测量(5测量误差的基本知识)

1、一、测量误差概述一、测量误差概述二、衡量测量精度的标准二、衡量测量精度的标准三、误差传播定律三、误差传播定律四、等精度直接观测平差四、等精度直接观测平差五、不等精度直接观测平差五、不等精度直接观测平差第第5 5章章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.1 5.1 测量误差概述测量误差概述XLii 何谓误差？误差就是某何谓误差？误差就是某未知量的观测值未知量的观测值与其与其真值真值的差数。该差的差数。该差数称为真误差。即数称为真误差。即xlvii式中式中v vi i为似真误差；为似真误差；l li i为观测值；为观测值；x x表示观测值的最或然值。表示观测值的最或然值。 一般情况下，某未知量

2、的真值无法求得，此时计算误差时，用观一般情况下，某未知量的真值无法求得，此时计算误差时，用观测值的测值的最或然值代替真值。最或然值代替真值。观测值观测值与其与其最或然值最或然值之差，称为似真误之差，称为似真误差。观测值的差。观测值的最或然值是接近于真值的最可靠值，将在本章最后一最或然值是接近于真值的最可靠值，将在本章最后一节讨论。节讨论。即即式中式中i i为为真误差；真误差；l li i为为观测值；观测值；X表示表示真值。真值。1 1、仪器误差、仪器误差：测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一定：测量工作中要使用测量仪器。任何仪器只具有一定限度的精密度，使观测值的精密度受到限制。限度的精密

3、度，使观测值的精密度受到限制。2 2、观测者误差、观测者误差：由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能力有一：由于观测者的视觉、听觉等感官的鉴别能力有一 定的局限，所以在仪器的安置、使用中会产生误差，定的局限，所以在仪器的安置、使用中会产生误差，如整平误差、照准误差、读数误差等如整平误差、照准误差、读数误差等。5.1.1 5.1.1 测量误差的来源测量误差的来源 产生测量误差的原因很多，其来源概括起来有以下三个方面。产生测量误差的原因很多，其来源概括起来有以下三个方面。3 3、外界条件的影响：、外界条件的影响：测量工作都是在一定的外界环境条件下进行测量工作都是在一定的外界环境条件下进行的，如温度、

4、风力、大气折光等因素，这些因素的差异和变化都会的，如温度、风力、大气折光等因素，这些因素的差异和变化都会直接对观测结果产生影响，必然给观测结果带来误差。直接对观测结果产生影响，必然给观测结果带来误差。通常把通常把仪器误差、观测者的技术条件（包括使用的仪器误差、观测者的技术条件（包括使用的方法）及外界条件方法）及外界条件这三方面因素综合起来，称为这三方面因素综合起来，称为观测条观测条件件。 观测条件相同的各次观测称为观测条件相同的各次观测称为。相反，。相反，观测条件之中，只要有一个不相同的各次观测称为观测条件之中，只要有一个不相同的各次观测称为。 5.1.2 测量误差的种类测量误差的种类 按测量

5、误差对观测结果影响性质的不同，可将测按测量误差对观测结果影响性质的不同，可将测量误差分为粗差、系统误差和偶然误差三类。量误差分为粗差、系统误差和偶然误差三类。 1 1、系统误差、系统误差 定义：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观定义：在相同的观测条件下，对某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定规律变化测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定规律变化的误差，称为系统误差的误差，称为系统误差。系统误差具有累积性，对观测结果的影响很系统误差具有累积性，对观测结果的影响很大，但它们的符号和大小有一定的规律。因此，大，但它们的符号和大小有一定的规律。因此，系统误差可以采用适

6、当的措施消除或减弱其影响。系统误差可以采用适当的措施消除或减弱其影响。通常可采用以下三种方法：通常可采用以下三种方法： (1)(1)观测前对仪器进行检校观测前对仪器进行检校 (2)(2)采用适当的观测方法，例如正倒镜观测法。采用适当的观测方法，例如正倒镜观测法。 (3)(3)研究系统误差的大小，事后对观测值加以改研究系统误差的大小，事后对观测值加以改 正。正。 定义：在相同的观测条件下对某量进行一系列观测，定义：在相同的观测条件下对某量进行一系列观测， 误差的出误差的出现的符号和大小都不一定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误现的符号和大小都不一定，表现出偶然性，这种误差称为偶然误差，又称随机误

