第八章整数规划

1、12 线性规划的决策变量取值可以是任意非负实数，但许多实际线性规划的决策变量取值可以是任意非负实数，但许多实际问题中，只有当决策变量的取值为整数时才有意义。问题中，只有当决策变量的取值为整数时才有意义。 例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完成工作的人数等，例如，产品的件数、机器的台数、装货的车数、完成工作的人数等，分数或小数解显然是不合理的。分数或小数解显然是不合理的。 要求全部或部分决策变量的取值为整数的线性规划问题，称要求全部或部分决策变量的取值为整数的线性规划问题，称为整数线性规划，简称整数规划为整数线性规划，简称整数规划( (Integer Programming) )。 全部

2、决策变量的取值都为整数，则称为全整数规划全部决策变量的取值都为整数，则称为全整数规划(All IP)； 仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规划仅要求部分决策变量的取值为整数，则称为混合整数规划(Mixed IP)； 要求决策变量只能取要求决策变量只能取0或或1值，则称为值，则称为0- -1规划规划(0- -1 rogramming)。 3为了满足整数要求，似乎可以把线性规划的小数最优解进行为了满足整数要求，似乎可以把线性规划的小数最优解进行“”以得到与最优解相近的整数解。以得到与最优解相近的整数解。“舍入化整舍入化整”一般是不可行的：一般是不可行的： 化整后的解有可能成为化整后的解

3、有可能成为； 虽是可行解，却虽是可行解，却。例如例如一、问题的提出一、问题的提出 产品产品资源资源甲甲乙乙现有量现有量A219B5735单台利润单台利润63 问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。问如何安排甲、乙两产品的产量，使利润为最大。 4 解：解：设设x1为甲产品的台数，为甲产品的台数，x2为乙产品的台数。为乙产品的台数。maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 9 5x1 +7 x2 35 x1, x2 0 x1, x2取整数取整数 不考虑整数约束则是一个不考虑整数约束则是一个LP问题问题,称为原整数规划的松弛问题。称为原整数规划的松弛问题。 不考虑整数约束的最优解：不考

4、虑整数约束的最优解：x1 *=28/9=3.111， x2 * =25/9=2.778，Z * =293/9=32.556 舍入化整舍入化整 x1 =3， x2 =3，Z =33，不满足约束条件，不满足约束条件5x1 +7 x2 35，非可行解；，非可行解； x1 =3， x2 =2，Z =28，满足约束条件，是可行解，但不是最优解；，满足约束条件，是可行解，但不是最优解； x1 =4， x2 =1，Z =29，满足约束条件，才是最优解。，满足约束条件，才是最优解。55x1 +7 x2 =352x1 + x2 =9x1x2123125344)972,913(6 步骤：步骤： 在线性规划的可行域

5、内列出所有决策变量可能取的整数值，在线性规划的可行域内列出所有决策变量可能取的整数值， 求出这些变量所有可行的整数解，求出这些变量所有可行的整数解， 比较它们相应的目标函数值，最优的目标函数值所对应的比较它们相应的目标函数值，最优的目标函数值所对应的解就是整数规划的最优解。解就是整数规划的最优解。 实用性：实用性： 只有两个决策变量，只有两个决策变量， 可行的整数解较少。可行的整数解较少。 二、二、 整数规划的图解法整数规划的图解法 7例1. 某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物某公司拟用集装箱托运甲、乙两种货物，这两种货物每件的体积、重量、可获利润以及托运所受限制如表所示。每件的体

6、积、重量、可获利润以及托运所受限制如表所示。货物每件体积（立方英尺）每件重量（百千克）每件利润（百元）甲乙19527344023托运限制1365140 甲种货物至多托运甲种货物至多托运4件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大。件，问两种货物各托运多少件，可使获得利润最大。解：设设x1 、 x2分别为分别为甲、乙两种货物托运的件数，建立模型甲、乙两种货物托运的件数，建立模型 目标函数：目标函数： Max z = 2x1 +3 x2 约束条件：约束条件： s.t. 195 x1 + 273 x2 1365 4 x1 + 40 x2 140 x1 4 x1，x2 0 为整数。为整数。如果去掉最

