经济数学基础形成性考核册

1、经济数学第三篇概率论第8章随机变量与数字特征作业详解练习811定点投篮1次，投中的概率是0.4，试用随机变量描述这一试验解，引入随机变量X，8发投篮命中的，令X1；当不中时X0，即P(X1)0.4，P(X0)10.40.6。2一次试验中，若某事件A必然产生、试用随机变量描述该现象，并指出此随机变量可能取多少个值？A出现，令X1，有P(X1)1，A不出现，令X0，有P(X0)0，X可能取1，0两个值。练习821判断以下两表的对应值能否作为离散型随机变量的概率分布（1）X-210（2）X1234 PK PK 解：作为离散型随机变量。每一概率值Pk都大于或等于零；所有可能 值的概

2、率之和为1，即SPk1。 现在第（1）情况，虽Pk³0，但 。 所以不可以作为随机变量概率分布。 第（2）情况不仅Pk³0，且，所以能作为离散型随机变量的概率分布。2设随机变量Y的概率分布为，k1，2，3，求P(Y1)，P(Y>2)，P(£3)，P(1.5£y£5)，P(y>) 解：P(Y1)，P(Y>2)P(Y3) P(1.5£Y£5)P(Y2)+P(Y3)； P(Y>)P(Y2)+P(Y3)3气象记录表明，某地在11月份的30天中平均有3天下雪，试问明年11月份至多有3个下雪天的概率 11月份下雪

3、天的概率是，不下雪天的概率是，每次只有两种可能，要么下雪，要么不下雪，所以服从二项分布，XB(30,0.1)X表示11月份下雪天数， 解：P(X£3)P(X0)+P(X1)+P(X2)+P(X3) 其中不下雪的概率P(X0)0.04239 有一天下雪的概率P(X1)0.1413 有二天下雪的概率P(X2)0.22766 有三天下雪的概率P(X3)0.2361 P(X£3)0.04239+0.1413+0.22766+0.23610.6474某车间有12台车床，每台车床由于装卸加工的零件等原因时常停车，设各台车床停车或开车是相互独立的每台车床在任一时刻处于停车状态的概率是0.

4、3，求（1）任一时刻车间内停车台数X的分布；（2）车间内有3台车床停车的概率；（3）任一时刻车间内车床全部工作的概率。 分析：停车概率为0.3，要么停车，要么开车，遵从二项分布B(12，0.3) 解：（1）（K0，1，2，20） 或0.3K0.712-K（K0，1，20） （2）0.2397或0.330.790.2397 （3）全部工作K0即P(X0)0.01385已知随机变量Xp (l)，P(x0)0.4，求参数l，并求P(X³2) 解：X遵从泊松分布P(XK)e-l（K0，1，2，） P(X0)e-le-l0.4 el2.5 lm2.50.9163 P(X£1)P(X0

5、)+P(X1)0.4+e-0.9163 0.4+0.9163´0.40.76652 P(X³2)1-P(X£1)1-0.766520.2335练习8.31判断以下函数f(x)在各自指定区间上（f(x)在指定区间外取值为零）是不是 随机变量的密度函数？ （1）f(x)0.3（2）f(x)(10x-x2)0.5（3）f(x)(3x-x2)0.3 解：概率密度函数f(x)要满足（1）f(x)³0；（2） （1）f(x)³0但 此函数f(x)不是密度函数 （2）f(x)³0（10x-x2x(10-x)当xÎ0,5时为正） 且 是密度

6、函数 （3）当xÎ0,3，3x-x2³0且 3-21 是密度函数2设连续型随机变量X的密度函数为 （1）常数A （2）P(0<X<0.5) （3）P(0.25<X£2)解：（1） A2 函数为 （2）P(0<X<0.5)0.25 （3）P(0.25<X£2)1-0.06250.93753设连续型随机变量X的密度函数为f(x)Ke-|x|（-¥<x<+¥）试确定常数K解： K+K2K1 4设随机变量Z在0,10服从均匀分布，（1）试写出Z的密度函数；（2）试给出密度函数的曲线；（3）试求概

7、率P(Z<3)、P(Z³6)与P(3<Z£8)0 10Zf(Z) 1 10 解：（1）密度函数 服从均匀分布 （2）   （3）P(Z<3) P(Z³6) P(3<Z£8)5某计算机的试验寿命X（单位：h）服从参数为0.001的指数分布 （1）试写出X的密度函数（2）求此计算机使用时间不超过1000小时的概率 解：（1）一般指数分布具有概率密度函数 f(x) 本题是f(x) （2）P（X£1000） 练习8.41已知随机变量X的概率分布为P(XK)（k2，4，18，20） 求：E(X) 解：本题是离散

