专题2.17 有理数章末重难点突破（举一反三）（原卷版）

1、专题2.17 有理数章末重难点突破 【考点1 有理数的相关概念】【例1】（2020秋二七区校级月考）下列说法中：0是最小的的整数；有理数不是正数就是负数；正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；非负数就是正数；x2是有理数；平方等于它本身的数有±1；无限小数都不是有理数；正数中没有最小的数，负数中没有最大的数其中错误的说法的个数为（）A7个B6个C5个D4个【变式1-1】（2020秋锦江区校级月考）下列说法正确的个数是（）一个数的绝对值的相反数一定是负数正数和零的绝对值都等于它本身只有负数的绝对值是它的相反数互为相反数的两个数的绝对值一定相等任何一个有理数一定不大于它的绝对值任何

2、数的偶数次幂都是正数A5个B4个C3个D2个【变式1-2】（2020秋陆川县期中）下列说法不正确有（）个（1）一个数的平方一定大于这个数；（2）113是有理数；（3）一个数的平方一定小于这个数的绝对值；（4）一个数的平方不可能为负数；（5）平方等于本身的数是±1或0A1B2C3D4【变式1-3】（2020秋南召县期中）下列说法：整数和分数统称为有理数；绝对值是它本身的数只有0；两数之和一定大于每个加数；如果两个数积为0，那么至少有一个因数为0；0是最小的有理数；数轴上表示互为相反数的点位于原点的两侧；几个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，那么积为负数；其中正确的个数是（）A2个B3

3、个C4个D5个【考点2 与数轴有关的判断结论】【例2】（2020秋南山区期末）已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：ab+ac0；a+bc0；a|a|+b|b|+c|c|=1；|ab|c+b|+|ac|2b其中正确结论的个数是（）A1B2C3D4【变式2-1】（2020秋诸暨市期中）有理数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则下列各式正确的个数有（）a+b+c0；ab+c0；|a|a+|b|b+|c|c=1；|a+b|bc|+|ac|2cA4个B3个C2个D1个【变式2-2】（2020秋凉州区期中）如图，点A、B、C在数轴上表示的数分别为a、b、c，且OA+OBOC，则下列结论中

4、abc0；a（bc）0；acb；|a|a+b|b|+|c|c=1其中错误的个数有（）A1个B2个C3个D4个【变式2-3】（2020秋九龙坡区校级期中）已知数a、b、c在数轴上的位置如图所示，满足|a|b|c|，则下列各式：bac；ab|ab|ac|ac|=0；|ab|c+b|+|ac|2b：|b+c|c|b|正确的个数有（）个A4B3C2D1【考点3 与有理数有关概念的综合求值】【例3】（2021秋竹山县期中）已知：有理数m所表示的点到点3距离4个单位长度，a，b互为相反数，且都不为零，c，d互为倒数求：2a+2b+(ab3cd)m的值【变式3-1】（2020秋梁园区校级月考）已知a，b互为

5、倒数，c，d互为相反数，|m|3根据已知条件请回答：（1）ab ，c+d ，m ，cd= （2）求：m3+ab+c+d4mcd的值【变式3-2】（2020秋驿城区期中）已知m、n互为相反数，a、b互为倒数，x的绝对值等于3，试求下列代数式的值：x3（1+m+n+ab）x2+（m+n）x2009+（ab）2007【变式3-3】（2020秋碑林区校级月考）已知a，b，c，d，x，y均为有理数，按要求解答下列问题：（1）已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，则a+b ，cd ；（2）在（1）的条件下，若x，y满足|x+23|+|y13|0，求2（a+b）cd+xy的值【考点4 与有理数运算有关的综合

6、求值】【例4】（2020秋乾安县期末）已知：|a|3，|b|5（1）若ab0，求a+b值；（2）若ab0，求（a+b2）2【变式4-1】（2020秋黄陂区期中）已知|a|2，b29（1）若a0，b0，求12a2b的值；（2）若|ab|ba，求ab的值【变式4-2】（2020秋郫都区校级月考）（1）已知|a|3，|b|1，|c|5，且|a+b|a+b，|a+c|（a+c），求ab+（c）的值；（2）已知a，b，c为非零有理数，且a+b+c0，求a|a|+b|b|+c|c|+abc|abc|的值【变式4-3】（2020秋江岸区校级月考）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面