7、后一个约束，就是一个线性规划问题。利用图解法，如果去掉最后一个约束，就是一个线性规划问题。利用图解法，8得到线性规划的最优解为得到线性规划的最优解为x1=2.44, x2=3.26,目标函数值为目标函数值为14.66。由图表可看出，整数规划的最优解为由图表可看出，整数规划的最优解为x1=4, x2=2,目标函数值为目标函数值为14。性质1：任何求最大目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最大目任何求最大目标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最大目标函数值小于或等于相应的线性规划的最大目标函数值；任何求最小目标函数值小于或等于相应的线性规划的最大目标函数值；任何求最小目标函数值的纯整数规划或混合

8、整数规划的最小目标函数值大于或等于相标函数值的纯整数规划或混合整数规划的最小目标函数值大于或等于相应的线性规划的最小目标函数值。应的线性规划的最小目标函数值。12341232x1+3x2 =14.66x1 x2 2x1+3x2 =142x1+3x2 =69例2： Max z = 3Max z = 3x x1 1 + + x x2 2 + 3 + 3x x3 3 s.t. s.t. - -x x1 1 + 2 + 2x x2 2 + + x x3 3 4 4 4 4x x2 2 -3 -3x x3 3 2 2 x x1 1 -3-3x x2 2 + 2 + 2x x3 3 3 3 x x1 1,

9、 ,x x2 2, ,x x3 3 0 0 为整数为整数例例3 3： Max z = 3xMax z = 3x1 1 + x + x2 2 + 3x + 3x3 3 s.t. s.t. -x -x1 1 + 2x + 2x2 2 + x + x3 3 4 4 4x 4x2 2 -3x -3x3 3 2 2 x x1 1 -3x -3x2 2 + 2x + 2x3 3 3 3 x x3 3 1 1 x x1 1,x,x2 2,x,x3 3 0 0 x x1 1，x x3 3 为整数为整数 x x3 3 为为0-10-1变量变量用管理运筹学软件求解得： x1 = 5 x2 = 2 x3 = 2 用

10、管理运筹学软件求解得： x1 = 4 x2 = 1.25 x3 = 1 z = 16.2510 例例4、京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，京成畜产品公司计划在市区的东、西、南、北四区建立销售门市部，拟议中有拟议中有10个位置个位置 Aj (j1，2，3，10)可供选择，考虑到各地区居可供选择，考虑到各地区居民的消费水平及居民居住密集度，规定：民的消费水平及居民居住密集度，规定： 在东区由在东区由A1 ， A2 ，A3 三个点至多选择两个；三个点至多选择两个； 在西区由在西区由A4 ， A5 两个点中至少选一个；两个点中至少选一个； 在南区由在南区由A6 ， A7 两个

11、点中至少选一个；两个点中至少选一个； 在北区由在北区由A8 ， A9 ， A10 三个点中至少选两个。三个点中至少选两个。一、投资场所的选择一、投资场所的选择Aj 各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况各点的设备投资及每年可获利润由于地点不同都是不一样的，预测情况见下表所示见下表所示 (单位：万元单位：万元)。但投资总额不能超过。但投资总额不能超过720万元，万元，问应选择哪几问应选择哪几个个销售点，可使年利润为最大销售点，可使年利润为最大?11解：解：设：设：0-1变量变量 xi = 1 (Ai 点被选用）或点被选用）或 0 (Ai 点没被选用）。点没被选用）。 这样

12、我们可建立如下的数学模型：这样我们可建立如下的数学模型：Max z =36x1+40 x2+50 x3+22x4+20 x5+30 x6+25x7+48x8+58x9+61x10s.t. 100 x1+120 x2+150 x3+80 x4+70 x5+90 x6+80 x7+140 x8+160 x9+180 x10 720 x1 + x2 + x3 2 x4 + x5 1 x6 + x7 1 x8 + x9 + x10 2 xj 0 xj 为为0-1变量变量，i = 1,2,3,1012Max z =36x1+40 x2+50 x3+22x4+20 x5+30 x6+25x7+48x8+5

13、8x9+61x10s.t. 100 x1+120 x2+150 x3+80 x4+70 x5+90 x6+80 x7+140 x8+160 x9+180 x10 720 x1 + x2 + x3 2 x4 + x5 1 x6 + x7 1 x8 + x9 + x10 2 xj 0 xj 为为0-1变量变量，i = 1,2,3,10最优解：最优解： x1=1, x2=1, x3=0, x4=0, x5=1, x6=1, x7=0, x8=0, x9=1, x10=1 最大利润最大利润 245 万元。万元。即在即在 A1, A2, A5, A6, A9, A10 等等6个地点建立销售门市部。个地点

