山财自考37线性代数考核作业(已填好答案)

1、线性代数（经管类）综合试题一（课程代码 4184 ）一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1. 设 D=M0，则 D1=(B)A.2MB.2MC.6MD.6M2. 设 A、B、C 为同阶方阵，若由 AB = AC 必能推出 B = C，则A应满足(D)A. AOB. A=OC.| A|=0D.| A|03.设 A，B 均为 n 阶方阵，则( A)A.| A+AB|=0 ，则 |A|=0 或|E+B|=0 B.(A+B) 2=A2+2AB+B2C.当 AB=O

2、时，有 A=O或 B=OD.( AB) -1 =B-1 A-14.二阶矩阵A，则-1=( B)|A|=1AA.B.C.D.，则下列说法正确的是 ( B ) A. 若两向量组等价，则s = t .精选文库B. 若两向量组等价，则r() = r()C.若 s = t，则两向量组等价 .D.若 r() = r()，则两向量组等价 .6. 向量组线性相关的充分必要条件是( C )A.中至少有一个零向量B.中至少有两个向量对应分量成比例C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示D.可由线性表示7. 设向量组有两个极大无关组与，则下列成立的是 ( C )A.r 与 s 未必相等B. r + s = mC.

3、r= sD.r + s > m8.对方程组 Ax = b 与其导出组 Ax = o，下列命题正确的是 ( D )A. Ax = o 有解时， Ax = b 必有解 .B. Ax = o 有无穷多解时， Ax = b 有无穷多解 .C. Ax = b 无解时， Ax = o 也无解 .D. Ax = b 有惟一解时， Ax = o 只有零解 .9. 设方程组有非零解，则k = (D)A.2B.3C.-1D.110.n 阶对称矩阵 A 正定的充分必要条件是 ( D ) A. |A|>0B. 存在 n 阶方阵 C 使 A=CTC2精选文库C.负惯性指标为零D. 各阶顺序主子式均为正数二、

4、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11. 四阶行列式 D 中第 3 列元素依次为 -1，2，0，1，它们的余子式的值依次为5，3，-7，4，则 D =-1512. 若方阵 A 满足 A2= A，且 ，则|A|=0 .A E13.若 A为 3阶方阵，且，则|2A|=414.设矩阵的秩为 2，则 t =-315.设向量( 6，8，0) ， =( 4，3，5) ，则(, ) =0 16.设 n 元齐次线性方程组 Ax = o，r(A)= r < n，则基础解系含有解向量的个数为n-r 个.17.设 ( 1，1，0) ，

5、(0 ，1，1) ， =( 0，0，1) 是 R3 的基，则=( 1，2，3) 在此基下的坐标为 （1,1,2）18.设 A 为三阶方阵，其特征值为 1，-1，2，则 A2 的特征值为1,1,4 .19. 二次型的矩阵A=2202310113精选文库20. 若矩阵 A 与 B=相似，则 A 的特征值为1,2,3三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分）21. 求行列式的值1x1111x111解：11x11=xx00111y1111 y11111y00yy1x100x000=xy1100 =xy 1100 =x2y2001y 100y00011001122.解矩阵方程：.1112

6、解：令 A= 211，B= 31116111100因为（AE）=2 110101110011111000312100021011000110113333010111，所以 A 1=11123623600111101022224精选文库1103321由 AX=B,得 X=A 1 B= 1113= 3236621012223. 求向量组=( 1, 1, 2, 3 ) ，=( 1,1, 1, 1 ) ，=(1, 3, 3,5 ) ，=( 4,2, 5, 6 ) 的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.解：将已知向量按列构成矩阵，并对其进行行变换：rrrr（12341114111

7、4） = 0026 00260113031300260426111411141007 0026 0113 0100011300130013002600000000rrrr），极大无关组为1 ，2 ，3； 413所以， r （ 1234=7-3=324. a 取何值时，方程组有解？并求其通解（要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示）.解：对方程组的增广矩阵施以初等变换：5精选文库2111112142A = 1214 2 05 37317411 a053 7a 212142 05 3730000a 5若方程有解，则r( A)=r （A），故 a=5当 a=5 时，继续施以初等行变换得：1 6 4

