分类讨论谨防漏解

1、分类讨论，防止漏解作者：朱 绍 平单位：永安中学二五年十一月分类讨论，防止漏解分类讨论求解是一种重要的数学思想方法，学生在解答有关题目时，常因思考不周，造成漏解、以偏概全的错误。现举出几例进行剖析。一、按零点分类例1化简x-1+x-3。错解：原式x-1+x-3=2x-4 。剖析：解含多个绝对值符号的题最常用也是最一般的方法是用零点分段法进行分类讨论，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，再在各区间内化简即可。上面解法只是其中一种情况。正解：令x-1=0或x-30，得零点x1或x3共两点，将数轴分成3个部分，即x1，1x3，x3，讨论得4-2x，（x1）原式=

2、 2， （1x32x-4。（x3）二、按性质分类例2解方程（x+1）2（2x-1）2。错解：两边开平方，得x+12x-1，解之得x2。剖析：由平方根的意义可知，两个数的平方相等，这两个数可能相等，也可能互为相反数，应分两种情况讨论，错解只得到了这两数相等，就漏掉了一种情况，于是漏掉了一个解。这里，一般的做法是通过先移项，再运用因式分解法求解，便无需讨论就能得出答案x12，x20。切记在解方程时一般不要施行两边开平方运算。例3若5a+1和a-19是数m的平方根，求m的值。错解：因5a+1和a-19都是m的平方根，则它们互为相反数，即5a+1+a-190，a=3，所以5a+116，a-19=-16

3、，因此m=（±16）2256。剖析：错解只注意5a+1和a-19互为相反数，而忘记了它们还可能相等，因此本题需分两种情况来讨论。正解：当5a+1与a-19互为相反数时，解法同上，m256；当5a+1=a-19时，a=-5，则5a+1-24，故m（-24）2576。综合可知，m256或576。三、按存在性分类例4若一个直角三角形的两边长分别是5cm和12cm，那么这个三角形的周长是多少？错解：在ABC中，C90°，AC=12cm，BC5cm，则由勾股定理得AB，所以CABCAB+BC+AC13+5+1230（cm）。剖析：题中只交待了直角三角形的两边，并没有说明是两条直角边，

4、它也可以是一条直角边和一条斜边，因此应分两种情况分类求解：当5cm和12cm为两直角边时，解法同上；当12cm为斜边时，另一直角边为，此时CABC17+（cm）。因此ABC的周长为30cm或17+cm。例5在ABC中，AB5，BC13，AD是BC边上的高，AD=4，求CD和sinC。错解：CD=10，sinC=。剖析：题目中没有画图，作题时应首先画出符合条件的所有情况的图形，然后据图解题。本例符合条件的图形存在两种，一种是B为锐角，一种是B为钝角，错解中只作了B为锐角一种，遗漏了B为钝角的情况。B为钝角时，CD16，sinC。例6若一个三角形的三边长均满足方程x2-6x+80，则此三角形的周长

5、是多少？错解：解方程x2-6x+80得x12，x24，所以三角形的周长为C1=4+4+2=10，C22+2+48。剖析：当求出方程的解x12，x24之后，再求三角形周长时，应该分四种情况进行讨论。错解没有考虑长为2，2，4的三条线段不能构成三角形，几何教学中，当我们作有关三角形的计算时，其实都暗含着一个潜在假设，就是三角形的存在性，即是说三角形存在条件是解决有关三角形计算问题的前提条件，错解就忽视了这个条件，致使出现错误，同时错解还遗漏了两种等边三角形的情况。正解：解方程x2-6x+80得x12，x24，分四种情况讨论如下：当三边长为4，4，2时，C4+4+210；当三边长为2，2，4时，因为

6、2+24，所以不能构成三角形；当三边长为2，2，2时，C2+2+26；当三边长为4，4，4时，C4+4+4=12。综上所述，满足题目条件的三角形的周长为6或10或12。四、按条件分类例7如果3x-4y=0，则= 错解：由3x-4y=0，得3x=4y，所以=。剖析：原题没有给出y的取值范围，而当y=0时，无意义，所以应分情况讨论求解。正解：分两种情况：当y0时，由3x-4y=0得3x=4y，所以=；当y=0时，无意义。例8已知，求k的值。错解：由等比性质，得k=。剖析：初看这个题目，大部分学生马上就想到了运用等比性质去解，于是得到k=2，以为大功告成，殊不知忽视了等比性质成立的条件，因此解题时应

7、分类讨论。正解：分两种情况：当a+b+c0时，由，得；当a+b+c=0时，由于a+b=-c，所以。综合，所以k=2或-1。例9解关于x的不等式2(x-1)mx。错解：移项，合并，得(2-m)x2。 系数化为1，得x>。剖析：因为x的系数2-m的符号不确定，需分类讨论：当2-m=0时，有0>2，不等式无解；当2-m>0时，有x>；当2-m<0时，有x<。例10解方程(x-1)(x+2)=2(x+2)。错解：两边同除以x+2，得x-1=2，所以x=3。剖析：错解中两边同除以x+2，相当于附加了一个条件x+20，实际上当x+2=0时方程也是成立的，所以就漏掉了一个根，正确的解法应当分x+20和x+2=0两种情况，得到原方程的解为x1=3，x2=-2。常规的解法是先移项，然后运用因式分解法求解，这样就可以避开讨论，从而很容易得出其正确解。切记在解方程时千万不要随便约去含有未知数的项。总而言之，学生在解题时