第5章--留数理论及应用1

1、2021/2/611.1.解析函数的孤立奇点解析函数的孤立奇点: :设函数f(z)在去掉圆心的圆盘)0(|0:0RRzzB内确定并且解析,那么我们称 为f(z)的孤立奇点。在D内,f(z)有洛朗展式0z,)()(0nnnzzzf其中,.)2, 1, 0( ,)()(2110Cnnndzfi 是圆).0(|0RzzC的非孤立奇点为的点，则称以外的不可导总可以找到除的无论多么小的邻域内若在)(000zfzzz2021/2/62孤立奇点的分类孤立奇点的分类可去奇点可去奇点: :一般地,对于上述函数f(z),按照它的洛朗展式含负数幂的情况,可以把孤立奇点分类如下:（1）、如果当时n=-1,-2,-3,

2、0n那么我们说 是f(z)的可去奇点,或者说f(z)在 有可去奇点。0z0z这是因为令 ，就得到在整个圆盘 内的解析函数f(z)。00)(zfRzz|0的可去奇点是例如：zzzsin02021/2/63孤立奇点的分类孤立奇点的分类- -极点极点: :（2）如果只有有限个（至少一个）负整数n,使得, 0n那么我们说 是f(z)的极点。0z设对于正整数m, 0m而当n1,我们也称 是f(z)的单极点或m重极点。0z0z)(lim)(00zfzfzzz的极点，则：为如果2021/2/64孤立奇点的分类孤立奇点的分类本性奇点本性奇点: :（3）如果有无限个整数n0,使得0n那么我们说 是f(z)的本性

3、奇点。0z是函数的一级极点。是函数的一个三级极点来说，例如：有理分式函数izzzzzzf1) 1)(1(2)(322021/2/65总结以上论述: 0分别是zezzzz12,sin,sin的可去奇点、单极点及本性奇点。2021/2/662.函数的零点与极点的关系级零点。的称为为一正整数，那么处解析，且在其中如果能表示成：不恒等于零的解析函数mzfzmzzzzzzzfzfm)(, 0)()()()()()(0000的一级和三级零点。分别是函数和例如：3) 1()(10zzzfzz0)(, ) 1.2 , 1 , 0(, 0)()()(0)(0)(00zfmnzfmzfzzzfmn是：级零点的充分

4、必要条件的为处解析，那么在结论：如果级零点。反之亦然的就是级极点，则的是定理：如果mzfzmzfz)(1)(00方法极点提供了一个简便的这个定理为判断函数的2021/2/675.函数在无穷远处的形态的孤立奇点。为那么称点内解析，的去心邻域在无穷远点如果函数)()(zfzRzzf的变换去心邻域平面原点的到的去心邻域平面上则实现了作变换RttzRzzt10,1)()1()(ttfzf的孤立奇点。是内是解析的，所以在去心邻域显然，)(010)(ttRtt级极点或本性奇点。的可去奇点，是就称么级极点或本性奇点，那的可去奇点，是我们规定：如果mzfzmtt)()(02021/2/685.2 留数定理 2

5、021/2/691.留数的定义及留数定理2021/2/610)()()()()()(Re0)()()()()()(0000000lim0zQzPzQzPzzzsfzPzQzzzPzQzPzfzz罗毕达法则则：，从而是的一阶极点，的一阶零点。是点解析，和都在的形式，其中可以表示为若（6）留数的计算. 22021/2/611121200010100( )()()()();(0)()mmmmmaaaf zzzzzzzaaa zzazz（2）m阶极点情况2021/2/612解:11111(1)11limlimlim1(1)nnnzzzzzzznzn洛必达法则1( )(1)nf zz11Re( )zsf

6、 zn说明z1是的一阶极点,且留数2021/2/613znsinz( )f z()1Res ( )limlim( 1)sin(sin )cosnz nznznznznf zzzn 解:是的一阶零点（注）,是的一阶极点,有2021/2/614解:5333221( )4(2 )(2 )(2 )zizif zzzzzi zizzi2zi( )f z332221Res (2 )limlim(2 )8ziziziifizziz（1）是的一阶极点:0z ( )f z（2）是的三阶极点:2021/2/615232303001Res (0)lim2!(2 )1112lim ()lim2!22(2 )8zzzdzfdz zziizizi 方法2根据公式（8）,m3有2021/2/6163.在无穷远点的留数l定理二:( )f z( )f z 若在复平面上有孤立奇点，则的所有奇点（包括无限远点）留数之和为零。 0 ,1)1(Re),(Re)3(2zzfszfscdzzfizfs)(21),(Re证明：dfiredr