7、差。例如，水准尺读数时的估读误差，经纬仪测差，又称随机误差。例如，水准尺读数时的估读误差，经纬仪测角的瞄准误差等等。对于单个偶然误差没有什么规律，但大量偶角的瞄准误差等等。对于单个偶然误差没有什么规律，但大量偶然误差则具有一定的统计规律。然误差则具有一定的统计规律。 abci=ai+bi+ci-180（i=1,2, 358）2 2、偶然误差、偶然误差【例例1】 在相同的观测条件下，对一个三角形三个内角重复观测了在相同的观测条件下，对一个三角形三个内角重复观测了100次，由于次，由于偶生误差的不可避免性，使得每次观测三角形内角之和不等于真值偶生误差的不可避免性，使得每次观测三角形内角之和不等于真

8、值180。用下。用下式计算真短式计算真短i，然后把这，然后把这100个真误差按其绝对值的大小排列，列于下表。个真误差按其绝对值的大小排列，列于下表。 负 误 差正 误 差误 差 区 间 d个 数k相 对 个 数k/n个 数k相 对 个 数k/n0 .0 0 .20 .2 0 .40 .4 0 .60 .6 0 .80 .8 1 .01 .0 1 .21 .2 1 .41 .4 1 .61 .6 以 上4540332317136400.1260.1120.0920.0640.0470.0360.0170.0110.0004641332116135200.1280.1150.0920.0590.0

9、450.0360.0140.0060.000总 和1800.5051770.495 180个三角形内角和真误差分布情况个三角形内角和真误差分布情况 上表用较直观的直方图表示。横坐标表示偶然误差上表用较直观的直方图表示。横坐标表示偶然误差 ，纵坐标，纵坐标表示误差出现的表示误差出现的相对个数相对个数 （又称频率）除以（又称频率）除以区间间隔区间间隔d （又（又称组距），即称组距），即频率频率/ / 组距组距，因此，因此每个矩形的面积每个矩形的面积等于该区间误差出等于该区间误差出现的频率现的频率 。+(频率频率/ 组距组距)00.20. d 40.60.81.01.21.41.6-0.4-0.6-

10、0.8-1.0-1.2-1.4-1.6-0.2k ki i/n /n (频率频率)nkinki本例组距本例组距: d =0.2(频率/ 组距)dnki/ 上图直方图顶端连线是一条对称的光滑曲线，称为高斯偶上图直方图顶端连线是一条对称的光滑曲线，称为高斯偶然误差分布曲线。在概率论中称正态分布曲线。然误差分布曲线。在概率论中称正态分布曲线。y=f ()ydi长方条面积长方条面积f (i) d是微是微小区间小区间( +d / 2, -d / 2)内的概率内的概率p (i) 偶然误差曲线偶然误差曲线正态分布曲线正态分布曲线由推导可知：由推导可知： 22hehf上图可知：上图可知：p (i)= f (i

11、) d = f (i) 1= f (i) ，故故 f ()可以理解为误差出现在可以理解为误差出现在 附近一个单位区间上的概率。附近一个单位区间上的概率。当当=0 时，时，hf)(为函数的最大值为函数的最大值f ()精度高精度高精度低精度低h=2h=1式中式中h为精度指数为精度指数e为自然对数的底为自然对数的底, e=2.718301. 有界性：有界性： 在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的在一定的条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限度；限度；2. 集中性：集中性： 绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多；3. 对称性：对称性： 绝对

12、值相等的正负误差出现的机会相等；绝对值相等的正负误差出现的机会相等；4. 抵偿性：抵偿性： 偶然误差的算术平均值趋近于零，即偶然误差的算术平均值趋近于零，即 021nlinnlinnnn偶然误差特性：偶然误差特性：结论：结论：在观测过程中，对于系统误差一般可以通过检校仪器、采用适当的观在观测过程中，对于系统误差一般可以通过检校仪器、采用适当的观测法以及事后对观测值加以计算改正，因此，偶然误差是测量误差理论主要研究测法以及事后对观测值加以计算改正，因此，偶然误差是测量误差理论主要研究对象。根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学处理，求出最接近于未知量真对象。根据偶然误差的特性对该组观测值进行数学