14、建立销售门市部。实际投资额为实际投资额为 100+120+70+90+160+180=72013例例5 5高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如表所示。板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种资源的数量如表所示。不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为不考虑固定费用，每种容器售出一只所得的利润分别为 4 4万元、万元、5 5万元、万元、6 6万元，可使用的金属板有万元，可使用的金属板有500500吨，劳动力有吨，劳动力有300300人月，机器有人

15、月，机器有100100台月，台月，此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号此外不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是是l00l00万元，中号为万元，中号为 150150万元，大号为万元，大号为200200万元。万元。现在要制定一个生产计现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大。划，使获得的利润为最大。二、固定成本问题二、固定成本问题14解：解：这是一个整数规划的问题。这是一个整数规划的问题。 设设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。 各种容器的固定费用只有在生产该种容器时才

16、投入，为了说明固定费各种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这种性质，用的这种性质，设设 yi = 1(当生产第当生产第 i种容器种容器, 即即 xi 0 时时) 或或0（当不生产（当不生产第第 i种容器即种容器即 xi = 0 时）时） 引入约束引入约束 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大，以保证当充分大，以保证当 yi = 0 时，时，xi = 0 。 这样我们可建立如下的数学模型：这样我们可建立如下的数学模型： Max z = 4x1 + 5x2 + 6x3 - 100y1 - 150y2 - 200y3 s.t. 2x1 + 4x2 + 8x3 500

17、 2x1 + 3x2 + 4x3 300 x1 + 2x2 + 3x3 100 xi M yi ，i =1，2，3，M充分大充分大 xj 0 xjN yj 为为0-1变量变量，i = 1,2,315例例6 6有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最所消耗的时间如表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少。少。三、指派问题三、指派问题: 有有 n n 项不同的任务，恰好项不同的任务，恰好 n n 个人可分别承担这些任务个人可分别承担这些任务，但由于

18、每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须，但由于每人特长不同，完成各项任务的效率等情况也不同。现假设必须指派每个人去完成一项任务，怎样把指派每个人去完成一项任务，怎样把 n n 项任务指派给项任务指派给 n n 个人，使得完成个人，使得完成 n n 项任务的总的效率最高，这就是项任务的总的效率最高，这就是指派问题指派问题。16解：引入：引入01变量变量 xij，并令并令 xij = 1(当指派第当指派第 i人去完成第人去完成第j项工作时项工作时)或或0（当（当不指派第不指派第 i人去完成第人去完成第j项工作时项工作时)这可以表示为一个这可以表示为一个0-1整数规划问题：整数规划

19、问题：Min z=15x11+18x12+21x13+24x14+19x21+23x22+22x23+18x24+26x31+17x32+16x33+19x34+19x41 +21x42+23x43+17x44s.t. x11+ x12+ x13+ x14= 1 (甲只能干一项工作甲只能干一项工作) x21+ x22+ x23+ x24= 1 (乙只能干一项工作乙只能干一项工作) x31+ x32+ x33+ x34= 1 (丙只能干一项工作丙只能干一项工作) x41+ x42+ x43+ x44= 1 (丁只能干一项工作丁只能干一项工作) x11+ x21+ x31+ x41= 1 ( A工

20、作只能一人干工作只能一人干) x12+ x22+ x32+ x42= 1 ( B工作只能一人干工作只能一人干) x13+ x23+ x33+ x43= 1 ( C工作只能一人干工作只能一人干) x14+ x24+ x34+ x44= 1 ( D工作只能一人干工作只能一人干) xij N 为为0-1变量变量，i,j = 1,2,3,4 * * * 求解可用求解可用管理运筹学管理运筹学软件中整数规划方法软件中整数规划方法。 17 对于有对于有m m 个人，个人，n 项任务的一般指派问题，设：项任务的一般指派问题，设：1,0ijijxij当第 人去完成 项工作时；，当第 人不去完成 项工作时.并设：

