信号及其描述

1、在生产实践和科学实验中，需要观测大量的现象及其参量的变化。这些变化量可以通过测量装置变成容易测量、记录和分析的电信号。一个信号包含着反映被测系统的状态或特性的某些有用的信息，它是人们认识客观事物内在规律、研究事物之间的相互关系、预测未来发展的依据。这些信号通常用时间的函数（或序列）来表述该函数的图形称为信号的波形。本章学习要求：1.了解信号分类方法2.掌握信号波形分析方法3.掌握信号频谱分析方法4.了解其它信号分析方法第一节信号的分类与描述1.1 信号的分类为了深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的。以不同的角度来看待信号，可以将信号进行如图1.1-1的分类。图1.1-1 信号的

2、分类描述1.1.1确定性信号与随机信号确定性信号可以用明确的数学关系式描述的信号称为确定性信号。它可以进一步分为周期信号、非周期信号与准周期信号。图1.1-1 信号的分类描述周期信号是指经过一定时间可以重复出现的信号，满足条件。 x ( t ) = x ( t + nT )(1.1-1)式中T周期，T=2/0；0基频； n=0,±1, 例如，下面图1.1-2是一个50Hz正弦波信号10sin(2×50t)的波形，信号周期为1/50=0.02秒。图1.1-2 50Hz正弦波信号波形机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往也是一种周期性运动。例如，图1.1-4是某钢厂减速机上测

3、得的振动信号波形(测点3)，可以近似地看作为周期信号。图1.1-3 某钢厂减速机振动测点布置图图1.1-4 某钢厂减速机测点3振动信号波形非周期信号是不会重复出现的信号。例如，锤子的敲击力、承载缆绳断裂时的应力变化、热电偶插入加热炉中温度的变化过程等，这些信号都属于瞬变非周期信号，并且可用数学关系式描述。例如，图1.1-5是单自由度振动模型在脉冲力作用下的响应。 图1.1-5 单自由度振动模型脉冲响应信号波形准周期信号是非周期信号的特例，处于周期与非周期的边缘情况，是由有限个周期信号合成的，但各周期信号的频率相互间不是公倍数关系，其合成信号不满足周期条件，例如 是两个正弦信号的合成，其频率比不

4、是有理数，不成谐波关系。下面是其信号波形。图1.1-6 准周期信号波形这种信号往往出现于通信、振动系统，应用于机械转子振动分析、齿轮噪声分析、语音分析等场合。注：l 最小公倍数（Least common multiple，缩写LCM），对于两个整数来说，指两个数共有倍数中最小的一个。l 最大公因数（Greatest common divisor，简写为GCD），指某几个整数共有因子中最大的一个。l 通常所说的非周期信号是指瞬变非周期信号，不包括准周期信号。但如果在判断题中出现，这时的非周期信号即包括瞬变非周期信号，也包括准周期信号。(2)非确定性信号 非确定性信号不能用数学关系式描述，其幅值、

5、相位变化是不可预知的，所描述的物理现象是一种随机过程。随机信号具有某些统计特征，可以用概率统计方法由其过去来估计其未来。随机信号所描述的现象是随机过程。自然界中有许多随机过程，例如，汽车奔驰时所产生的振动、飞机在大气流中的浮动、树叶随风飘荡、环境噪声等。 图1.1-7 加工过程中螺纹车床主轴受环境影响的振动信号波形随机过程有平稳过程和非平稳随机过程之分。所谓平稳随机过程是指其统计特征参数不随时间而变化的随机过程，否则为非平稳随机过程。在平稳随机过程中，若任意单个样本函数的时间平均统计特征等于该过程的几何平均统计特征，这样的平稳随机过程叫各态历经（遍历性）随机过程。然而，必须指出的是，实际物理过

6、程往往是很复杂的，既无理想的确定性，也无理想的非确定性，而是相互参杂的。1.1.2 能量信号与功率信号(1)能量信号在所分析的区间（-，），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件(1.1-2)关于信号的能量，可作如下解释：对于电信号，通常是电压或电流，电压在已知区间（t1，t2）内消耗在电阻上的能量(1.1-3)对于电流，能量 (1.1-4)在上面每一种情况下，能量都是正比于信号平方的积分。讨论消耗在电阻上的能量往往是很方便的，因为当R=1时，上述两式具有相同形式，采用这种规定时，就称方程(1.1-5)为任意信号x(t) 的“能量”。如矩形脉冲信号、衰减指数函数等均为能量信号。 (2)功率信