7、是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc0，求|a|a+|b|b+|c|c的值【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数a，b，c都是正数，即a0，b0，c0时，则|a|a+|b|b+|c|c=aa+bb+cc=1+1+13；当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a0，b0，c0，则|a|a+|b|b+|c|c=aa+bb+cc=1+（1）+（1）1综上所述，|a|a+|b|b+|c|c值为3或1【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知a，b是不为0的有理数，

8、当|ab|ab时，则a|a|+b|b|的值是 ；（2）已知a，b，c是有理数，当abc0时，求a|a|+b|b|+c|c|的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c0，abc0，求b+c|a|+c+a|b|+a+b|c|的值【考点5 有理数混合运算】【例5】（2020秋台儿庄区期末）计算：（1）233×（1）20219÷（3）； （2）12(112)×232+(6)÷|225|【变式5-1】（2020秋淅川县期末）计算（1）24(1)2020×2(23)|49|； （2）8×(12)2+(34+1658)÷(124)【变

9、式5-2】（2020秋龙华区期末）计算（1）（1223）×（12）|2+5|÷（114）； （2）12020+（2）4×（12）+（9）÷（1）【变式5-3】（2020秋腾冲市期末）计算：（1）1416×2（3）2； （2）（2）4÷（223）2+512×（16）0.25【考点6 有理数混合运算中的实际应用】【例6】（2021春松北区期末）小刘在某学校附近开了一家麻辣烫店，为了吸引顾客，于是想到了发送宣传单：刘氏麻辣烫开业大酬宾，第一周每碗4.5元，第二周每碗5元，第三周每碗5.5元，从第四周开始每碗6元月末结算时，每周以5

10、0碗为标准，多卖的记为正，少卖的记为负，这四周的销售情况如下表（表中数据为每周每天的平均销售情况）：周次一二三四销售量3826104（1）若麻辣烫成本为3.1元/碗，哪一周的收益最多？是多少？（2）这四周总销售额是多少？（3）为了拓展学生消费群体，第四周后，小刘又决定实行两种优惠方案：方案一：凡来店中吃麻辣烫者，每碗附赠一瓶0.7元的矿泉水；方案二：凡一次性购买3碗以上的，可免费送货上门，但每次送货小刘需支付人工费2元若有人一次性购买4碗，小刘更希望以哪种方案卖出？【变式6-1】（2021春南岗区校级月考）哈达水果批发市场到合作的苹果生产基地收购苹果，去年该苹果基地出产20吨苹果，收购价为每千

11、克1.40元，今年苹果产量提高了25%，收购价降低了17（1）该苹果基地今年的总收入比去年提高了多少元？（2）从产地到哈达水果批发市场的距离是600千米，现有甲、乙两种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均可以满载，且只能选一种车型）车型甲乙汽车运载量（吨/辆）810汽车运费（元/辆千米）2.53如果甲车型每辆车的装车费为150元，且甲车型每辆的装车费与乙车型每辆的装车费的比为3：4，选哪种车型来运输水果，运费最低？说明理由（3）在（2）的条件下，如果在运输及销售过程中的水果损耗为10%，那么哈达水果批发市场要实现8%的利润率，此时哈达苹果的批发价是每千克多少元？（结果保留

12、两位小数）【变式6-2】（2021春南岗区校级月考）哈尔滨市某区总代理张老板用360000元购进3000双李宁新款运动鞋，计划每天销售200双，实际销售时超过计划数的部分用正数表示，不足计划数的部分用负数表示，这批运动鞋前7天的销售情况记录如表：销售天数第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天每天的销售量（单位：双）+128+25+2622+315（1）这七天平均每天销售运动鞋多少双？（2）计划这批运动鞋全部售完后共获利25%，则每双鞋的定价应为多少元？（3）若前七天销售的运动鞋均以（2）中的定价售出张老板按此定价继续销售，以第三天的销售量又销售两天后，没有售出的运动鞋按定价的八折销售很快售