21、并设：cij 为第为第 i 人去完成第人去完成第 n项任务的成本（如时间、费用等）项任务的成本（如时间、费用等）则一般指派问题的模型可以写为：则一般指派问题的模型可以写为：11minmnijijijzcx约束条件：约束条件：111,1,2,1,1,2,nijjmijiximxjnxij为为0-1变量，对所有的变量，对所有的 i和和 j.18 因为因为m不一定等于不一定等于n，当，当mn，即人数多于任务数时，就，即人数多于任务数时，就有人没有任务，所以前面个约束条件都是有人没有任务，所以前面个约束条件都是“小于等于小于等于1”1”，这，这是说每个人至多承担一项任务，而后面是说每个人至多承担一项任

22、务，而后面n个约束条件说明每项个约束条件说明每项工作正好有一人承担，所以都是工作正好有一人承担，所以都是“等于等于1”.1”.当当nm时，需要设时，需要设假想的假想的n-m个人便获得可行解个人便获得可行解. .19还有一种指派问题叫做多重指派问题，它于一般的指派问题还有一种指派问题叫做多重指派问题，它于一般的指派问题的区别在于：一般的指派问题中每个人至多承担一项任务，的区别在于：一般的指派问题中每个人至多承担一项任务，而多重指派问题中一个人可以根据自己能力的大小承担一项而多重指派问题中一个人可以根据自己能力的大小承担一项、两项或更多项的任务、两项或更多项的任务. .这时约束条件中的前个条件不是

23、这时约束条件中的前个条件不是11,1,2,nijjxim而是改为而是改为1,1,2,nijijxa im其中其中ai是第是第i个人至多承担的任务的数，对于不同的个人至多承担的任务的数，对于不同的i ， ai可以可以是不一样的是不一样的. .20四、分布系统设计四、分布系统设计 例7某企业在某企业在 A1 地已有一个工厂，其产品的生产能地已有一个工厂，其产品的生产能力为力为30 千箱，为了扩大生产，打算在千箱，为了扩大生产，打算在 A2，A3，A4，A5地中再选择几个地方地中再选择几个地方建厂。已知在建厂。已知在 A2 ， A3，A4，A5地建厂的固定成本分别为地建厂的固定成本分别为175千元、

24、千元、300千元、千元、375千元、千元、500千元，另外，千元，另外， A1产量及产量及A2，A3，A4，A5建成厂的产量，那时销建成厂的产量，那时销地的销量以及产地到销地的单位运价地的销量以及产地到销地的单位运价(每千箱运费每千箱运费)如下表所示。如下表所示。 （1） 问应问应该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运该在哪几个地方建厂，在满足销量的前提下，使得其总的固定成本和总的运输费用之和最小输费用之和最小? （2） 如果由于政策要求必须在如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在地建一个厂，应在哪几个地方建厂哪几个地方建厂? 21解： a) 设设 xij

25、为从为从Ai 运往运往Bj 的运输量的运输量(单位千箱单位千箱)， yi = 1(当当Ai 被选中时被选中时)或或0（当（当Ai 没被选中时没被选中时) 这可以表示为一个整数规划问题：这可以表示为一个整数规划问题：Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5+ 8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+ 4x31+3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10 x51 +4x52+2x53其中前其中前4项为固定投资额，后面的项为运输费用。项为固定投资额，后面的项为运输费用。 s.t. x11+ x12+ x13 30 ( A1 厂的产量限制厂的产量

26、限制) x21+ x22+ x23 10y2 ( A2 厂的产量限制厂的产量限制) x31+ x32+ x33 20y3 ( A3 厂的产量限制厂的产量限制) x41+ x42+ x43 30y4 ( A4 厂的产量限制厂的产量限制) x51+ x52+ x53 40y5 ( A5 厂的产量限制厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制销地的限制) xij

27、 0 xjN ，yi为为0-1变量变量，i = 1,2,3,4,5；j = 1,2,3 * * * 求解可用求解可用管理运筹学管理运筹学软件中整数规划方法。软件中整数规划方法。 22b) 如果由于政策要求必须在如果由于政策要求必须在A2，A3地建一个厂，应在哪几个地方建厂地建一个厂，应在哪几个地方建厂? 解： 设设 xij为从为从Ai 运往运往Bj 的运输量的运输量(单位千箱单位千箱)， yi = 1(当当Ai 被选中时被选中时)或或0（当（当Ai 没被选中时没被选中时) 这可以表示为一个整数规划问题：这可以表示为一个整数规划问题：Min z = 175y2+300y3+375y4+500y5