7、号 有许多信号，如周期信号、随机信号等，它们在区间（-，）内能量不是有限值。在这种情况下，研究信号的平均功率更为合适。在区间（t1，t2）内，信号的平均功率 (1.1-6)若区间变为无穷大时，上式仍然是一个有限值，信号具有有限的平均功率，称之为功率信号。具体讲，功率信号满足条件 (1.1-7)对比上式，显而易见，一个能量信号具有零平均功率，而一个功率信号具有无限大能量。1.1.3 时限信号与频限信号时域有限信号是在有限区间（t1，t2 ）内有定义，而其在有限区间外恒等于零。例如，矩形脉冲、三角脉冲、余弦脉冲等。而周期信号、指数衰减信号、随机过程等，则称为时域无限信号。 图1.1-8 时域有限信

8、号频域有限信号是指信号经过傅里叶变换，在频域内占据一定带宽（f1 ，f2），其外恒等于零。例如，正弦信号、sinc（t）函数、限带白噪声等，为频域有限信号。白噪声、理想采样信号等，则为频域无限信号。 图1.1-9 频域有限信号时间有限信号的频谱，在频率轴上可以延伸至无限远。由时、频域对称性可推论，一个具有有限带宽的信号，必然在时间轴上延伸至无限远处。显然，一个信号不能够在时域和频域都是有限的。1.1.4 连续时间信号与离散时间信号连续时间信号：在所讨论的时间间隔内，对于任意时间值(除若干个第一类间断点外)都可给出确定的函数值，此类信号称为连续时间信号或模拟信号。连续信号的幅值可以是连续的也可以

9、是不连续的，但独立变量（时间）取值是连续的。若时间变量和幅值均为连续的信号称为模拟信号。 图1.1-10连续信号离散时间信号：离散时间信号在时间上是离散的。只是在某些不连续的规定瞬时给出函数值，而在其它时间没有定义的信号。 离散信号又可分为两种：时间离散而幅值连续的信号称为采样信号；时间离散且幅值离散（量化）的信号称为数字信号。图1.1-11 离散时间信号1.1.5 物理可实现信号物理可实现信号又称为单边信号，满足条件t0时，x(t) =0，即在时刻小于零的一侧全为零，信号完全由时刻大于零的一侧确定。 在实际中出现的信号，大量的是物理可实现信号，因为这种信号反映了物理上的因果关系。实际中所能测

10、得的信号，许多都是由一个激发脉冲作用于一个物理系统之后所输出的信号。例如，切削过程，可以把机床、刀具、工件构成的工艺系统作为一个物理系统，把工件上的硬质点或切削刀具上积屑瘤的突变等，作为振源脉冲，仅仅在该脉冲作用于系统之后，振动传感器才有描述刀具振动的输出。 图1.1-12 物理可实现信号所谓物理系统，具有这样一种性质，当激发脉冲作用于系统之前，系统是不会有响应的，换句话说，在零时刻之前，没有输入脉冲，则输出为零，这种性质反映了物理上的因果关系。因此，一个信号要通过一个物理系统来实现，就必须满足x（t）= 0（t0），这就是把满足这一条件的信号称之为物理可实现信号的原因。同理，对于离散信号而言

11、，满足x（n）= 0（n0）条件的序列，即称为因果序列。 1.1.6几个判断信号分类的题目(1)任何周期信号都由频率不同，但成整倍数比的离散的谐波叠加而成。 (2)非周期性变化的信号就是随机信号。 (3)各态历经随机过程是平稳随机过程。 (4)平稳随机过程的时间平均统计特征等于该过程的集合平均统计持征。 (5)两个周期比不等于有理数的周期信号之和是周期信号。(6)所有随机信号都是非周期信号。(7)所有周期信号都是功率信号。(8)所有非周期信号都是能量信号。(9)模拟信号的幅值一定是连续的。(10)离散信号即就是数字信号。答案：(1)-(5)×××、(6)-(10)