8、型随机变量，它的数学期望E(X) PkP(XK) E(X) (2+4+18+20)2在某城市观看足球比赛，出席观看的球迷人数如下：天气非常冷时，有35000人，当天气较冷时，有40000人，当天气较暖和时有48000人，当天气暖和时有60000人，若上述四种天气的概率分别为0.08，0.42，0.43，0.07，问每场比赛出席观看的球迷有多少？ 解：本题是离散型随机变量 E(X)35000´0.08+40000´0.42+48000´0.43+60000´0.07444403在射击比赛中，每人射4次（每次1发）约定全都不命中得0分，只中1发得15分，中2

9、发得30分，中3发得55分，中4发得100分，某人每次射击的命中率为0.5，问它期望得多少分？ 解：射击要么命中，要么不中，命中率为0.5，不命中的概率为1-0.50.5 遵从二项分布Pk0.5n(0.5)4-k（k0，1，2，3，4）E(X) E(X)0´´0.50´0.54-0+15´´0.51´0.54-1+30´´0.52´0.54-2 +55´´0.53´0.54-3+100´´0.54´0.54-4 (60+180+220+100)&

10、#180;0.54354设随机变量X的密度函数为f(x) 求x的期望值 解：这是连续型随机变量 E(X)，本题为E(X) 5设随机变量X的密度为f(x)e-|x|（-¥<x<+¥），求：E(X) 解：E(X) 6对圆的直径进行测量，设测得直径值均匀地分布在区间a,b，求圆面积的期望值。 解：这是均匀分布密度函数 经济数学基础第三篇第8章习题详解（二）练习8.51求练习8.4第题中随机变量的方差(X) 解：练习8.4第1题已求得期望E(X)11 D(X)EX-112 亦可用D(X)E(X2)-E(x)2(22+42+82+202)××11215

11、3.6-121332已知每次射击的命中率为0.6，如果进行10次射击，用X表示命中的次数， 求E(X)、D(X) 解：射击要么命中，要么不中，XB（10，0.6）即遵循二项分布 E(X)np10´0.66 D(X)npnp(1-p)10´0.6´(1-0.6)2.43在相同的条件下，用两种方法测量某零件的长度（单位：mm）由大量测量结果得到分布率如下表，其中p1、p2分别表示和1、2种方法的概率，试比较哪种方法的精确度较好。长度4.84.95.05.15.2p10.10.10.60.10.1p20.20.20.20.20.2 解：E(X) E(X1)4.8

12、0;0.1+4.9´0.1+5.0´0.6+5.1´0.1+5.2´0.15 E(X1)4.8´0.2+4.9´0.2+5.0´0.2+5.1´0.2+5.2´0.25 又D(X) D(X1)0.1(4.8-5.0)2+0.1(4.9-5.0)2+0.6(5.0-5.0)2+0.1(5.1-5.0)2+0.1(5.2-5.0)2 0.004+0.001+0.001+0.0040.01 D(X2)0.2(4.8-5.0)2+0.2(4.9-5.0)2+0.2(5.0-5.0)2+0.2(5.1-5.0)2+

13、0.2(5.2-5.0)2 0.008+0.002+0.002+0.0080.02 第一种方法方差小，精确度较好。4求练习8.4第4题中随机变量X的方差D(X) 解：第4题中随机变量X的密度函数为 5设随机变量X的密度为，求D(X) 解：先求E(X) 期望E(X) 则方差D(X) 练习8.61设XN(0,1)求P(1<X<2)，P(-1<X<1) 解：本题随机变量X服从标准正态分布N(0,1)则 P(1<X<2)f(2)f(1)0.9772-0.84130.1359 P(-1<X<1)f(1)- f(-1)；又f(-1)1-f(1) P(-1&l

14、t;X<1)f(1)- 1-f(1)2f(1)-12´0.8413-10.68262设XN(8,32)，求P(X>2.4) 解：设 P(X>2.4)PP(Y>-1.867)1-f(-1.867)1-(1-f1.867) f(1.867)0.96933乘以什么常数，可使变成正态概率密度函数？ 解：首先使变成需将乘以， 又表示，故在前还要乘 ，共乘以即可。4设XN(5.4) ，求a使得 （1）P(X<a)0.90；（2）P(|x-5|>a)0.01 解：（1）P(X<a)P(Y<)f()0.90，查表1.28，a7.56 （2）P(|x-5

