材料力学08弯曲变形PPT学习教案

1、会计学1材料力学材料力学08弯曲变形弯曲变形 2工程实例工程实例吊车大梁吊车大梁桥式起重机桥式起重机小车爬坡困难小车爬坡困难第1页/共44页 3顶针顶针尾架尾架第2页/共44页 4过量摩损轴轴目录电动机电动机轴轴（定子定子）（转子转子）SHAFT第3页/共44页 5离心泵齿轮泵叶轮叶轮叶片叶片泵壳泵壳GEAR WHEEL第4页/共44页 6wx1 挠曲近似微分方程挠曲近似微分方程一一. 挠度和转角挠度和转角挠度转角关系挠度转角关系： tan截面形心截面形心 x 方向位移极微小方向位移极微小, 忽略不计忽略不计(小变形小变形)（连续光滑（连续光滑)弯曲前后，横截面始终垂直于轴弯曲前后，横截面始终

2、垂直于轴线线 （ 导数之几何意义导数之几何意义 ）1转角转角2 截面绕中性轴转过的截面绕中性轴转过的 角度角度. 截面形心的竖向位移截面形心的竖向位移, 挠度挠度w 挠曲线挠曲线截面间夹角轴线间夹角截面间夹角轴线间夹角)x(fdxdw,顺时顺时为正为正向下向下为正为正.)(xf（ Approximately differential Equation for Deflection Carve ）DeIlection and slope第5页/共44页 7 曲率曲率 -曲线曲线 微分关系微分关系：略去高阶小量略去高阶小量22dxwd1 二二.挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程zEIxMx)()

3、(1 (考虑全梁各个截面考虑全梁各个截面)z22EI)x(Mdxwd 23222)(1dxdwdxwd wxo 中性层中性层 曲率半径曲率半径 1022 dxwdM(x) 0号号与与坐标坐标取向、取向、 有关有关弯矩符号弯矩符号规定规定zEI)x(Mdxwd22二阶挠曲近似微分方程二阶挠曲近似微分方程第6页/共44页 82 积分法求梁位移积分法求梁位移挠曲线近似微分方程：挠曲线近似微分方程：dxdwEIz)x(MdxwdEIz 22再积分一次再积分一次 挠度方程挠度方程：wEIz二阶线性非齐次二阶线性非齐次 逐次积分，降阶逐次积分，降阶积分一次积分一次 转角方程转角方程： zEI dxxM)(

4、dxdx)x(Mz22EI)x(MdxwdCx D（ Determine Displacements by Method of lntegration )C 第7页/共44页 92 2 积分法积分法 积分常数由梁积分常数由梁支承条件支承条件和和连续条件连续条件确定确定：0 Aw0 Aw0 A AwARALww（-弹簧变形）弹簧变形）AL 裂裂ARAL 断断ARALww ALw支承条件支承条件1 连续条件连续条件2AAAAAARwAR 分界点A 第8页/共44页 10ABqCqLF21 wxL21L21 例例1 求转角和挠度方程，并求最大转角和求转角和挠度方程，并求最大转角和 挠度挠度 )x(M

5、dxwdEI22（ ）dxdwEI EIw（梁梁EI已知已知）Fx1）列挠曲微分方程列挠曲微分方程解解3）定积分常数）定积分常数支承条件支承条件0)L(w20)(2 L 连续连续 条件条件 )2(1L )2(1Lw1221CFx 232)2(6121CLxqFx2)2(21LxqFx2243)2(24161DxCLxqFx11361DxCFx1x2x2）积分）积分)2(2L )2(2Lw代入代入第9页/共44页ABqCqLF21 wxL21L214）转角方程和挠度方程转角方程和挠度方程5）最大转角和最大挠度最大转角和最大挠度3214813qLCC42138471qLDDAww maxA max