13、处理，求出最接近于未知量真值的估值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣，即评定精度。值的估值，称为最或是值；同时，评定观测结果质量的优劣，即评定精度。5.1.3. 观测值的精度与数字精度观测值的精度与数字精度 观测值接近真值的程度，称为观测值接近真值的程度，称为准确度准确度（accuracyaccuracy）。愈接近真值，其准确度）。愈接近真值，其准确度愈高。系统误差对观测值的准确度影响极大，因此，在观测前，应认真检校仪器，愈高。系统误差对观测值的准确度影响极大，因此，在观测前，应认真检校仪器，观测时采用适当的观测法，观测后对观测的结果加以计算改正，从而消除系统误观测时采用适当的观测法

14、，观测后对观测的结果加以计算改正，从而消除系统误差或减弱至最低可差或减弱至最低可以接受的程度。以接受的程度。 一组观测值之间相互符合的程度（或其离散程度），称为一组观测值之间相互符合的程度（或其离散程度），称为精密度精密度（precisionprecision）。一观测列的偶然误差大小反映出观测值的精密度。准确度与精）。一观测列的偶然误差大小反映出观测值的精密度。准确度与精密度两者均高的观测值才称得上高精度的观测值。所谓精度包含准确度和精密度。密度两者均高的观测值才称得上高精度的观测值。所谓精度包含准确度和精密度。 数字的精度是取决于小数点后的位数，相同单位的两个数，小数点后数字的精度是取决于

15、小数点后的位数，相同单位的两个数，小数点后位数越多，表示精度越高。因此小数点后位数不可随意取舍。例如，位数越多，表示精度越高。因此小数点后位数不可随意取舍。例如，17.62m与与17.621m，后者准确到，后者准确到mm，前者只准确到，前者只准确到cm。从这里可知：。从这里可知：17.62m与与17.620m，这两个数并不相等，这两个数并不相等，17.620m准确至毫米，毫米准确至毫米，毫米位为位为0。因此，对一个数字既不能随意添加。因此，对一个数字既不能随意添加0，也不能随意消去，也不能随意消去0。1 1、中误差、中误差 根据推导可知：精度指标根据推导可知：精度指标hnm5.2 5.2 衡量

16、观测值精度的标准衡量观测值精度的标准式中：式中：各偶然误差平方和，各偶然误差平方和， n偶然误差偶然误差 的个数。的个数。21mh式中式中 m表示该组观测值的精度，它表示该组观测值的精度，它代表该组观测值中任一个观测值代表该组观测值中任一个观测值的精度。的精度。根据推导可知偶然误差根据推导可知偶然误差分布曲线拐点的横坐标分布曲线拐点的横坐标 拐拐= = m m这就是中误差的几何意义。这就是中误差的几何意义。+m-my+P(|)m【例例2】 ：甲、乙两组，各自在同精度条件下对某一三角形的三个：甲、乙两组，各自在同精度条件下对某一三角形的三个内角内角 观测观测1010次，算得三角形闭合差次，算得三

17、角形闭合差i 如下：如下： 甲组：甲组：+30,-,-20,-40,+20, 0, -40,+30,+20,-30,-10 乙组：乙组：+10,-10,-60,+20,+20,+30,-50, 0, +30,-10 （上列数据单位均为秒）（上列数据单位均为秒） 试问哪一组观测值精度高？试问哪一组观测值精度高？试解：计算甲乙两组的平均误差进行比较：试解：计算甲乙两组的平均误差进行比较：24101030203040020402030|n甲24101030050302020601010|n乙 用平均误差衡量结果是：用平均误差衡量结果是：甲甲=乙乙。但是，乙组观测列中有较大的。但是，乙组观测列中有较大