8、1 05 5 5A 01373, 原方程组的同解方程组为：55500000x 141 x36 x4x 3 =x4 =0 得原方555，x 3 ,x 4 为自由未知量，令x 233 x37 x455545x 1163x3x4程组的一个特解：与导出组同解的方程组为：55375x 20x 3x 4550x 3 ,x 4 为自由未知量，令x3x 46精选文库分别取1 ， 0 ，得到导出组的基础解系：01416555方程组的全部解为 v= 3 +c 13+c 27, 其中55501000116553，7，所以，551001c 1 ，c 2 为任意常数。25. 已知,求 A 的特征值及特征向量，并判断A能

9、否对角化，若能，求可逆矩阵P，使 P 1AP =（对角形矩阵）解：矩阵 A的特征多项式为：200E A =121=(2)2(1)101所以， A 的特征值为 :122, 31对于 :122 ，求齐次线性方程组( 2E A)xO 的基础解系，000101012E A101000, 得基础解系： 1, 0, 从而矩阵 A1010000101的对应于特征值 122 的全部特征向量为： c1 1c 0c1, c2 不012全为零。7精选文库对于 31 ，求齐次线性性方程组（E-A） x=O 的基础解系，1001000E A111011 ，得基础解系：1，从而矩阵 A10000010的对应于特征值 31

10、 的全部特征向量为： c 1c01010因为三阶矩阵 A 有三个线性无关的特征向量1， 0， 1，所011010200以， A相似于对角矩阵，且 P101,02001100126. 用配方法将下列二次型化为标准形：解： f ( x1 , x 2 , x 3 )x 122x22x324x 1x 24x 1x 34x 2x 3= x 124x 1( x 2x 3 )4( x 2x 3 )24( x 2x 3 )22x 22x 324x 2x 3= ( x 12x 22x 3 ) 22x 224x 2x 35x 32=(x 12x 22x 3) 22(x22x 2x 3x2 )3223x 3= (

11、x 12x 22x3 )22( x 2x 3 )23x 32y 1x 12x 22x 3x1y 12y 2令y 2x 2x 3，即 x 2y 2y 3y 3x3x 3y 38精选文库得二次型的标准型为：y122y 223y 32 .四、证明题（本大题共6 分）27. 设向量，证明向量组是 R3 空间中的一个基 .110110证：因为1100202 0，所以1, 2 , 3 线性无关，111001所以向量组 1,2,3 是 R3 空间的一个基。线性代数（经管类）综合试题二（课程代码 4184 ）一、单项选择题（本大题共10 小题，每小题2 分，共 20 分）9精选文库在每小题列出的四个备选项中只

12、有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.若三 阶行 列 式=0,则k=(C).A1B0C-1D-22.设 A、B 为 n 阶方阵 ,则成立的充要条件是(D).AA 可逆BB 可逆C| A|=| B|DAB=BA3.设 A是 n 阶 可 逆 矩 阵 ,A*是 A的伴随矩阵, 则( A).ABCD4.矩 阵的 秩 为2 ， 则 =( B).A2B1C0D5.设 3×4 矩阵 A 的秩 r ( A)=1 ，是齐次线性方程组 Ax=o 的三个线性无关的解向量， 则方程组的基础解系为( D).ABCD6.向量线性相关 ,则( C ).10精选文库Ak

13、 =-4Bk = 4Ck =-3Dk = 37. 设 u1, u2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个解 ,若是其导出组 Ax=o 的解 ,则有(B).Ac1+c2 =1Bc1= c2Cc1+ c2 = 0Dc1= 2c28.设A为2阶方阵，且 2=E，则必有(B).n( n)AA A 的行列式等于 1 B A 的秩等于 nCA 的逆矩阵等于 E DA 的特征值均为 19. 设三阶矩 阵 A的特征值为2, 1,1 ， 则 A-1的特征值为(D).A1, 2B2, 1, 1C ,1D ,1, 110.二次型是(A).A 正定的B半正定的C负定的D不定的二、填空题（本大题共 10 小题，每小题

14、2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11.=_5_12. 设 A 为三阶方阵 , 且|A|=4，则 |2A|=_32_11精选文库13.设A=, B =,则ATB110=_110_041014.设A=, 则 A-1 =_221 _515. 向量表示为向量组的线性组合式为_e1e2e3 _2516. 如 果 方 程 组有 非 零 解 ,则k=_-1_17. 设向量与正交，则 a =_2_18. 已知实对称矩阵 A=, 写出矩阵 A 对应的二次型_f ( x 1, x 2 , x 3 )x 122x223x32x1x 2 3x 1 x3 _已知矩阵A与对角矩阵