6、 EIw4343384714813)2(24161qLxqLLxqFx 43338471481361qLxqLFx 1）各段）各段M(x)按同一侧算；按同一侧算；若遵循若遵循：各积分各积分 常数常数 将两两将两两 相等相等2）积分时均不打开括号）积分时均不打开括号 （ x a ）A Aw34813qLEI 438471qLEI32481321qLFx 43238471)2(6121qLLxqFx EI第10页/共44页 12aACFxwBb*例例2 求梁转角方程和挠度方程，并求最大转角和挠度求梁转角方程和挠度方程，并求最大转角和挠度 （EI已知，已知，l = a + b，a b ）解解1）求反

7、力（整体平衡）求反力（整体平衡）,分段分段：2）弯矩、微分方程并积分弯矩、微分方程并积分22dxdwEI)x(EIdxdwEI111 3）定积分常数定积分常数1EIw2EIw)x(MdxwdEI12112(1)x(MdxwdEI22222)()(21aa )a(w)a(w21 连续连续条件条件0)0(1 w支承支承条件条件,axx 211x2xlFa02 )(lwlFb1xlFb（2）)ax(FxlFb22(1)1212CxlFb （2）2222)(222CaxFxlFb (1)111316DxCxlFb （2）222323)(662DxCaxFxlFb 第11页/共44页 134）转角方程和

8、挠度方程转角方程和挠度方程代入解出代入解出)bl(lFbCC22216 021 DD1EI 2EI 3122116)(6xlFbxbllFbEIw 32322222)(66)(6axFxlFbxbllFbEIw ab1x2xACDFxw1）各段）各段M(x)按同一侧算；按同一侧算；若遵循二若遵循二规律规律 ：可得各积分常数可得各积分常数两两两两 相等相等2）积分时均不打开括号）积分时均不打开括号（ x a ）)(622221bllFbxlFb )(6)(22222222bllFbaxFxlFb B第12页/共44页 145）最大转角和挠度最大转角和挠度)(6maxalEIlFabB ,blx3

9、22 )0dxd(2 令令, lx 分析分析 wmax 位置位置：结论：结论： 对简支梁，荷载作用点对对简支梁，荷载作用点对 w max 位置影响不大位置影响不大. maxwb= 0, b=l/2, 其余当在二者之间；其余当在二者之间；且且wmax与跨中与跨中 w 相比误差不超过相比误差不超过3 BFmaxwwabACxFFx=0.5l .x=0.577l ;0dxdw1( 令令 )ax(FxlFbdxwdEI2222221EI )(622221bllFbxlFb 不论荷载作用在何处（只要同向），均可认为不论荷载作用在何处（只要同向），均可认为w max 发生在跨中发生在跨中( 用跨中用跨中

10、w 代替代替 ) 第13页/共44页 15（2I）（I）F（I）L/4L/4L/4L/41）反力反力2）弯矩、微分方程、弯矩、微分方程、 积分（分段积分（分段）对称对称 (荷载、几何尺寸、支承荷载、几何尺寸、支承)，)x(MdxwdEI212222)2(dxwdIE dxdwEI2)x(EIdxdwEI11 1EIw223224DxCxFEIw （2）3）定积分常数定积分常数连续连续条件条件)4()4(21LL )4()4(21LwLw )2(2L )0(1w支承支承条件条件求求w2 2 积分法积分法 例例3 解解F/2(1)Fx21 （2）Fx21 (1)1241CFx （2）281CFx

11、(1)11312DxCxF xx0 0 本问题仅算一半即可本问题仅算一半即可第14页/共44页 16211285FLC 01D327681FLD 22321FLC 可解出可解出2 2积分法求梁变形积分法求梁变形讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？积分法求变形有什么优缺点？弯曲位移第15页/共44页 173 叠加法求梁位移叠加法求梁位移 若干个载荷若干个载荷共同共同作用产生的位移作用产生的位移（挠度或转角）（挠度或转角），（变形叠加原理）（变形叠加原理） 载荷较多时，积分法计算繁杂载荷较多时，积分法计算繁杂叠加法叠加法较简便较简便若干个载荷（若干个载荷（包括外力偶、分布力包括外力偶、分布力）作用