12、 ××××其中：(1)频率为有理数比的就满足要求；(6)非周期信号为可用确定数学关系式表达的信号，而随机信号则是不能用明确数学关系式表达的信号。问：随机初相位的正弦信号为周期信号吗？1.2 信号的时域描述与分析信号作为一定物理过程（现象）的表示，它包含着丰富的信息，为了从中提取某种有用信息，需要对信号进行必要的分析和处理，以全面了解信号的特性。所谓信号分析就是采用各种物理的或数学的方法提取有用信息的过程，而信号的描述方法提供了对信号进行各种不同变量域的数学描述，表征了信号的数据特征，它是信号分析的基础。通常以四个变量域来描述信号，即时间域（简称时域）、频

13、率域（简称频域）、幅值域和时延域。以时间作为自变量的信号表达，称为信号的时域描述。时域描述是信号最直接的描述方法，它反映了信号的幅值随时间变化的过程，从时域描述图形中可以知道信号的时域特征参数，即周期、峰值、均值、方差、均方值等。它们反映了信号变化的快慢和波动情况，因此时域描述比较直观、形象、便于观察和记录，用示波器、万用表等普通仪器就可以进行分析。 以信号的频率作为自变量的信号表达，称为信号的频域描述。信号的频域描述可以揭示信号的频率结构，即组成信号的各频率分量的幅值、相位与频率的对应关系，因此在动态测试技术中得到广泛应用。信号的幅值域描述是以信号幅值为自变量的信号表达方式，它反映了信号中不

14、同强度幅值的分布情况，常用于随机信号的统计分析。由于随机信号的幅值具有随机性，通常用概率密度函数来描述，概率密度函数反映信号幅值在某一范围内出现的概率，提供了随机信号沿幅值域分布的信息，它是随机信号的主要特征参数之一。以时间和频率的联合函数来同时描述信号在不同时间和频率的能量密度或强度，称为信号的时延描述。它是非平稳随机信号分析的有效工具，可以同时反映其时间和频率信息，揭示非平稳随机信号所代表的被测物理量的本质，常用于图像处理、语音处理、医学、故障诊断等信号分析中。信号的各种描述方法是从不同的角度观察和描述同一信号，并不改变信号的实质，它们之间可通过一定的数学关系进行转换，例如傅立叶变换可以将

15、信号描述从时域转换到频域，而傅立叶反变换可以从频域转换到时域。1.2.1 信号的时域描述直接观测或记录到的信号，一般是以时间为独立变量的，称其为信号的时域描述。信号的时域描述能反映信号幅值随时间变化的关系。信号时域分析(波形分析)的一个重要功能是根据信号的分类和各类信号的特点确定信号的类型。然后再根据信号类型选用合适的信号分析方法。(a) periodic signal 周期信号 (b)噪声信号 (c)打击信号图1.2-1 三种不同特征的信号1.2.2时域波形分析及应用(1)周期T对周期信号来说，可以用时域分析来确定信号的周期，也就是计算相邻的两个信号波峰的时间差。 图1.2-2 信号周期测量

16、(2)均值    均值Ex(t)表示集合平均值或数学期望值。基于随机过程的各态历经性，可用时间间隔T内的幅值平均值表示，即 (1.2-1)均值又或称之为直流分量，表达了信号变化的中心趋势。图1.2-3 信号的均值(3)均方值     信号x(t)的均方值Ex2(t)，或称为平均功率，其表达式为 (1.2-2)值表达了信号的强度，其正平方根值又称为有效值，也是信号的平均能量的一种表达。在工程信号测量中一般仪器的表头示值显示的就是信号的均方值。图1.2-4 信号的均方值(4)方差    信号x(t)的方差定义

