[理学]结构力学ppt课件

1、第五章第五章 虚功原理与构造位移计算虚功原理与构造位移计算 1 1 运用虚力原理求刚体体系的位移运用虚力原理求刚体体系的位移 2 2 构造位移计算的普通公式构造位移计算的普通公式 3 3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 4 4 荷载作用下的位移计算举例荷载作用下的位移计算举例 5 5 图乘法图乘法 6 6 温度作用时的位移计算温度作用时的位移计算 7 7 互等定理互等定理1 运用虚力原理求刚体体系的位运用虚力原理求刚体体系的位移移1.1.构造位移计算概述构造位移计算概述 2.2.虚功原理的另一种运用方式虚功原理的另一种运用方式-虚力原理虚力原理3.3.支座挪动时静定构造的位移计算支座

2、挪动时静定构造的位移计算1.构造位移计算概述构造位移计算概述n位移的概念：构造在荷载、温度变化和资料膨胀、支座沉降和制位移的概念：构造在荷载、温度变化和资料膨胀、支座沉降和制造误差等各种要素作用下发生变形，因此构造上个点的位置会有造误差等各种要素作用下发生变形，因此构造上个点的位置会有变动。这种位置的变动称为位移。变动。这种位置的变动称为位移。 n构造的位移通常有两种：截面的挪动构造的位移通常有两种：截面的挪动-线位移；截面的转动线位移；截面的转动-角位移。角位移。DC CDDCFP AAAPAxAy铁路工程技术铁路工程技术规范规定规范规定:构造位移计算的目的：构造位移计算的目的：(1) 刚度

3、要求刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度 1/700 和和1/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。最大层间位移高度。最大层间位移 1/800 层高。层高。(2) 超静定、动力和稳定计算超静定、动力和稳定计算(3施工要求施工要求为超静定构造的内力分析如第为超静定构造的内力分析如第6章力法等打好根底利章力法等打好根底利用位移条件建立补充方程。用位移条件建立补充方程。2.虚功原理的另一种运用方式虚功原理的另一种运用方式-虚力原理虚力

4、原理 虚功原理的关键是位移与力系是独立无关的。因此，可以把位虚功原理的关键是位移与力系是独立无关的。因此，可以把位移看成是虚设的，也可以把力系看成是虚设的，本部分正是把移看成是虚设的，也可以把力系看成是虚设的，本部分正是把力系看作是虚设的，求刚体体系的位移。力系看作是虚设的，求刚体体系的位移。步骤：步骤：1.在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反在拟求位移的方向上虚设单位荷载，利用平衡条件求支反力。力。2.利用虚力原理列出虚力方程进展求解，由于是在所求位移利用虚力原理列出虚力方程进展求解，由于是在所求位移处设置单位荷载，因此，这种解法又称单位荷载法。处设置单位荷载，因此，这种解法又

5、称单位荷载法。abABC1c?P=1ABCab1R知知1c求求虚功方程虚功方程设虚力形状设虚力形状abR0bPaR110cR1111cab小结：小结： 1方式是虚功方程，本质是几何方程；方式是虚功方程，本质是几何方程；2在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与知位移相在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；应的支座反力。构造一个平衡力系；3特点是用静力平衡条件处理几何问题。特点是用静力平衡条件处理几何问题。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。单位位移法的虚功方程单位位移法的虚功方程 平衡方程平衡方程单位荷载法的虚

6、功方程单位荷载法的虚功方程 几何方程几何方程 第一种本书称为第一种本书称为“虚位移原理，而将第二虚位移原理，而将第二种运用称为种运用称为“虚力原理。更确切的说法为，两虚力原理。更确切的说法为，两种运用的根据是上述两原理的必要性命题。上述种运用的根据是上述两原理的必要性命题。上述两原理都是充分、必要性命题。两原理都是充分、必要性命题。 虚位移原理虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是一个力系平衡的充分必要条件是:对对 恣意协调位移恣意协调位移,虚功方程成立虚功方程成立. 虚力原理虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是一个位移是协调的充分必要条件是:对对 恣意平衡力系恣意平衡力系,虚功方程成立