12、时，）作用时，小变形，材料线弹性小变形，材料线弹性 M 与与F 成正比成正比（ w、 ）是荷载是荷载（ F 、 m、 q ）的一次的一次（线性线性）函数函数线性函数的线性函数的叠加原理叠加原理各载荷单独作用产生的位移各载荷单独作用产生的位移彼此独立，互不影响彼此独立，互不影响（ 各简单荷载下梁的各简单荷载下梁的 w、 P 208 表表 ）等于各载荷分别等于各载荷分别单独单独作用位移的作用位移的代数和代数和待定积分常数较多待定积分常数较多（n段段2n个常数个常数）（Determine Displacements by Method of Superposition）第16页/共44页 18梁受力

13、如图，梁受力如图， q、l、EI 均已知均已知, 求求C 截面挠度截面挠度wC ；B截面转角截面转角B1）载荷分解载荷分解2）查表得三种情形查表得三种情形下下wC 、 BEIqlB2431 EIqlB1632 EIqlB333 EIqlwC384541 EIqlwC4842 EIqlwC1643 解解321BBBB 321CCCCwwwwqlql/2ABCl/2ql2qql1B l/2ABCl/2wC1l/2ABCl/2wC22B l/2ABCl/2wC33B wx例例1ql2第17页/共44页 1931iCiCww3） 叠加，叠加， 将各载荷作用结果求和将各载荷作用结果求和 31iBiB q

14、lql/2ABCl/2ql2qqlql21B l/2ABCl/2wC1l/2ABCl/2wC22B l/2ABCl/2wC3wx)(48113EIql EIqlEIqlEIql31624333 )(384114EIql EIqlEIqlEIql16483845444 第18页/共44页F1)B2)ABqC解解F = qa悬臂梁受力如图示悬臂梁受力如图示, q、l、EI均已知均已知. .求求B B截面转角、挠度截面转角、挠度 , ,BwB 梁上载荷分成梁上载荷分成 1） 2） AC变形变形不受不受BC影响影响（自由且无外力自由且无外力）查表查表1）EIqac632 BC本身无变形本身无变形222

15、CCBaww EIqa842）EIqa32 EIqa384 EIPlB221 EIPlwB331 2cw2c 2Ca 2Bw分两段分析分两段分析：EIqa2474但有但有刚体位移刚体位移（随随C刚体转动刚体转动）3）叠加叠加 21iBiB 21iBiBwwEIqa6133 EIqa24714 qaaABC2B a )EIqa(63（ 无无M/零曲率零曲率）,第19页/共44页F=qaaDaaBAq解解叠加法求叠加法求 , ,DwB先将载荷分成情形先将载荷分成情形 1、2 DBAF1)qDBA2) 挑臂对内跨变形无影响挑臂对内跨变形无影响1）EIFlB1621 aw1B1D 2） 2B awBD

16、 22 3）叠加叠加 EIqawwiDiD245421 EIqaiBiB12321 BD位移由两部分组成位移由两部分组成：2Dw+ 自身自身变形（变形（形似悬臂形似悬臂）EIqa84 EIqa24114 挑臂挑臂随内跨作随内跨作刚体转动刚体转动EIqa43 EIqa44 1B 2B EIqa331Dw第20页/共44页 22DBAq2）EImlB32 讨讨 论论: :叠加法求变形有什么优缺点？qa2qam2a2B aaaEIqa33 第21页/共44页 23qL/2L/2ABCbdb求求wc 分布力可看作无数微力的组合分布力可看作无数微力的组合.解解1）分解分解b)L(LEIL)L(b )qd