18、的观测误差，乙组观测精度应该低于甲组，计算平均误差观测误差，乙组观测精度应该低于甲组，计算平均误差反映不出反映不出来，所以平均误差来，所以平均误差衡量观测值的精度是不可靠的。衡量观测值的精度是不可靠的。正确解法：用中误差公式计算得正确解法：用中误差公式计算得:27107200nm甲因此因此, ,甲组观测值的精度较乙组高。甲组观测值的精度较乙组高。m m甲甲= =2727乙甲mm30109000nm乙表示甲组中任意一个观测值的误差（或称单位观测值的中误差）表示甲组中任意一个观测值的误差（或称单位观测值的中误差）。 m m乙乙= =3030表示乙组中任意一个观测值的误差。表示乙组中任意一个观测值的

19、误差。 2、极限误差、极限误差定义定义：由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下，：由偶然误差的第一个特性可知，在一定的观测条件下， 偶然误差的绝对值不会超出一定的限值。这个限值就是偶然误差的绝对值不会超出一定的限值。这个限值就是 极限误差。极限误差。 在区间（在区间（-m-m，m m）内偶然误差出现的概率值为）内偶然误差出现的概率值为68.368.3。说明大于一倍中误差的说明大于一倍中误差的偶然误差出现的概率为偶然误差出现的概率为31.731.7。在区间（在区间（-2m-2m，2m2m）内偶然误差的概率值为）内偶然误差的概率值为95.495.4。说说明大于二倍中误差的明大于二倍中误差的

20、偶然误差出现的概率仅为偶然误差出现的概率仅为4.64.6。在实际测量中观测次数很有限，绝对值大于在实际测量中观测次数很有限，绝对值大于2m或或2m的误的误差出现机会很小，故取二倍或三倍中误差作为差出现机会很小，故取二倍或三倍中误差作为多采用多采用2m，即，即容容=2m 或或 容容=3m在区间（在区间（-3m-3m，3m3m）内偶然误差的概率值为）内偶然误差的概率值为99.799.7。说说明大于三倍中误差的明大于三倍中误差的偶然误差出现的概率仅为偶然误差出现的概率仅为0.30.3。对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完对于衡量精度来说，有时单靠中误差还不能完全表达观测结果的质量。例如，测得某两

21、段距离，一全表达观测结果的质量。例如，测得某两段距离，一段长段长200m200m，另一段长，另一段长1000m1000m，观测值的中误差均为，观测值的中误差均为0.2m 0.2m 。从表面上看，似乎二者精度相同，但就单位。从表面上看，似乎二者精度相同，但就单位长度来说，二者的精度并不相同。这时应采用另一种长度来说，二者的精度并不相同。这时应采用另一种衡量精度的标准，即相对误差。衡量精度的标准，即相对误差。3 3、相对误差、相对误差 相对误差：是中误差与观测值之比，是个无量纲数，相对误差：是中误差与观测值之比，是个无量纲数，在测量在测量 上通常将其分子化为上通常将其分子化为1 1。即用。即用K=

22、1/NK=1/N的形式来表示。的形式来表示。上例前者的相对中误差为上例前者的相对中误差为0.2/200=1/10000.2/200=1/1000，后者为，后者为0.2/1000=1/50000.2/1000=1/5000。显然，相对中误差愈小（分母愈大），。显然，相对中误差愈小（分母愈大），说明观测结果的精度愈高，反之愈低。说明观测结果的精度愈高，反之愈低。观测值的最或是值中误差中误差的相对误差 往返观测值的平均值往返较差往返较差的相对中误差观测值的最或是值闭合差闭合差的相对中误差相对中误差常用在距离与坐标误差的计算中。角度误差不用相对中误差常用在距离与坐标误差的计算中。角度误差不用相对中误差

23、，因角度误差与角度本身大小无关。相对中误差，因角度误差与角度本身大小无关。常用几种相对误差计算式：常用几种相对误差计算式：5.3 5.3 误差传播定律误差传播定律在实际测量工作中，某些量的大小往往不在实际测量工作中，某些量的大小往往不是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其是直接观测到的，而是间接观测到的，即观测其它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得它未知量，并通过一定的函数关系间接计算求得的。的。cosLD 非线性函数非线性函数 表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间表述观测值函数的中误差与观测值中误差之间关系的定律称为误差传播定律。关系的定律称为误差传播定律。例如：例如： h=a