7、。虚功方程成立。3.支座位移时静定构造的位移计算支座位移时静定构造的位移计算1C点的竖向位移点的竖向位移c2杆杆CD的转角的转角l3l 23lABCDABCD13143ABCD1l 21l2l 23知位移知位移Ac求求:cAc 11 103cAc Acc31 02112AclAcl 21 所得正号阐明位移方所得正号阐明位移方向与假设的单位力方向向与假设的单位力方向一致。一致。求解步求解步骤骤1沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；3解方程得解方程得kkcR 定出方向。定出方向。2建立虚功方程建立虚功方程01kkcR2 构造位移计算的普通公式构造位移计算的普通公

8、式 1.部分变形时静定构造的位移计算举例部分变形时静定构造的位移计算举例2.部分变形时的位移公式部分变形时的位移公式3.构造位移计算的普通公式构造位移计算的普通公式4.位移计算的普通步骤位移计算的普通步骤 5.广义位移和虚设形状广义位移和虚设形状dBAaamaaBAdm1aaABMiiaMsin1虚功方程：虚功方程：01dMmdMmBAiiBAQdQ1AQsin1Q01dQQdQQ 1. 例例1、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种缘处由于某种缘由产生相对转角由产生相对转角d，试求，试求A点在点在ii方方向的位移向的位移 。m 例例2、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种缘由处由于某种缘由

9、产生相对剪位移产生相对剪位移d，试求，试求A点在点在ii方方向的位移向的位移 。Q 例例3、悬臂梁在截面、悬臂梁在截面B处由于某种缘由产生轴向位移处由于某种缘由产生轴向位移d 试求试求A点在点在方向的位移方向的位移 。NBABAii NNBA 1NN由平衡条件：由平衡条件：cos1N虚功方程：虚功方程：01dNNdNN 当截面当截面B同时产生三种相对位移时，在同时产生三种相对位移时，在ii方向所产生的位移方向所产生的位移 ，即是三者的叠加，有：即是三者的叠加，有：dNdQdMNQMd由刚体虚功原理来推导部分到整体。由刚体虚功原理来推导部分到整体。2.部分变形时的位移计算公式部分变形时的位移计算

10、公式根本思绪：根本思绪：dsdddRii ddsddsddRdsR11三种变形：三种变形：在刚性杆中，取微段在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析部分变形设为变形体，分析部分变形所引起的位移。所引起的位移。dsRdsddsddsddsdddRiiddsddsddRds 1Q,N,M2微段两端相对位移：微段两端相对位移：续根本思绪：设续根本思绪：设,0ds 微段的变形以截面微段的变形以截面B左右两端的相对位移的左右两端的相对位移的方式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。方式出现，即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。3运用刚体虚功原理求位移运用刚体虚功原理求位移d 即前例的结

11、论。即前例的结论。dQdNdMdQNM或或ds)QNM(d3.构造位移计算的普通公式构造位移计算的普通公式iids)QNM(d根据叠加原理，一根杆件各个微段变形引起的位移总和：根据叠加原理，一根杆件各个微段变形引起的位移总和：()dMNQds 假设构造由多个杆件组成，那么整个构造变形引起某点的位移为：假设构造由多个杆件组成，那么整个构造变形引起某点的位移为：ds)QNM(假设构造的支座还有位移，那么总的位移为：假设构造的支座还有位移，那么总的位移为：kkcRds)QNM(这里的积分号表示沿杆件长度积分，总和号表示对构造中各杆求和。其中最后一项表示给定支座位移Ck的影响。构造位移计算的普通公式还

12、可用变形体的虚功原理导出：外虚功内虚功，kkcRds)QNM(适用范围与特点：适用范围与特点：2 方式上是虚功方程，本质是几何方程。方式上是虚功方程，本质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：关于公式普遍性的讨论：1变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。2变形缘由：荷载与非荷载。变形缘由：荷载与非荷载。3构造类型：各种杆件构造。构造类型：各种杆件构造。4资料种类：各种变形固体资料。资料种类：各种变形固体资料。1 适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。kkc