15、相似，则 2=_E_19.=A20. 设实二次型的矩阵 A 是满秩矩阵，且二次型的正惯性指数为 3，则其规范形为 _ y12y 22y 32y 42 _12精选文库三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分）21. 计算行列式的值 .x3yyyy1yyy解：原式 = x3yxyy=( x3y )1xyyx3yyxy1yxyx3yyyx1yyx1yyy=( x 3y ) 0xy0y0= ( x3y )( xy )300x0000xy22. 设矩阵 A=，B=，求矩阵 A-1 B .1101111011解：（ AB）=1 2102011132232100141311011110029

16、01031001031000141300141329A 1B31041313精选文库23. 设矩阵，求 k 的值，使 A 的秩 r ( A) 分别等于1，2，3.解：对矩阵 A 施行初等变换：123k123kA1 2k302k23k 3k2302k23 3k 2123k123k02k23k30k 1k 1006 3k 3k 200( k 2)( k 1)123当 k=1 时， A000，矩阵 A 的秩 r （A）=1；000126当 k=-2 时， A033，矩阵 A 的秩 r （A）=2；000123k当 k1且 k2时，A011，矩阵 A的秩 r （A）=3.00124. 求向量组的秩和一

17、个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：将所给列向量构成矩阵A，然后实施初等行变换 :14精选文库111211121112(1234012201221234)3710026800241141320031218001211121002012201020012001200000000所以，向量组的秩 r (1,2 ,3,4 )3 ，向量组的一个极大无关组为： 1,2 ,3,且有42 12 22 3 .25. 求线性方程组的基础解系，并用基础解系表示其通解 .解：对方程组的系数矩阵（或增广矩阵）作初等行变换：122312231223A2312013401341357013400

18、0010450134000015精选文库与原方程组同解的方程组为 : x14x35x 4 , 其中 x 3 ,x 4 为自x 23x 34x4由未知量。45令 x 3分别取 1， 0得基础解系： v 13,v 24x 401100145方程组的通解为： c1v 1 c2v 2c13c 24 . （c 1 ，c 2 为任意常1001数）26. 已知矩阵，求正交矩阵P 和对角矩阵，使P-1 AP=.解：矩阵 A 的特征多项式为：111E A1112111得矩阵 A 的所有特征值为 :1230,33对于120 ，求方程组 ( 0EA)xO 的基础解系。16精选文库1111111110 0 0，得基础

19、解系为：1110001111,20，01将此线性无关的特征向量正交化，得：11112261,1，再标准化，得： 111，122,26021026对于33 解方程组 ( 3E A)xO2111011121011，方程组的基础解系为31 ，112000113将其单位化，得1，3313111263000令 P1,2,3111,00026300302163则 P 是正交矩阵，且P 1 AP=17精选文库27. 设向量组线性无关，证明：向量组也线性无关 .证：令k1 1k2(12 )k3(123 )ks(12s )0整理得：k1k2ks1( k 2k 3k s ) 2kss0因为 1,2 ,s 线性无关

20、，所以k1 k2ks 1ks0k10k2k3ks0k20解得 :ks 1ks0ks 10ks0ks0故1,12,12312s 线性无关。线性代数（经管类）综合试题三（课程代码 4184 ）一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的， 请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.当( D)成立时，阶行列式的值为零 .A. 行列式主对角线上的元素全为零18精选文库B.行列式中有个元素等于零C.行列式至少有一个阶子式为零D.行列式所有阶子式全为零2.已知均为 n 阶矩阵， E 为单位矩阵，且满足ABC=E，则下

21、列结论必然成立的是(B ).A. ACB=EB. BCA=EC. CBA=ED. BAC=E3.设 ， 均为n阶可逆矩阵，则下列等式成立的是(D ).A BA. ( AB) -1 =A-1 B-1B.( A+B) -1 =A-1 +B-1C. ( AB) T=ATBTD.4. 下列矩阵不是初等矩阵的是 ( B).A.B.C.D.5.设是4维向量组，则(D).A. 线性无关B. 至少有两个向量成比例C.只有一个向量能由其余向量线性表示D.至少有两个向量可由其余向量线性表示19精选文库6. 设 A 为 m×n 矩阵，且 m<n，则齐次线性方程组Ax = o 必(C ).A.无解B.