24、-b h=a-b 线性函数线性函数 误差传播定律：误差传播定律：倍数函数：倍数函数： Z=KXZ=KXXZKmm则则【例例3】：在在1 1：500500地形图上量得某两点间的距离地形图上量得某两点间的距离d=234.5mm,d=234.5mm,其中误差其中误差 m md d= =0.2mm 0.2mm ，求该两点的，求该两点的地面水平距离地面水平距离D D 的值及其中误差的值及其中误差 m mD D 。解解: :mdD25.1172345. 0500500mmmdD10. 00002. 05005001.倍数函数和差函数和差函数 Z Z= =X X1 1X X2 2 且且X X1 1、X X2

25、 2独立。则独立。则22221XXZmmm【例例4】 ： 已知当水准仪距标尺已知当水准仪距标尺75m75m时，一次读数中误差时，一次读数中误差为为 （包括照准误差、气泡置中误差及水（包括照准误差、气泡置中误差及水准标尺刻划中误差），若以二倍中误差为容许误差，准标尺刻划中误差），若以二倍中误差为容许误差，试求普通水准测量观测试求普通水准测量观测n n站所得高差闭合差的容许误站所得高差闭合差的容许误差。差。mmm2读2.2.和差函数和差函数【解解】：水准测量每一站高差：水准测量每一站高差：则每站高差中误则每站高差中误差差).,2 , 1(nibahiii222读读读站mmmmmm8.222观测观测

26、n n站所得总高差站所得总高差nhhhh 21则则n n站总高差站总高差h h的总误差的总误差mmnnmm8.2站总若以二倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为若以二倍中误差为容许误差，则高差闭合差容许误差为mmnnn66 . 58 . 22）（容【例例5 】 ：DJ6型光学经纬仪观测角度型光学经纬仪观测角度，瞄准误差为，瞄准误差为m瞄瞄，读，读数误差为数误差为m读读，求，求(1)观测一个方向的中误差观测一个方向的中误差m方方；(2)半测回的半测回的测角中误差测角中误差 m半半(3)两个半测回较差的容许值两个半测回较差的容许值容容； (1)观测一个方向的中误差观测一个方向的中误差m方方 观

27、测一个方向包含瞄准误差m瞄与读数误差 m读，1.2286060vm瞄2222661 . 2读读瞄瞄方方mmm (2)半测回的测角中误差半测回的测角中误差 m半半 5 . 8262方半mm (3)两个半测回较差的容许值两个半测回较差的容许值容容 122262半mm容容=312=36 考虑到其他因素，测回法规定两个半测回较差的容许值 容=40 当和差函数为当和差函数为 y y=x1x2xn 设设x1、x2、xn的中误差分别为的中误差分别为m1、m2、mn时，则时，则222212nymmmm nmmy 即函数即函数y的中误差的平方等于各观测值的中误差的平方等于各观测值xi中误差的平方和。中误差的平方

28、和。当当x1、x2、xn为等精度观测值时，则为等精度观测值时，则 m1= m2 =m3= mn=m此时上式改变为此时上式改变为线性函数线性函数 Z=KZ=K1 1X X1 1+K+K2 2X X2 2+ +.+K.+Kn nX Xn n+K+K0 022222221221XnnXXZmKmKmKm 3.3.线性函数线性函数即线性函数中误差的平方，等于各常数与相应观测值中误差乘积的即线性函数中误差的平方，等于各常数与相应观测值中误差乘积的平方和。平方和。 【例例6】 对某量等精度观测对某量等精度观测n次，观测值为次，观测值为l l1、l l2l ln，设已知各观，设已知各观测值的中误差测值的中误

29、差m1=m2= mn=m，求等精度观测值算术平均值，求等精度观测值算术平均值x x及及其中误差其中误差M。【解解】等精度观测值算术平均值x nlnlllxn 21 上式表明，算术平均值的中误差比观测值中误差缩小了n倍，即算术平均值的精度比观测值精度提高n倍。测量工作中进行多余观测，取多次观测值的平均值作为最后的结果，就是这个道理。但是，当n增加到一定程度后(例如n=6) ，M值的减小的速度变得十分很慢，所以为了达到提高观测成果精度的目的，不能单靠无限制地增加观测次数，应综合采用提高仪器精度等级、选用合理的的观测方法及适当增加观测次数等措施，才是正确的途径。nlnlnlnx11121 上式可改写