17、b(L22220262 2）叠加叠加Cbqdbx（note：x为位移为位移点的坐标）点的坐标）)bxL(EILFbx2226 qdb引起的引起的C截面位移为：截面位移为：b)/L(LEIL)/L)(qdb(222262 Cwdb)bL(EIqbL22204348 qdb该微段该微段qdb看作集中力看作集中力:距距B端为端为b处取微分长度处取微分长度 db,Cdw2LxCdw2L0EIqL47685 第22页/共44页 244 弯曲超静定弯曲超静定一一. 概念和基本方法概念和基本方法：超静定超静定梁梁：梁支反力数目梁支反力数目有效平衡方程数目有效平衡方程数目多余多余约束约束：超静定超静定次数次数

18、：从维持平衡而言不必要的约束从维持平衡而言不必要的约束反力数平衡方程数反力数平衡方程数LLqABDL多余约束多余约束/反力数反力数 说明：说明：多余约束多余约束/力数目是定值力数目是定值, 多余约束则可有多种选择多余约束则可有多种选择BFaaAXAYAMA( Simple Statically Indeterminate Beam )第23页/共44页 25加顶针、中心架、尾架，跟刀架加顶针、中心架、尾架，跟刀架中心架中心架刀座刀座尾架尾架顶尖顶尖车床车床超静定梁实例超静定梁实例第24页/共44页 26奉浦大奉浦大桥桥 超静定梁实例超静定梁实例大跨度预应力大跨度预应力 连续梁连续梁 桥桥 第2

19、5页/共44页 270BRBFBww)()(2）列出位移条件（变形协调条件）列出位移条件（变形协调条件）求梁内力图，梁抗弯刚度为求梁内力图，梁抗弯刚度为EIEI。RBF1）选多余约束解除，用相应反力代替）选多余约束解除，用相应反力代替EIFawFB3)(3EIaRwBRB3)2()(3 判定超静定次数判定超静定次数BFaaA3）力）力位移关系位移关系0BwFBw )(RBw )(EIFaaEIFa65232 FRB（相当系统）（相当系统）(几何方程几何方程)( P 208表表2 )EIaRB383 第26页/共44页 28由整体平衡求其他约束反力由整体平衡求其他约束反力 ),(83FaMA代入

20、几何方程解出未知反力代入几何方程解出未知反力)(165 FRB一当一当RB求出后，以后即为静定问题求出后，以后即为静定问题求解方法回顾求解方法回顾83165M(Fa)(无支座无支座B时时M 图图)1选多余约束去除，代以相应反力（相当系统选多余约束去除，代以相应反力（相当系统 ）比较变形比较变形，列位移条件列位移条件（变形协调条件）（变形协调条件）由力由力-位移关系解位移方程位移关系解位移方程求解求解多余未知力多余未知力123（其它反力可由平衡条件求出）（其它反力可由平衡条件求出）)(1611FRABFaaA0386533 EIaREIFaBAMF165AR第27页/共44页 29（选（选A端转

21、动约束作多余约束）端转动约束作多余约束） 此时相应此时相应静定静定结构为结构为简支梁简支梁,超静定梁超静定梁相应相应多余多余未知力为未知力为约束力偶约束力偶（多余未知力多余未知力）MA本例也可选其它本例也可选其它约束为约束为多余约束多余约束BFaaA位移条件位移条件（变形协调条件）：（变形协调条件）：0A 变形条件应与去除的约束相对应变形条件应与去除的约束相对应BFaaAFA)(MA)(0第28页/共44页 30LLqABLqABD例例1 梁梁AB 和吊杆和吊杆 在在D处铰接，梁抗弯刚度处铰接，梁抗弯刚度EI ，杆抗拉刚度，杆抗拉刚度EA，1）可看可看杆作多余约束杆作多余约束2 2）位移条件：