13、Rds)QNM(1c2cdsds1t2tKK 11R2RdsddsdddsdsdsMdsNdsQ外虚功：外虚功：kkecR1W内虚功：内虚功：dsQNMWi变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在，等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 。即：。即：dsQNMcRkk14.位移计算的普通步骤位移计算的普通步骤:1c2c1t2tKK 11R2R实践变外形状虚力形状kkcRds)QNM(1) 建立虚力形状：在待求位移方向上加单位荷载；建立虚力形状：在待求

14、位移方向上加单位荷载；(2) 求虚力形状的单位荷载作用下，根据平衡条件，求出一切求虚力形状的单位荷载作用下，根据平衡条件，求出一切的内力及反力的内力及反力(3) 用位移公式计算所求位移，留意正负号问题。力与变形方向用位移公式计算所求位移，留意正负号问题。力与变形方向一致时乘积取正，否那么为负。计算出的位移结果为正值时，一致时乘积取正，否那么为负。计算出的位移结果为正值时，那么阐明所求位移与单位荷载方向一致，负值时那么阐明实践那么阐明所求位移与单位荷载方向一致，负值时那么阐明实践位移与单位荷载方向相反。位移与单位荷载方向相反。 kR.Q.N.M5.5.广义位移的计算广义位移的计算 本章所讨论的位

15、移可以引申为广义位移：它既可以是某点沿某一方向的线位移或某一截面的角位移，也可以是某两个截面的相对位移等。为了可以运用位移计算的普通公式，虚设单位荷载必需与所求位移产生虚功，因此，虚设单位荷载应与广义位移相一致。如P162表5-1广义位移和广义单位荷载例如所示。作功的两方面要素：力、位移。与力相应的因子，称为广义力作功的两方面要素：力、位移。与力相应的因子，称为广义力F；与位移相应的因子，称为广义位移与位移相应的因子，称为广义位移。广义力与广义位移的共轭关系是：它们的乘积是虚功。即：广义力与广义位移的共轭关系是：它们的乘积是虚功。即：W=F1广义力是单个力广义力是单个力P，那么广义位移是该力的

16、作用点的全位移在，那么广义位移是该力的作用点的全位移在力的方向上的分量。力的方向上的分量。Pm2广义力是一个力偶，那么广义位移是它所作用的截面的转角广义力是一个力偶，那么广义位移是它所作用的截面的转角。3假设广义力是等值、反向的一对力假设广义力是等值、反向的一对力PPPttABBAW=PA+PB=P A+B=P这里这里是与广义力相应的广义位移。是与广义力相应的广义位移。 表示AB两点间距的改动，即AB两 点的相对位移。4假设广义力是一对等值、反向的力偶mABmmABW=mA+mB=m A+ B=m这里这里是与广义力相应的广义位移。是与广义力相应的广义位移。表示表示AB两截面的相对转角。两截面的

17、相对转角。广义位移的计算广义位移的计算 ()ABABWFFF 广义力是等值、反广义力是等值、反向的一对力向的一对力F桁架构造，桁架构造，在在C、D上作上作用与杆垂直的用与杆垂直的等值反向的两等值反向的两个力个力F()CDCDCDWFFFFdd CDEDECd 广义力为力偶广义力为力偶M，广义位移为，广义位移为CD杆的转角杆的转角WMMF d5两种情况的功两种情况的功3 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 1.1.计算步骤计算步骤2.2.各类构造的位移公式各类构造的位移公式 3.3.截面平均切应变截面平均切应变 和系数和系数k k 0研讨对象：静定构造、线性弹性资料。研讨对象：静定构造、线