17、为 (1.2-3)称为均方差或标准差。 可以证明 (1.2-4)描述了信号的波动量； 描述了信号的静态量。方差反映了信号绕均值的波动程度。 图1.2-5 信号的方差(5)时域波形分析的应用信号的类型识别、信号的基本参数识别、超门限报警。1.3 信号的频域描述与分析1.3.1信号的频域描述信号的时域描述能反映信号幅值随时间变化的关系，而不能明显解释信号的频率组成关系。为了研究信号的频率结构和各频率成分的幅值、相位关系，应对信号进行频谱分析，把信号的时域描述通过适当方法变成信号的频域描述，即是以频率为独立变量来表示信号。信号的频域描述在动态测试技术中得到广泛应用。1.3.2频域分析与时域分析的区别

18、与联系图1.3.2-1是一个周期方波的一种时域描述，而式(1.3-1)则是其时域描述的另一种形式 (1.3-1)若该周期方波应用傅里叶级数展开，即得 (1.3-2)图1.3.2-1 周期方波由式(1.3-2)得，该周期方波是由一系列幅值和频率不等、相角为零的正弦信号叠加而成的。此式除t之外尚有另一变量为各正弦成分的频率。若视t为参变量，以为独立变量，则此式即为该周期方波的频率描述。在信号分析中，将组成信号的各频率成分找出来，按序排列，得到信号的“频谱”。若以频率为横坐标、分别以幅值或相位为纵坐标，便分别得到信号的幅值谱或相频谱。图1.3.2-2示出了该周期方波的时域图形、幅值谱和相频谱三者的关

19、系。图1.3.2-2 周期方波的描述信号时域描述直观地反映出信号瞬时值随时间变化的情况；频域描述则反映信号的频率组成及其幅值、相角之大小。为了解决不同问题，往往需要掌握信号不同方面的特征，因而可采用不同的描述方式。例如，评定机器振动烈度，需用振动速度的均方根值来作为判据。若速度信号采用时域描述，就能很快求得均方根值。而在寻找振源时，需要掌握振动信号的频率分量，这就需采用频域描述。实际上，两种描述方法能相互转换，而且包含同样的信息量。1.4 傅里叶级数的三角函数展开式1.4.1 频谱分析的概念信号频谱分析是采用傅里叶变换将时域信号x(t)变换为频域信号X(f)，从而帮助人们从另一个角度来了解信号

20、的特征。时域信号x(t)的傅氏变换为(1.4-1)式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f为频率。例如，50Hz正弦波信号 x(t)=10sin(2×50t)(1.4-2)其频谱函数为 (1.4-3)转换过程如下图所示。 x(t) 傅里叶变换 X(f)图1.4-1 正弦波形的频谱转换 信号的时域描述只能反映信号的幅值随时间的变化情况，除只有一个频率分量的简谐波外，一般很难明确揭示信号的频率组成和各频率分量的大小。例如，下图是一受噪声干扰的多频率成分周期信号，从信号波形上很难看出其特征，但从信号的功率谱上却可以判断并识别出信号中的四个周期分量和它们的大小。信号的频谱X

21、(f)代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，它能够提供比时域信号波形更直观、丰富的信息。图1.4-2 受噪声干扰的多频率成分周期信号波形和频谱在许多场合，用信号的频率来描述事物的特征也更简洁和明确。例如，下表是不同音阶的时域波形和频谱，频率值的大小直观地反映了音阶的高低。 频率播放波形频谱131147165175494 图1.4-3 电子琴中采用的正弦波信号波形和频谱数据 1.4.2 傅里叶级数的三角函数展开式周期信号是经过一定时间后可以重复出现的信号，满足条件 x ( t ) = x ( t + nT )(1.4-5)从数学分析已知，任一周期信号x(t)在有限区间（t，t+T）上满足狄里

22、赫利条件时，即信号在定义周期0，T内单调连续或只有有限个第一类间断点；在此定义周期内只有有限个极限点；x(t)是绝对可积；则信号x(t)可以展开成傅立叶级数。傅立叶级数有两种表达式，即三角函数展开式和复指数函数展开式。三角函数形式(1.4-6)式中0周期信号基频的角频率；T信号周期；a0，an，bn傅立叶系数；直流分量幅值为 (1.4-7)各余弦分量幅值为 (1.4-8)各正弦分量幅值为 (1.4-9)利用三角函数的和差化积公式，周期信号的三角函数展开式还可以写为下面的形式 (1.4-10)直流分量幅值为 A0 = a0(1.4-11)各频率分量幅值为 (1.4-12)各频率分量的相位为 (1