28、+ 8x11+4x12+3x13+5x21+2x22+3x23+ 4x31+3x32+4x33+9x41 +7x42+5x43+10 x51 +4x52+2x53其中前其中前4项为固定投资额，后面的项为运输费用。项为固定投资额，后面的项为运输费用。 s.t. x11+ x12+ x13 30 ( A1 厂的产量限制厂的产量限制) x21+ x22+ x23 10y2 ( A2 厂的产量限制厂的产量限制) x31+ x32+ x33 20y3 ( A3 厂的产量限制厂的产量限制) x41+ x42+ x43 30y4 ( A4 厂的产量限制厂的产量限制) x51+ x52+ x53 40y5 (

29、 A5 厂的产量限制厂的产量限制) x11+ x21+ x31+ x41 + x51 = 30 ( B1 销地的限制销地的限制) x12+ x22+ x32+ x42 + x52 = 20 ( B2 销地的限制销地的限制) x13+ x23+ x33+ x43 + x53 = 20 ( B3 销地的限制销地的限制) y2+y3=1 (必须在必须在A2，A3地建一个厂地建一个厂) xij 0 yi为为0-1变量变量，i = 1,2,3,4,5；j = 1,2,323五、投资问题五、投资问题例例8某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：某公司在今后五年内考虑给以下的项目投资。已知： 项目项目

30、A：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%，但要求第一年投资最低金额为，但要求第一年投资最低金额为4万元，第二、三、四年不限；万元，第二、三、四年不限； 项目项目B：第三年初需要投资，到第五年未能回收本利第三年初需要投资，到第五年未能回收本利128，但规定最低，但规定最低投资金额为投资金额为3万元，最高金额为万元，最高金额为5万元；万元； 项目项目 C：第二年初需要投资，到第五年未能回收本利第二年初需要投资，到第五年未能回收本利140%，但规定其投，但规定其投资额或为资额或为2万元或为万元或为4万元或为万元或为6万元或为

31、万元或为8万元。万元。 项目项目 D：五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息五年内每年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%，此项，此项投资金额不限。投资金额不限。 该部门现有资金该部门现有资金10万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资额，万元，问它应如何确定给这些项目的每年投资额，使到第五年末拥有的资金本利总额为最大使到第五年末拥有的资金本利总额为最大? 24解：解：1) 设设xiA、xiB、xiC、xiD ( i 1，2，3，4，5)分别表示第分别表示第 i 年年初给项目年年初给项目A，B，C，D的投资额；的投资额； 设设y1A， y3B，是，是01变量，并规定变量，并规定:

32、设设y2C 是非负整数变量，并规定：是非负整数变量，并规定：第第2年投资年投资C项目项目8万元时，取值为万元时，取值为4；第第2年投资年投资C项目项目6万元时，取值为万元时，取值为3；第第2年投资年投资C项目项目4万元时，取值为万元时，取值为2；第第2年投资年投资C项目项目2万元时，取值为万元时，取值为1；第第2年不投资年不投资C项目时，项目时， 取值为取值为0； 11,0,Ay当第1年给A项目投资时， 当第1年不给A项目投资时.31,0,By当第3年给B项目投资时， 当第3年不给B项目投资时.25这样我们建立如下的决策变量：这样我们建立如下的决策变量： 第第1年年 第第2年年 第第3年年 第

33、第4年年 第第5年年 A x1A x2A x3A x4A B x3B C x2C (=20000y2C) D x1D x2D x3D x4D x5D 262）约束条件：）约束条件：第一年：年初有第一年：年初有100000元，元，D项目在年末可收回投资，故第一年项目在年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是年初应把全部资金投出去，于是 x1A+ x1D = 100000；第二年：第二年：A次年末才可收回投资次年末才可收回投资,故第二年年初的资金为故第二年年初的资金为1.06x1D，于是于是x2A+x2C+x2D = 1.06x1D；第三年：年初的资金为第三年：年初的资金为 1.15x

34、1A+1.06x2D，于是，于是 x3A+x3B+x3D = 1.15x1A+ 1.06x2D；第四年：年初的资金为第四年：年初的资金为 1.15x2A+1.06x3D，于是，于是 x4A + x4D = 1.15x2A+ 1.06x3D；第五年：年初的资金为第五年：年初的资金为 1.15x3A+1.06x4D，于是，于是 x5D = 1.15x3A+ 1.06x4D；27关于项目关于项目A的投资额规定的投资额规定: x1A 40000y1A ，x1A 200000y1A ，200000是足够大的数；是足够大的数； 保证当保证当 y1A = 0时，时， x1A = 0 ；当；当y1A = 1时