18、性弹性资料。ds)QNM(重点在于处理荷载作用下应变重点在于处理荷载作用下应变 的表达式。的表达式。、2由上面的内力计算应变，其表达式由资料力学知由上面的内力计算应变，其表达式由资料力学知PPPMNEIEAQkGAk-为截面外形系数为截面外形系数1.29101AA( 3 ) 荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式PPPMMNNkQQdsdsdsEIEAGA 1 1、计算步骤、计算步骤1在荷载作用下建立在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载的方程，可经由荷载内力内力应力应力应变应变 过程推导应变表达式。过程推导应变表达式。.PPPMN Q2 2、各类构造的位移计算公式、各类构造的位移计算

19、公式1 1梁与刚架：由于梁和刚架是以弯曲为主要变形，因此位梁与刚架：由于梁和刚架是以弯曲为主要变形，因此位移计算可简化为移计算可简化为 PMMdsEI 2 2桁架：桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面桁架：桁架中杆件只受轴力作用，且每根杆件的截面面积、轴力均为常数，故位移计算可简化为积、轴力均为常数，故位移计算可简化为 PPPNNNNNN ldsdsEAEAEA 4 4拱：对于拱构造，当压力线与拱轴线相近时，应思索拱：对于拱构造，当压力线与拱轴线相近时，应思索弯曲变形和轴向变形，即弯曲变形和轴向变形，即 PPMMNNdsdsEIEA 3 3组合构造：桁梁混合构造中，一些杆件以弯曲为主，一

20、组合构造：桁梁混合构造中，一些杆件以弯曲为主，一些杆件只受轴力，故位移计算可简化为些杆件只受轴力，故位移计算可简化为 PPMMNN ldsEIEA 3 3、截面平均切应变、截面平均切应变 和系数和系数k k 0根据截面切应变的分布函数 ，运用虚功原理推得截面平均切应变为：根据荷载引起的剪力求出切应变，代入上式可进一步推倒出截面外形系数k的公式，根据不同的截面外形，系数k可做如下取值：矩形 6/5圆形 10/9薄壁圆环形 2工字形或箱形 A/A(腹板)( )y01ASdAIbPQ SGGIbPQ SIb222AASkdAIbPQkGA2AIy dAASydAQPdWQds4 荷载作用下的位移计算

21、举例荷载作用下的位移计算举例1.1.梁的位移计算梁的位移计算2.2.曲杆的位移计算曲杆的位移计算q2l2lACB(a) 实践形状实践形状xP=1ACB2l2l(b) 虚设形状虚设形状AC段段2lx00NP0MP0QP0NxM1QCB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Qx1. 1. 梁的位移计算。试计算悬臂梁梁的位移计算。试计算悬臂梁A A点的竖向位移点的竖向位移1列出两种形状的内力方程：列出两种形状的内力方程：,EICAC段段2lx00NP0MP0QP0N xM1QCB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Q2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算将

22、上面各式代入位移公式分段积分计算AC段段2lx0在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段段lx2lllPP2l2ldxGAQQkdxEIMMl2lPM2l2lEIdx2lx2qxdxEIMM EI384ql7192l7EI2q44PPPMMNNkQQdsdsdsEIEAGA CB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Ql2lPM2l2lEIdx2lx2qxdxEIMM EI384ql7192l7EI2q44 l2lPQ2l2lGA20ql3GAdx2lxq12 . 1dxGAQQkGA20ql3EI384ql724QM设为矩形截

23、面设为矩形截面 k=1.23讨论：讨论： 比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。GAqlEIqlQM20338472424223. 83847203GAlEIEIqlGAqlMQ设资料的泊松比设资料的泊松比 , 由资料力学公式由资料力学公式 。 313812GE设矩形截面的宽度为设矩形截面的宽度为b、高度为、高度为h，那么有，那么有,12bhI ,bhA3代入上式代入上式22283. 11213823. 823. 8lhlhGAlEIMQ%32. 7,51%;83. 1,101MQMQlhlh时当时当对于普通的梁可以忽略剪切变形对位移的影响，但对于深梁那么不可