23、.4-13)式中T周期，T=2/0； 式中0基波圆频率,0=2f0； 式中f0基波频率； 式中n=0,±1, ； 式中,为信号的傅里叶系数，表示信号在频率fn处的成分大小。式（1.4-6）和（1.4-10）实际描述了周期信号x(t)的频率结构，表明周期信号是由一个常值分量a0和无穷多个不同频率的谐波分量叠加而成的。由于n是整数序列，当n=1时，称为一次谐波分量（基波），基波的频率与信号的频率相同；当n1时，称为n次谐波，各高次谐波分量的频率都是0的整数倍。工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以fn为横坐标、为纵坐标画图，绘出的曲线图称为实频虚频谱图；以fn为横坐标、为纵坐标画图，绘出

24、的曲线图称为幅值相位谱；以fn为横坐标、An2为纵坐标画图，绘出的曲线图称为功率谱。如下图所示。 图1.4-4 信号的频谱表示 频谱是构成信号的各频率分量的集合，它完整地表示了信号的频率结构，即信号由哪些谐波组成，各谐波分量的幅值大小及初始相位，从而揭示了信号的频率信息。对周期信号来说，信号的谱线只会出现在0,f1,f2,fn等离散频率点上，这种频谱称为离散谱。 1.4.3 举例例如，有周期方波信号 (1.4-14)根据公式先求出a0，an，bn (1.4-15)有 (1.4-16)其波形、幅值谱和相位谱分别如下图所示。 图1.4-5 方波信号的波形、幅值谱和相位谱1.5傅里叶级数的复指数函数

25、展开式1.5.1复指数函数展开式及复频谱在实际应用中，特别是公式推导中，常将周期信号展成复指数函数式。由欧拉公式 (1.5-1)得、将上式代入式子 (1.5-2)得 (1.5-3)令、得 (1.5-4)上式可合写成 (1.5-5)这就是傅里叶级数的复指数形式。由前面分析得 (1.5-6)在一般情况下Cn是复数，可以写成 (1.5-7)的关系图称为幅频谱图及相频谱图，统称复频谱图。由于在(-+)范围内变化，这种频谱称为双边谱。分别以Cn的实部或虚部与频率的关系作幅频图，称为实频谱图和虚频谱图。1.5.2 三角函数形式频谱与复指数函数频谱下面举例说明。|Cn|比较傅里叶级数的两种展开形式可知：l

26、复指数函数形式的频谱为双边谱（从-到+）；l 三角函数形式的频谱为单边谱（从0到+）；l 两种频谱各谐波幅值在量值上有确定的关系，即， 。在式(1.5-5)中，n取正、负值。当n为负值时，谐波频率n0为“负频率”。出现“负”的频率，可以理解为：角速度按其旋转方向可以有正有负。一个向量的实部可以看成是两个旋转方向相反的矢量在其实轴上投影之和，而虚部则为其在虚轴上投影之差。1.6 周期信号的频谱特点由以上可知周期信号的频谱特点：（1）周期信号的频谱是离散谱；（2）周期信号的频率成分是基频的整数倍；（3）满足狄里赫利条件的周期信号，其谐波幅值总的趋势是随谐波频率的增大而减小。1.7准周期信号及其频谱

27、1.7.1 准周期信号的概念准周期信号是非周期信号的特例，处于周期与非周期的边缘情况，是由有限个周期信号合成的，但各周期信号的频率相互间不是公倍数关系，其合成信号不满足周期条件，例如 是两个正弦信号的合成，其频率比不是有理数，不成谐波关系。下面是其信号波形。图1.1-6 准周期信号波形这种信号往往出现于通信、振动系统，应用于机械转子振动分析、齿轮噪声分析、语音分析等场合。1.7.2准周期信号的频谱由准周期信号的定义知，它的频谱是离散的。多个独立振源激励起某对象的振动往往就是准周期信号。通常所说的非周期信号，不包括准周期信号。例如1.8 非周期信号的频谱分析非周期信号是在时间上不会重复出现的信号

