所以则，解为，所以，即所

18、以故答案为：18已知函数为奇函数，且的图象和函数的图象交于不同两点、，若线段的中点落在直线上，则实数的值为_.【答案】【解析】为奇函数，即，解得，经检验为奇函数，设，联立两个函数的方程，消去得到关于的二次方程，因为中点纵坐标为，所以，解得.故答案为：.三解析题（共6小题）19已知函数，且，（1）求，的值（2）判断的奇偶性（3）试判断函数在上的单调性，并证明（4）求函数的最小值【答案】（1）；（2）为偶函数；（3）在上为减函数，证明见解析；（4）2.【解析】解：（1）由已知，得，解得（2）由（1）可知任取，则，又的定义域为，所以为偶函数（3）在上为减函数，证明如下：任取，且，则因为，且，所以，从

19、而，故，即.所以函数在上为减函数（4）因为在上为减函数，且为偶函数，所以在上是增函数，所以当时，又因为在上为减函数，所以当时，从而对于任意的，都有，所以的最小值为220已知定义域为的函数是奇函数（1）求，的值；（2）用定义证明在上为减函数；（3）若对于任意，不等式恒成立，求的范围【答案】（1），；（2）证明见解析；（3）.【解析】解：（1）为上的奇函数，可得又（1），解之得经检验当且时，满足是奇函数 （2）由（1）得，任取实数、，且则，可得，且，即，函数在上为减函数； （3）根据（1）（2）知，函数是奇函数且在上为减函数不等式恒成立，即也就是：对任意的都成立变量分离，得对任意的都成立，当时有最

20、小值为，即的范围是21（1）已知函数的图像恒过定点A，且点A又在函数的图像上，求不等式的解集；（2）已知，求函数的最大值和最小值.【答案】（1）；（2），.【解析】（1）由题意知定点A的坐标为，解得.由得，.不等式的解集为.（2）由得令，则，.当，即，时，当，即，时，.22若函数f(x)满足f(logax)·(x)(其中a0且a1).(1)求函数f(x)的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x(，2)时，f(x)4的值恒为负数，求a的取值范围【答案】（1）见解析（2）2，1)(1,2【解析】 (1)令logaxt(tR)，则xat，f(t) (atat)f(x) (axax)(xR)f(x) (axax) (axax)f(x)，f(x)为奇函数当a1时，yax为增函数，yax为增函数，且0，f(x)为增函数当0a1时，yax为减函数，yax为减函数，且0，f(x)为增函数f(x)在R上为增函数(2)f(x)是R上的增函数，yf(x)4也是R上的增函数由