2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第2讲相关性、最小二乘估计与统计案例

1、第 2 讲相关性、最小二乘估计与统计案例一、选择题1 在一组样本数据（X1,yi）,（X2,y2），（xn, yn）（ n 2, X1,X2,，xn不全相1等）的散点图中，若所有样本点（xi, yi）（i = 1,2,，n）都在直线 y=十+ 1 上，则这组样本数据的样本相关系数为（）1A1B. 0C.2D. 1答案 D2 .已知 x, y 取值如下表：x014568y1.31.85.66.17.49.3从所得的散点图分析可知：y 与 x 线性相关，且 y= 0.95x+ a,则().A.1.30B . 1.45C . 1.65D . 1.801 1解析 依题意得，x = 6X(0+ 1+ 4

2、+ 5+ 6+ 8) = 4, y = X(1.3+ 1.8 + 5.6+6.1+ 7.4+ 9.3)= 5.25.又直线 y= 0.95x + a 必过样本中心点(x , y )，即点(4,5.25)，于是有 5.25= 0.95X4+ a,由此解得 a= 1.45,选 B.答案 B3.设(X1, y1), (x2, y2)，,(xn, yn)是变量 x 和 y 的 n|个样本点，直线 I 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论正确的是().-，A.直线 l 过点（x , y）B.x 和 y 的相关系数为直线 I 的斜率C. x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之

3、间D. 当 n 为偶数时，分布在 I 两侧的样本点的个数一定相同解析 由样本的中心（x, y ）落在回归直线上可知 A 正确；x 和 y 的相关系数表示为 x 与 y 之间的线性相关程度，不表示直线 I 的斜率，故 B 错；x 和 y 的 相关系数应在一 1 到 1 之间，故 C 错；分布在回归直线两侧的样本点的个数并不绝对平均，即无论样本点个数是奇数还是偶数，故 D 错. 答案 AA. 63.6 万元B . 65.5 万元C. 67.7 万元D . 72.0 万元3.5（万元），49 + 26+ 39+ 54y 二4二 42(万元)，a=yb x=429.4X3.5=9.1，回归方程为 y=

4、 9.4x+ 9.1，当 x= 6（万元）时，y= 9.4X6+ 9.1 = 65.5（万元）.答案 B5.为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5 对父子的身高数据如下:父亲身咼 x/cm174176176176178儿子身高 y/cm175175176177177解析A. y=x 11C. y= 88+解析由题意得 x =B. y=x+1D. y= 176174+ 176+ 176+ 176+ 178=176(cm)，4 某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表:则 y 对 x 的线性回归方程为（）.=176（cm）,由于（x , y ）一定满足线性回归方程，经验证知选 C

5、.答案 C6 下列说法：1将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；2设有一个回归方程 y= 3-5x,变量 x 增加一个单位时，y 平均增加 5 个单位;3线性回归方程 y= bx+ a 必过（x , y ）;4在一个 2X2 列联表中，由计算得X= 13.079,则有 99%以上的把握认为这 两个变量间有关系.其中错误的个数是（）.A. 0B . 1C . 2D. 3解析 只有错误，应该是 y 平均减少 5 个单位.答案 B二、填空题7._ 已知施化肥量 x 与水稻产量 y 的试验数据如下表，则变量 x 与变量 y 是_相关（填“正”或“负”）.施化肥量 x1520253

6、0354045水稻产量 y330345365405445450455解析 因为散点图能直观地反映两个变量是否具有相关关系，所以画出散点图175+ 175+ 176+ 177+ 177如图所示:通过观察图象可知变量 x 与变量 y 是正相关.答案正8.考古学家通过始祖鸟化石标本发现：其股骨长度x(cm)与肱骨长度 y(cm)的线性回归方程为 y= 1.197X 3.660,由此估计，当股骨长度为 50 cm 时，肱骨长 度的估计值为_cm.解析 根据线性回归方程 y= 1.197X 3.660,将 x= 50 代入得 y= 56.19,贝 U 肱骨长度的估计值为 56.19 cm.答案 56.1