35、，时，x1A 40000 。 关于项目关于项目B的投资额规定的投资额规定: x3B 30000y3B ，x3B 50000y3B ； 保证当保证当 y3B = 0时，时， x3B = 0 ；当；当y3B = 1时，时，50000 x3B 30000 。 关于项目关于项目C的投资额规定的投资额规定: x2C = 20000y2C ，y2C = 0，1，2，3，4。283）目标函数及模型：）目标函数及模型： Max z = 1.15x4A+ 1.40 x2C+ 1.28x3B + 1.06x5D s.t. x1A+ x1D = 100000； x2A+x2C+x2D = 1.06x1D； x3A+

36、x3B+x3D = 1.15x1A+ 1.06x2D； x4A+x4D = 1.15x2A+ 1.06x3D； x5D = 1.15x3A+ 1.06x4D； x1A 40000y1A ， x1A 200000y1A ， x3B 30000y3B ， x3B 50000y3B ； x2C = 20000y2C ， y1A， y3B = 0 或或 1， y2C = 0，1，2，3，4 xiA ，xiB ，xiC ，xiD 0 ( i = 1、2、3、4、5）29 分枝定界法分枝定界法(Branch and Bound Method) 基本思想：基本思想： 先求出整数规划相应的先求出整数规划相应的

37、LP(即不考虑整数限制即不考虑整数限制)的最优解，的最优解， 若求得的最优解符合整数要求，则是原若求得的最优解符合整数要求，则是原IP的最优解；的最优解； 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件的变量来若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件的变量来构造新的约束，在原可行域中剔除部分非整数解。构造新的约束，在原可行域中剔除部分非整数解。 然后，再在缩小的可行域中求解新构造的线性规划的最优然后，再在缩小的可行域中求解新构造的线性规划的最优解，这样通过求解一系列线性规划问题，最终得到原整数解，这样通过求解一系列线性规划问题，最终得到原整数规划的最优解。规划的最优解。30 定界的含义：定界的含

38、义： 整数规划是在相应的线性规划的基础上增加变量为整数的整数规划是在相应的线性规划的基础上增加变量为整数的约束条件，整数规划的最优解不会优于相应线性规划的最约束条件，整数规划的最优解不会优于相应线性规划的最优解。优解。 对极大化问题来说，相应线性规划的目标函数最优值是原对极大化问题来说，相应线性规划的目标函数最优值是原整数规划函数值的上界；整数规划函数值的上界； 对极小化问题来说，相应线性规划的目标函数的最优值是对极小化问题来说，相应线性规划的目标函数的最优值是原整数规划目标函数值的下界。原整数规划目标函数值的下界。31例例 maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 9 5x1 +7

39、x2 35 x1, x2 0 x1, x2取整数取整数 第一步第一步, ,不考虑变量的整数约束不考虑变量的整数约束, ,求相应求相应LP(LP(问题问题1)1)的最优解：的最优解： x1=28/9，x2 =25/9，Z1=293/9 第二步第二步, ,定界过程定界过程 这个解不满足整数约束，这时目标函值这个解不满足整数约束，这时目标函值Z Z1 1是整数规划的目标上界；是整数规划的目标上界； 因为因为x1=x2=0=0是整数规划问题的可行解，所以下界为是整数规划问题的可行解，所以下界为0 0。 第三步第三步, ,分枝过程分枝过程 将不将不满足整数约束的变量满足整数约束的变量x1进行分枝，进行分

40、枝，x1称为分枝变量，构造两个新称为分枝变量，构造两个新的约束条件：的约束条件： x1 28/9=3， x1 28/9 +1=4 32这样就把相应的线性规划的可行域分成两个部分，如图所示。这样就把相应的线性规划的可行域分成两个部分，如图所示。5x1 +7 x2 =352x1 + x2 =9x1x2123125344x1=3 x1=4问题问题2：maxZ= 6x1 +5 x2 问题问题3： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 9 2x1 + x2 9 5x1 +7 x2 35 5x1 +7 x2 35 x13 x1 4 x1, x2 0 x1, x2 0 x1, x2取整数取整数