22、只有唯一零解C.有非零解D.不能确定7. 已知 4 元线性方程组 Ax=b 的系数矩阵 A 的秩为 3，又是 Ax=b 的两个解 ,则 Ax=b 的通解是(D).A.B.C.D.8. 如果矩阵 A与 B满足( D ) ，则矩阵 A与 B相似.A. 有相同的行列式B. 有相同的特征多项式C.有相同的秩D.有相同的特征值 , 且这些特征值各不相同9. 设 A是 n 阶实对称矩阵，则 A是正定矩阵的充要条件是( D) .A. | A|>0B.A 的每一个元素都大于零C.D. A 的正惯性指数为n10. 设 A，B 为同阶方阵，且 r ( A) = r ( B) ，则(C ) .A. A与B相似

23、B.A与B合同C. A 与 B 等价D.|A|=| B|二、填空题（本大题共10 小题，每小题 2 分，共 20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。20精选文库11. 行列式24.12. 设 A 为三阶矩阵， | A|=-2 ，将矩阵 A 按列分块为，其中是 A 的第 j列，, 则|B|=6.13.已知矩阵方程 AX=B，其中 A=，B=，则 X=11.1214.已知向量组的秩为2，则 k =-2.15.向量的长度=15.16.向量在基下的坐标为34 3.17. 设是 4 元齐次线性方程组 Ax=o 的基础解系，则矩阵 A的秩 r ( A)=1.18. 设是三阶矩阵 A的

24、特 征 值 ，则 a =1.19. 若是正定二次型，则满足5.21精选文库20. 设三阶矩阵 A 的特征值为 1,2,3，矩阵 B=A2+2A, 则|B|=360.三、计算题（本大题共6 小题，每小题9 分，共 54 分）21. 设三阶矩阵 A=，E 为三阶单位矩阵 .求： (1)矩阵 A-2 E 及| A-2 E| ；(2).300200100解：（1）A 2E110010110123002121A 2E1100100100100110010010110121001021101(2)100100010110001121100(A 2E) 111012122. 已知向量组求： (1) 向量组的

25、秩；(2) 向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示 .22精选文库解： (1) 将所给向量按列构成矩阵A，然后实施初等行变换 :121012101202240400240012243200120000所以，向量组的秩r (1,2 ,3,4 )2 ，向量组的一个极大无关组为：1,3，且有221,4212323. 讨论 a 为何值时，线性方程组有解？当方程组有解时，求出方程组的通解.解：对方程组的增广矩阵实施初等行变换：1222212222A01111011111113a0111a 21115103333122221004001111011100000a 10000a

26、10000000000若方程组有解，则r ( A)r ( A)2 , 从而 a=1.23精选文库当 a=1 时，原方程组的通解方程组为：x14x 4，x 3，x 4 为自由未知量 .x 2 1x 3 x 4令 x 3 =x 4 =0，得原方程组的一个特解：(0, 1, 0, 0).导出组的同解方程组为：x14x 4 ，x 3 ， x 4 为自由未知量 .x2x3 x4令 x 3 ，分别取1,0 ，得导出组的基础解系：(0,1,1,0)T ，x 401(-4,1,0,1)T .所 以 ,方程组的通解为：(0,1,0,0)T +c 1(0,1,1,0)T +c 2 (-4,1,0,1)T ，其中，

27、 c 1 ，c 2 为任意常数 .24. 已知向量组，讨论该向量组的线性相关性 .121121解:因为1a10a 22( a 2)( a 6)24a08a2当 a=2 或 a=-6 时，向量组线性相关，当 a 2 且 a -6 时，向量组线性无关，24精选文库25. 已知矩阵 A=，( 1) 求矩阵 A 的特征值与特征向量；( 2) 判断 A 可否与对角矩阵相似， 若可以，求一可逆矩阵 P 及相应的对角形矩阵 .解：矩阵 A 的特征多项式为：110E A430(2)(1)2102所以， A的特征值 121,32对于 121, 求齐次线性方程组 ( E A)xO 的基础解系，2101011E A420012，得基础解系：2，从而矩10100011阵 A 的对应于特征值 121, 的全部特征值为： c2 , ( c0)1对于32 ，求齐次线性