22、）位移条件：)IAL(qALF64523 解解EAFLL FFFD)FLqL(EI6245134FqDwww Dw( P 209表表7、9 )wD二二. 算例算例：438)(2514LqEI48(23）LF求吊杆受力求吊杆受力从从D D 处拆开，梁杆分离处拆开，梁杆分离L 第29页/共44页 31写出下列梁的变形条件写出下列梁的变形条件两梁彼此两梁彼此互为约束互为约束，每一梁除固端外有圆柱约束，每一梁除固端外有圆柱约束超静定超静定去除圆柱约束去除圆柱约束超静定结构成为两悬臂梁。超静定结构成为两悬臂梁。注意注意： WD1 是否仅为F F 引起？21DDww 变形条件：变形条件：DRDFD1Dw2

23、Dw（主梁）（辅梁）L/2L/2F1.ABDC（二梁始终以圆柱相接，位移相等）（二梁始终以圆柱相接，位移相等）第30页/共44页 32BDww变形条件：变形条件：FF去除去除连杆约束连杆约束使原结构变成两个悬臂使原结构变成两个悬臂梁梁FPDBDwBwLL/2L/2P2.DABCEAFLL 两梁都受连杆约束，每一梁除固端外还有连杆约束两梁都受连杆约束，每一梁除固端外还有连杆约束超静定超静定4 4超静定梁超静定梁)L()L(P)L(PEI22232123 EIFL33 FDpDD)w()w(w)FP(EIL34853 EIFLwB33 L 第31页/共44页 33一一.刚度条件刚度条件,wwmax

24、建筑钢梁的许可挠度：建筑钢梁的许可挠度：1000l250l机械传动轴的许可转角：机械传动轴的许可转角：30001精密机床的许可转角：精密机床的许可转角：500015 梁刚度条件梁刚度条件 提高刚度措施提高刚度措施maxStiffness Condition of BeamRational Design of Beam for Stiffness第32页/共44页 341）由挠度表中查）由挠度表中查B 处转角：处转角： EIFlaB3 解解2）由刚度条件定轴径：）由刚度条件定轴径： B 1803EIFla EFladI3180644 111mmm1011150102063180121020643

25. EFladalCBAdF例例 已知钢制圆轴左端受力已知钢制圆轴左端受力 F20 kN，al m，l2 m，E=206 GPa。 轴承轴承B处许可转角处许可转角 =0.5 根据刚度要求确定轴直根据刚度要求确定轴直d根据要求轴须有足够刚度，保证轴承根据要求轴须有足够刚度，保证轴承B 处转角不超过许用数值处转角不超过许用数值 第33页/共44页 35二二.提高梁刚度的措施提高梁刚度的措施1）截面形状合理，提高抗弯刚度）截面形状合理，提高抗弯刚度截面积一定前提下惯性矩截面积一定前提下惯性矩I尽可能大尽可能大EIFlwn 风电 塔筒第34页/共44页 362）受力合理，减小跨

26、度）受力合理，减小跨度改变支座形式改变支座形式maxwnqL5 5刚度条件及提高措施刚度条件及提高措施0.6L0.2L0.2Lq1/40LqL/3P/2P/2P=qLL/2L/21/41/61/8第35页/共44页 37大型载重列车大型载重列车大跨度预应力大跨度预应力 连续梁连续梁 桥桥 增加支承增加支承超静定超静定第36页/共44页 38丝杠丝杠进给轴进给轴尾架尾架顶尖顶尖主轴主轴刀座刀座5 5刚度条件及提高措施刚度条件及提高措施车床车床中心架中心架刀座刀座顶尖顶尖第37页/共44页 39小结小结1 1、明确挠曲线、挠度和转角的概念、明确挠曲线、挠度和转角的概念2 2、掌握计算梁变形的积分法和叠加法、掌握计算梁变形的积分法和叠加法3 3、学会用变形比较法解简单超静定问题、学会用变形比较法解简单超静定问题第38页/共44页Thanks!到此处才行一步；望诸君莫废半途。 遵道而行，但到半途须努力；会心不远，欲登绝顶莫辞劳。 第39页/共44