41、x1, x2取整数取整数33 求解相应的线性规划的最优解求解相应的线性规划的最优解 问题问题2相应的线性规划的最优解：相应的线性规划的最优解：x1=3，x2 =20/7，Z2=226/7 问题问题3相应的线性规划的最优解：相应的线性规划的最优解：x1=4，x2 =1，Z3=29 第四步，定界过程第四步，定界过程 LP3的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是29，大于原有下界大于原有下界0，则新的下界为，则新的下界为29； 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为226/7。 LP2的解仍不满足

42、整数约束的要求，它的目标函数值的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值226/7大于大于现有下界，则应继续分枝。现有下界，则应继续分枝。 第五步，分枝过程第五步，分枝过程 将不将不满足整数约束的变量满足整数约束的变量x2进行分枝，构造两个新的约束条件：进行分枝，构造两个新的约束条件： x2 20/7=2， x2 20/7 +1=3 345x1 +7 x2 =352x1 + x2 =9x1x2123125344x1=4x1=3问题问题4：maxZ= 6x1 +5 x2 问题问题5： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 9 2x1 + x2 9 5x1 +7 x2 35 5x1 +

43、7 x2 35 x13 x1 3 x22 x2 3 x1, x2 0 x1, x2 0 x1, x2取整数取整数 x1, x2取整数取整数x2 =2 x2=335 求解相应的线性规划的最优解求解相应的线性规划的最优解 问题问题4相应的线性规划的最优解：相应的线性规划的最优解： x1=3，x2 =2，Z4=28 问题问题5相应的线性规划的最优解：相应的线性规划的最优解：x1=14/5，x2 =3，Z5=159/5 第六步，定界过程第六步，定界过程 LP4的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是的解满足整数约束，不必再分枝，它的目标函数值是28，小于原有下界小于原有下界29，则下界仍为，则下

44、界仍为29； 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为159/5。 LP5的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值159/5大于大于现有下界现有下界2929，则应继续分枝。，则应继续分枝。 第七步，分枝过程第七步，分枝过程 将不将不满足整数约束的变量满足整数约束的变量x1进行分枝，构造两个新的约束条件：进行分枝，构造两个新的约束条件： x1 14/5=2，x1 14/5 +1=3 36问题问题6：maxZ= 6x1 +5 x2 问题问题7： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 9 2x1

45、+ x2 9 5x1 +7 x2 35 5x1 +7 x2 35 x13 x1 3 x2 3 x2 3 x12 x1 3 x1, x2 0 x1, x2 0 x1, x2取整数取整数 x1, x2取整数取整数x2 =2 x2=35x1 +7 x2 =352x1 + x2 =9x1x2123125344x1=4x1=3x1=237 求解相应的线性规划的最优解：求解相应的线性规划的最优解： 问题问题6相应的线性规划的最优解：相应的线性规划的最优解： x1=2，x2 =25/7，Z6=209/7 问题问题7相应的线性规划的最优解：相应的线性规划的最优解：无最优解无最优解 第八步，定界过程第八步，定界

46、过程 LP7的无最优解，不必再分枝，下界仍为的无最优解，不必再分枝，下界仍为29； 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为209/7。 LP6的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值209/7大于大于现有下界现有下界29，则应继续分枝。，则应继续分枝。 第九步，分枝过程第九步，分枝过程 将不将不满足整数约束的变量满足整数约束的变量x2进行分枝，构造两个新的约束条件：进行分枝，构造两个新的约束条件： x2 3， x2 4 38问题问题8：maxZ= 6x1 +5 x2 问题问题9： maxZ= 6x1

47、+5 x2 2x1 + x2 9 2x1 + x2 9 5x1 +7 x2 35 5x1 +7 x2 35 x13 x1 3 x2 3 x2 3 x12 x12 x23 x2 4 x1, x2 0 x1, x2 0 x1, x2取整数取整数 x1, x2取整数取整数5x1 +7 x2 =352x1 + x2 =9x1x2123125344x1=4x1=3x2=3x1=2x2 =2 x2 =439 求解相应的线性规划的最优解求解相应的线性规划的最优解 问题问题8相应的线性规划的最优解：相应的线性规划的最优解： x1=2，x2 =3，Z8=27 问题问题9相应的线性规划的最优解：相应的线性规划的最