15、|>a)P（|Y|>）P(Y>或Y<-) f()0.995；查表2.58，a5.165某大学学生入学数学成绩X（分），近似服从正态分布N(65,102)，求数学成绩在85分以上的学生约占该大学新生的百分之几？ 解：P(X>85)1-P(0£X<85) 1-P()1-P(-0.5£Y<2) 1-1-f(2)+01-0.97720.0228 成绩在85分以上学生约占大学新生的百分之二点二八。6设一大批产品的一级品率为20%，现在从中随机抽出100件，试求其中恰好有20件一级品的概率和一级品件数在1330之间的概率。 解：恰好有20件，即

16、X在（19.5，20.5）之间 X服从二项分布，即XB(100,0.2)于是E(X)np100´0.220 D(X)np(1-p)100´0.2´0.816；4 无论哪种分布当随机变量的个数n足够多时，都可以用正态分布近似 P(19.5<X<20.5)PP(-0.125<Y<0.125) f(0.125)- f(-0.125)f(0.125)-1-f(0.125)2f(0.125)-12´0.5498-1 0.0996 P(13<X<30)P()P(-1.75<Y<2.5) f(2.5)- f(-1.75)

17、f(2.5)-1-f(1.75) 0.9938-1+0.95990.9537习题81菜场根据以往零售某种蔬菜的经验知道，进货后，第1天售出的概率是50%，第10公斤的毛利是10元；第2天售出30%，每10公斤的毛利是5元，第3天能全部售出，其毛利只有每10公斤1元，求每10公斤毛利X的概率分布。 解：X1051P0.50.30.22设随机变量Y的概率分布为P(Yk)c()k；(k1,2,3)，试确定常数c，并求E(Y)，D(Y) 解：SPk1 c()1+ c()2+c()3c1 =1111 c E(Y)1´´()1+2´´()2+3´´

18、;()3 D(Y) 3按照规定，某种型号灯管的使用寿命超过5000小时为一级品，现已知一大批此种灯管中的一级品率为0.2，从中任意抽测10只，问这10只灯管中恰有k只为一级品的概率是多少？ 解：假如抽测到X只一级品，对灯管要么是一级品，要么不是，二者必居其一，是一级品的概率为0.2，不是的概率为1-0.20.8，所以X服从二项分布B（10,0.2） 10只灯管恰有k只为一级品的概率是 P(XK)(0.2)k(0.8)10-k；（k0,1,2,10） 或P(XK)(0.2)k(0.8)10-k；（k0,1,2,10）4其中书中的某一页上出现印刷错误的个数服从参数为0.5的泊松分布，求该页上至少有

19、1个印刷错误的概率。 解：设书中某页出现印刷错误的个数为X，X服从泊松分布，即Xp(l) l0.5，P(XK)e-le-0.5， P(X³1)1-P(X=0)=1-1-0.60650.39355设连续型随机变量X的密度函数为f(X) （1）试确定常数A； （2）求概率P（-2<X<0.5） （3）求E(X)，D(X) 解：（1） A （2）P(-2<X<0.5) （3）E(X) D(X)E(X2)-E(X)2 6某市每天的用电量不超过百万瓦，用Z表示每天的耗电率，即耗电率等于用电量/百万瓦，设Z具有密度函数f(z)若该市每天供应的电量只有80万瓦，求每天供应的

20、电量不够的概率，若每天的供电量为90万瓦呢？ 解：P(Z£0.8) P(z>0.8)1-P(z£0.8)1-0.97280.0272；不够的概率为0.0272 而 P(z£0.9)，P(Z>0.9)1-P(Z£0.9)0.0037； 仍不够7A、B两台机床同时生产一个产品，生产1000个产品所示的次品数分别用X、Y表示根据以往经验知道它们的概率分布为次品个数0123X的分布列0.70.10.10.1Y的分布列0.50.30.20 试比较两台机床的优劣。 解：E(X)0´0.7+1´0.1+2´0.1+3´

21、;0.10.6 E(Y)0´0.5+1´0.3+2´0.2+3´00.7 A机床出次品平均较少； A机床较优8设随机变量X的密度函数为f(X)且E(X)3/5，试确定系数a，b；并求D(X) 解：； E(X) ；f(x) D(X)E(X2)-E(X)2 9设随机变量X的密度函数为f(x) (a>0)求E(X)，D(X)，E，D 解：E(X) D(X) E(X-a)E(X)-a´a-a0 D(X-a)()2D(X)()2´a2a210设XN(m,s2)，求P(a<X<b)作变换Y，YN(0,1)，Y遵循标准正态分布 P(a<X<b)P()f()-f()11设XN(1,0.62)，求P(X>0)，P(0.2<X<1.8) 解：作变换Y P(X>0)P()P(Y>-1.667)1-P(Y<-1.667) 1-f(-1