28、，包括准周期信号和瞬变非周期信号两种，其频谱各有独自的特点。以下如不特别指出，所提的非周期信号均指瞬变非周期信号。非周期信号一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析是利用傅里叶变换进行的。由前面分析得，周期为T0的信号x(t)其频谱是离散的。当x(t)的周期T0时，该信号就变成非周期信号了。对应的，周期信号频谱谱线的频率间隔=0=2/T00，谱线无限靠近，变量连续取值以致离散谱线的顶点最后演变成一条连续曲线。所以非周期信号的谱线是连续的。可以将非周期信号理解为无限多个、频率无限接近的频率成分所组成。前面由傅里叶级数得当T0时，d， n0，则，上式变为 (1.8-

29、1)(1.8-2)与周期信号相似，非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波和。所不同的是，由于非周期信号的周期，基频，它包含了从零到无穷大的所有频率分量；各频率分量的幅值为X()d/(2)，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。 非周期信号x(t)的傅里叶变换X(f)是复数，所以有 (1.8-3)式中|X(f)|信号在频率f处的幅值谱密度；  信号在频率f处的相位差。 工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以f为横坐标，ReX(f)、ImX(f)为纵坐标画图，绘出的曲线图称为时频虚频密度谱图；以f为横坐标，|X(f)|、为纵坐标画图，绘出的曲线图称为幅值

30、相位密度谱。以f为横坐标，|X(f)|2为纵坐标画图，绘出的曲线图称为功率密度谱，如下图所示。 图1.8-1 信号的频谱表示 综上所述，非周期信号频谱的特点是：1）非周期信号可分解成许多不同频率的正弦、余弦分量之和，但它包含了从零到无穷大的所有频率分量；2）非周期信号的频谱是连续的；3）非周期信号的频谱由频谱密度函数来描述，表示单位频宽上的幅值和相位（即单位频宽内所包含的能量）；4）非周期信号频域描述的数学基础是傅立叶变换。1.9 傅里叶变换的性质时域信号x(t)的傅氏变换为 (1.9-1)式中X(f)为信号的频域表示，x(t)为信号的时域表示，f为频率。 非周期信号的时域描述和频域描述依靠傅

31、立叶变换建立起彼此一一对应的关系。熟悉傅立叶变换的主要性质，有助于理解信号在某个域的特征、运算和变化将在另一域中产生何种相应的特征、运算和变化，并为复杂工程问题的分析和简化提供帮助。下面简要介绍傅立叶变换的几个主要性质，其他性质可参考有关信号分析书籍。(1)对称性(2)线性叠加性在处理多个叠加信号的傅里叶变换时，可对其逐项进行变换，然后用相加的方法实现。若 x1(t) X1(f)，x2(t) X2(f) 则 c1x1(t)+c2x2(t) c1X1(f)+c2X2(f) (3)时间尺度改变性信号时域波形被压缩或扩展，则对应的频谱要扩展或压缩。若x(t) X(f)，则x(kt) 1/kX(f/k

32、)(4)时移特性若x(t) X(f)，则x(t±t0) e±j2ft0 X(f) (5)频移特性若x(t) X(f)，则x(t) e±j2ft0 X(f ±f0) (6)卷积特性若 x1(t) X1(f)，x2(t) X2(f) 则 x1(t)* x2(t) X1(f)X2(f)， x1(t)x2(t) X1(f)*X2(f)卷积积分的概念 卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与频率域变换分析，它是沟通时域频域的一个桥梁。因此了解卷积积分的数学物理含义是很必要的。在系统分析中，系统输入输出和系统特性的作用

33、关系在时间域就体现为卷积积分的关系，如下图所示 用公式表示有 y(t) = x(t) * h(t)函数x(t)与h(t)的卷积积分定义为 时域卷积定理 如果： h(t) -傅里叶变换-> H(f) x(t) -傅里叶变换-> X(f)则： x(t)*h(t) <=傅里叶变换=>  X(f)H(f)此称为时域卷积定理，它说明时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积，既在时间域中两信号的卷积，等效于在频域中频谱中相乘。频域卷积定理 如果： H(f) -傅里叶逆变换-> h(t) X(f) -傅里叶逆变换-> x(t)则： X(f)*H(f)  <=傅里叶逆变