7、99.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取 50 名学生，得到如下 2X2 列联表：理科文科男1310女720250X(13X2010X7)2x23X27X20X30 心4.844.则认为选修文科与性别有关系的可能性约为 _ .解析TX-4.844,这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该 断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断正确的可能性约 为 95%.答案 95%10. 某数学老师身高 176 cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是 173 cm、170 cm和 182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预 测他孙子

8、的身高为_ cm.解析 由题意父亲身高 x cm 与儿子身高 y cm 对应关系如下表：x173170176y170176182173+ 170+ 176170+ 176+ 182=176,(xix)(yiy )=(173-173)X(170-176)+(170-173)X(176-176)+i=1(176- 173)(182- 176)= 18,y - b x = 176- 173= 3.线性回归直线方程 y = bx+ a= x+ 3.可估计孙子身咼为 182+ 3= 185(cm).答案 185三、解答题11.某班主任对全班 50 名学生进行了作业量多少的调查.数据如下表:认为作业多认为

9、作业不多合计喜欢玩游戏189不喜欢玩游戏815合计(1)请完善上表中所缺的有关数据;(2)试通过计算说明有多大把握认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系?解(1)认为作业多认为作业不多合计喜欢玩游戏18927不喜欢玩游戏81523合计2624502n ad - bc(2)将表中的数据代入公式xa+ b c+d a+c b+ d即说明有 95%以上的把握认为喜欢玩游戏与作业量的多少有关系.(xi- x )2= (173 - 173)2+ (170 - 173)2+ (176 - 173)2=1818.b8 =1. a=50X18X15-8X926X24X27X235.0593.8412.下表提供了某

10、厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据.x3456y2.5344.5(1) 请画出上表数据的散点图；(2) 请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于 x 的线性回归方程 y= bx+ a；(3) 已知该厂技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤.试根据求 出的线性回归方程，预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标 准煤？（参考数值：3X2.5+ 4X3+ 5X4+ 6X4.5 = 66.5）解(1)由题设所给数据，可得散点图如图所示.4(2)由对照数据，计算得：x2= 86,i = 14已知 x

11、iyi_ 66.5,i _ 1所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为:4_xiyi 4 xi_166.54X4.5X3.5 一b _2_ 0 74864X4.52.2 2xi 4 xi _ 13+4+5+644.5（吨），y2.5+ 3 + 4 + 4.5 _43.5（吨）.y( (能耗：吨标准煤能耗：吨标准煤) )a_yb x_3.50.7X4.5_0.35.因此，所求的线性回归方程为 尸 0.7x+ 0.35.由(2)的回归方程及技改前生产 100 吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能 耗为：90- (0.7X100+ 0.35)= 19.65(吨标准煤).13. 某农科所对冬季昼夜温差大

12、小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进 行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室 每天每100 颗种子中的发芽数，得到如下资料：日期12 月 1 日12 月 2 日12 月 3 日12 月 4 日12 月 5 日温差 x/C101113128发芽数 y/颗2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这五组数据中选取 2 组，用剩下的 3 组数据求线性回归方程，再对被选取的 2 组数据进行检验.(1) 求选取的 2 组数据恰好是不相邻 2 天数据的概率；若选取的是 12 月 1 日与 12 月 5 日的两组数据， 请根据 12 月 2 日至

13、 12 月 4 日的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 y= bx+ a.解(1)设抽到不相邻两组数据为事件 A,因为从 5 组数据中选取 2 组数据共 有 10 种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4 种，43所以 P(A)= 1-=(2) 由数据，求得 x= 12, y= 27.11X25+13X30+12X26=977，112+132+122=434，5-由公式，求得 b = 2， a= y b x=- 3.5所以 y 关于 x 的线性回归方程为 y=十一 3.14.有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85 分为优秀，85 分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的列联表.优秀非优秀总计甲班10乙班30合计 1052已知从全部 105 人中随机抽取 1 人为优秀的概率为.(1) 请完成上面的列联表；(2) 根据列联表的数据，若按 95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关 系”；(3) 若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10 名学生从2 到 11 进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号试求抽到 6 号或 10 号的概率.优秀非优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105(2)根据列联表中的数据，得到105X10X30-