48、优解：x1=7/5，x2 =4，Z9=142/5 第十步，定界过程第十步，定界过程 LP8的最优解，满足整数约束，不必再分枝，下界仍为的最优解，满足整数约束，不必再分枝，下界仍为29； 现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为现有上界为未分枝子问题中目标函数最大值，即为29。 虽然虽然LP9的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值的解仍不满足整数约束的要求，它的目标函数值142/5小于现有下界小于现有下界29，则不再继续分枝。，则不再继续分枝。 上界上界=下界，得整数规划问题的最优解：下界，得整数规划问题的最优解：x1=4，x2 =1，Z=2940 分枝定界过程分枝定界过程7232,76

49、2, 3 221Zxx：问题9532,972,913 121Zxx：问题29, 1,4 321Zxx：问题28,2,3421Zxx：问题5431,3,542521Zxx：问题7629,743,2621Zxx：问题无可行解：问题727,3,2821Zxx：问题5228,4,521921Zxx：问题x13x1 4x22x2 3x12x1 3x23x2 409532下界：上界：297232下界：上界：295431下界：上界：297629下界：上界：2929下界：上界：41 z 从以上解题过程可得用分枝定界法求解目标函数值最大的整数规划的从以上解题过程可得用分枝定界法求解目标函数值最大的整数规划的步骤

50、，我们将求解的整数规划问题称为步骤，我们将求解的整数规划问题称为A，将与其相对应的线性规划问题，将与其相对应的线性规划问题称为称为B： 第一步：第一步：求解问题求解问题B，可得以下情况之一：，可得以下情况之一： 1.B没有可行解，则没有可行解，则A也没有可行解，求解过程停止。也没有可行解，求解过程停止。 2.B有最优解，且符合问题有最优解，且符合问题A的整数条件，则的整数条件，则B的最优解即为的最优解即为A的最优的最优解，求解过程停止。解，求解过程停止。 3.B有最优解，但不符合有最优解，但不符合A的整数条件，记其目标函数值为的整数条件，记其目标函数值为z1。 第二步：第二步：确定确定A的最优

51、目标函数值的最优目标函数值z*的上下界，其上界即为的上下界，其上界即为 =z1,再用再用观察法找到观察法找到A的一个整数可行解，求其目标函数值作为的一个整数可行解，求其目标函数值作为z*的下界，记为的下界，记为z 。 第三步：第三步：判断判断 是否等于是否等于z 。若相等，则整数规划最优解即为其目标。若相等，则整数规划最优解即为其目标函数值等于函数值等于z的的A的那个整数可行解；否则进行第四步。的那个整数可行解；否则进行第四步。z42zz 第四步：第四步：在在B的最优解中选一个最远离整数要求的变量，不妨设此变量的最优解中选一个最远离整数要求的变量，不妨设此变量为为xj=bj，以，以bj表示小于

52、表示小于bj的最大整数，构造以下两个约束条件，并加入问的最大整数，构造以下两个约束条件，并加入问题题B，得到，得到B的两个分枝的两个分枝B1和和B2。xj bj和和xj bj+1 第五步：第五步：求解求解B1和和B2 。修改。修改A问题的最优目标函数值问题的最优目标函数值z*的上下界，的上下界， 和和z 。 第六步：第六步：比较和剪枝。各分枝的最优目标函数值中若有小于比较和剪枝。各分枝的最优目标函数值中若有小于z者，则剪者，则剪掉这枝（用打掉这枝（用打表示），即以后不再考虑了。若大于表示），即以后不再考虑了。若大于z ，则不符合整数条件，则不符合整数条件，则重复第三步至第六步，直至则重复第三步

53、至第六步，直至 ，求出最优解为止。，求出最优解为止。 对于求目标函数值最小的整数规划的求解步骤与上述步骤基本相似。对于求目标函数值最小的整数规划的求解步骤与上述步骤基本相似。z43例例9 用分枝定界法求解整数规划用分枝定界法求解整数规划Max 2Max 2x x1 1+3+3x x2 2s.t. 195s.t. 195x x1 1+273+273x x2 213651365 4 4x x1 1+ 40+ 40 x x2 2140140 x x1 1 4 4 x x1 1,x,x2 2 0 0且且x x1 1,x,x2 2为整数为整数解解: : ( (一一) )先求出以下线性规划的解：先求出以下线性规划的解： Max 2Max 2x x1 1+3+3x x2 2 s.t. 195 s.t. 195x x1 1+273+273x x2 213651365 4