13、完，求这批运动鞋全部销售后张老板共盈利多少元？（其他费用忽略不计）【变式6-3】（2020秋昌图县期末）2020年“新冠肺炎”疫情的蔓延，使得医用口罩销量大幅增加某口罩加工厂为满足市场需求，计划在本周每日生产5000个医用口罩，但是由于各种原因，实际每日生产量与计划生产量相比情况如表（增加的口罩数为正数，减少的口罩数为负数）：星期一二三四五六日增减（单位：个）+100200+300150100+350+150（1）该口罩加工厂本周产量最多的一日比产量最少的一日多生产多少个口罩？（2）请你根据记录求出该口罩加工厂本周前三日共生产多少个口罩；（3）该加工厂实行计件工资，每生产一个医用口罩，工资为0

14、.2元，则该口罩加工厂本周应支付的工资总额是多少元？【考点7 有理数中的新定义问题】【例7】（2020秋紫阳县期末）定义一种新运算“”，规则为：mnmn+mnn，例如：2323+2×338+6311，解答下列问题：（1）（2）4；（2）（1）（5）2【变式7-1】（2020秋包河区校级月考）用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定abab2+2ab+a，如：131×32+2×1×3+116（1）求（2）3的值；（2）求（22133）（12）的值【变式7-2】（2020秋西城区校级期中）对于正整数a，b，定义一种新算ab（1）a+（1）b（1）计算

15、12的值为 ；（2）写出ab的所有可能的值 ；（3）若abcdef（1）a+（1）b+（1）c+（1）d+（1）e+（1）f，其中a、b、c、d、e、f都是正整数，请你写出使abcdef4成立的一组a、b、c、d、e、f的值 ；（4）若a，b，c都是正整数，则下列说法正确的是 （选出所有正确选项）AabbaBa（b+c）ab+acC（aa）22（2a）（2a）D（ab）33（3a）（3b）【变式7-3】（2020秋市中区校级月考）在有理数的范围内，我们定义三个数之间的新运算“#”法则：a#b#c=|abc|+a+b+c2如：（1）#2#3=|123|+(1)+2+32=5（1）计算：4#（2）

16、#（5） （2）计算：3#（7）#（113） （3）在67，57，17，0，19，29，89这15个数中：任取三个数作为a、b、c的值，进行“a#b#c”运算，求所有计算结果的最小值是 ；若将这十五个数任意分成五组，每组三个数，进行“a#b#c”运算，得到五个不同的结果，由于分组不同，所以五个运算的结果也不同，那么五个结果之和的最大值是 【考点8 数轴与绝对值的综合探究】【例8】（2021春南岗区期末）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法例如，式子|x2|的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离；因为|x+1|x（1）|

17、，所以|x+1|的几何意义就是数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离（1）发现问题：代数式|x+1|+|x2|的最小值是多少？（2）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数1、2、x，AB3|x+1|+|x2|的几何意义是线段PA与PB的长度之和，当点P在线段AB上时，PA+PB3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA+PB3|x+1|+|x2|的最小值是3（3）解决问题：|x+3|+|x1|的最小值是多少？并利用下面所给数轴说明理由；填空：当a为 时，代数式|x+a|+|x3|的最小值是2【变式8-1】（2020秋香洲区校级月考）如图，数轴上有三个点A、B、C，表示的数分别是4、2、3，

18、请回答：（1）若C、B两点的距离与A、B两点距离相等，则需将点C向左移动 个单位；（2）若移动A、B、C三点中的两点，使三个点表示的数相同，移动方法有 种，其中移动所走的距离之和最小的是 个单位；（3）若在B处有一小青蛙，一步跳一个单位长，小青蛙第一次先向左跳一步，第2次向右跳2步，第3次向再向左跳3步，第4次再向右跳4步，按此规律继续下去，那么跳第100次时落脚点表示的数是 ；（4）若有两只小青蛙M、N，它们在数轴上的点表示的数分别为整数x、y，且|x2|+|y+3|2，那么两只青蛙M、N之间的距离为 【变式8-2】（2020秋历下区校级月考）绝对值拓展材料：|a|表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：|5|表示5在数轴上的对应点到原点的距离，而|5|50|，即|50|表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：|5+3|5（3）|表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为|ab|完成下列题目：（1）A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为2，B点对应的数为4：A、B两点之间的距离为 （写计算结果）；折叠数轴，使A点