30、为算术平均值x的中误差M2222222221221111mnmnnmnmnmnMn nmM一般函数一般函数),(21nxxxfZ )()()(22222221212nnZmxfmxfmxfm 4.4.一般函数一般函数【例例7 7】 测得两点地面斜距测得两点地面斜距L=225.850.06m，地面的倾斜角，地面的倾斜角= 17301，求两点间的高差，求两点间的高差h h及其中误差及其中误差m mh 。 【解】根据题意可写出计算高差根据题意可写出计算高差h公式为公式为 h=LsindhdLLhdhsinLhcosLh因为 所以上式变为 dLdLdhcossin将上式微分转为中误差，上式可写成222

31、22cossinmLmmLh2222343819537. 085.22506. 03007. 00042. 00039. 00003. 0mmh065. 0 现举现举2实例说明解题步骤：实例说明解题步骤：例例1：量得圆半径：量得圆半径R=31.3mm，其中误差其中误差mR=0.3mm, 求圆面积求圆面积 的的中误差。中误差。例例2：某房屋：某房屋, 长边量得结果长边量得结果: 800.02m, 短边量得结果短边量得结果: 40 0.01m 求房屋面积中误差。求房屋面积中误差。第一步：列出数学方程。第一步：列出数学方程。 例例1：S=R2 例例2： S=ab第二步：将方程进行微分，例第二步：将方

32、程进行微分，例2有有2个变量则须全微分。个变量则须全微分。 例例1： dS=2R dR 例例2： dS= a db + b da第三步：将微分转为中误差。第三步：将微分转为中误差。 例例1： mS= 2 R mR=2 3.1416 31.3 0.3=59mm 例例2：mmbmamabs13. 102. 04001. 080222222225.4 5.4 等精度直接观测值平差等精度直接观测值平差5.4.1.5.4.1.求最或然值求最或然值 设对某量进行了设对某量进行了n n次同精度观测，其真值为次同精度观测，其真值为X X，观测值为，观测值为n， 21，相应的真误差为，相应的真误差为n ，21则

33、则XX2211. . . . Xnn相加相加nX除以除以n nXLXnn式中：式中： L L为算术平均值为算术平均值nnLn21 XX2211. . . . Xnn根据偶然误差第四个特征，根据偶然误差第四个特征，。，于是时，当XLnn0即当观测次数即当观测次数n n无限多时，算术平均值无限多时，算术平均值就趋向于未知量的真值。当观测次数有限时就趋向于未知量的真值。当观测次数有限时，可以认为算术平均值是根据已有的观测数，可以认为算术平均值是根据已有的观测数据所能求得的最接近真值的近似值，称为最据所能求得的最接近真值的近似值，称为最或然值或然值( (或称最或是值或称最或是值) )，用最或然值作为未

34、，用最或然值作为未知量真值的估值。知量真值的估值。5.4.1 5.4.1 评定精度评定精度1 1、观测值中误差、观测值中误差前述可知：同精度观测值中误差为：前述可知：同精度观测值中误差为：nm 由于未知量的真值由于未知量的真值X X无法确知，真误差无法确知，真误差 也是未知也是未知数，故不能直接用上式求出中误差。实际工作中，多数，故不能直接用上式求出中误差。实际工作中，多利用观测值的似真误差利用观测值的似真误差 来计算观测值的中误差。来计算观测值的中误差。ivi似真误差似真误差：Lvii由由似真误差似真误差计算同精度观测值中误差：计算同精度观测值中误差：1nvvm2 2、最或然值的中误差、最或然值的中误差 设对某量进行了设对某量进行了n n次同精度观测，其观测值为次同精度观测，其观测值为 ，观测值中误差为，观测值中误差为m m，最或然值为，最或然值为L L。)21(nii， 即即nnnnnL11121 按中误差传播定律可得：按中误差传播定律可得：222222)1()1()1(mnmnmnM 故故nmM【例例8 8】设对某角进