24、。对于普通的梁可以忽略剪切变形对位移的影响，但对于深梁那么不可。PP=12.2.曲杆的位移计算：求图示曲杆曲杆的位移计算：求图示曲杆1/41/4圆弧顶点的竖向位移圆弧顶点的竖向位移。解：解：1虚拟单位荷载虚拟单位荷载虚拟荷载虚拟荷载3位移公式为位移公式为ds=Rddds钢筋混凝土构造钢筋混凝土构造G0.4E矩形截面矩形截面,k=1.2,I/A=h2/1212001MN4001MQ2=MNARI2412=MQRhGAREIk 可见剪切变形和轴向变形可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形计。但对于深梁剪切

25、变形引起的位移不可忽略引起的位移不可忽略.2实践荷载实践荷载h101R如如2121RhsinPRMPcosPQPsinPNPsinRMsinN cosQdsGAQkQdsEANNdsEIMMPPP2022023cossindGAkPRdEAPREIPRGAkPREAPREIPR4443QNMPl/2l/2EIABx1x2例：求图示等截面梁例：求图示等截面梁B端转角。端转角。m=1积分常可用图形相乘来替代2MP 须分段写须分段写)20(2)(lxPxxMP)2(2)()(lxlxlPxMP)0()(lxlxxMlPBdxEIMM0llldxEIlxxlPdxEIlxPx2201)(2)(1)(2

26、EIPl162解：解：1虚拟单位荷载虚拟单位荷载普通公式普通公式荷载位移公式荷载位移公式kkcRds)QNM(PPPMMNNkQQdsdsdsEIEAGA 5 图乘法图乘法 1.图乘法及其运用条件图乘法及其运用条件 2.几种常见图形的面积和形心位置几种常见图形的面积和形心位置 3.运用图乘法时的几个详细问题运用图乘法时的几个详细问题 kidsEIMMkiCEIdxMMEI1yEIC1APEIydxEIMMCAxtgEI01ABAkdxxMtgEI1BAkMdxxtgMEIi1是直线kidxEIMM直杆MiMi=xtgyxMkdxxyCx0Ayc=x0tg为防止微分运算，以下引见一种计算方法为防

27、止微分运算，以下引见一种计算方法-图乘法。以下图为某图乘法。以下图为某直杆段直杆段 AB AB 的两个弯矩图，其中有一个图形为直线的两个弯矩图，其中有一个图形为直线, ,假设抗弯刚度假设抗弯刚度 EI EI 为常数，那么可进展以下计算：为常数，那么可进展以下计算： 面积面积A A与竖标与竖标yCyC在杆的同侧，在杆的同侧，AyCAyC取正号，否那么取负号。取正号，否那么取负号。注：注：当图乘法的适用条件不满足时的处置方法：当图乘法的适用条件不满足时的处置方法：a)a)曲杆或曲杆或EI=EIEI=EIx x时，只能用积分法求位移；时，只能用积分法求位移； 表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。表示对

28、各杆和各杆段分别图乘再相加。 图乘法的运用条件：图乘法的运用条件：a aEI=EI=常数；等截面直杆；常数；等截面直杆； b b 两个弯矩图至少有一个是直线。两个弯矩图至少有一个是直线。 c c竖标竖标yCyC应取自直线图应取自直线图中，对应另一图形的形心处。中，对应另一图形的形心处。b)b)当当EIEI分段为常数或分段为常数或M M、MpMp均非直线时，应分段图乘再叠均非直线时，应分段图乘再叠加。加。(a+l)/3(b+l)/3A=hl/2labhl/2l/2h二次抛物线二次抛物线A=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线A=hl/3二次抛物线二次抛物线A=2hl/3

29、4l/5l/5hh三次抛物线三次抛物线A=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线次抛物线A=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点2.2.几种常见图形的面积和形心位置确实定方法几种常见图形的面积和形心位置确实定方法 P175P175图图5-175-173.3.运用图乘法时的几个详细问题运用图乘法时的几个详细问题1.假设两个图形都是直线图形假设两个图形都是直线图形,那么标距可任取自那么标距可任取自其中一个图形。其中一个图形。3.3.如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复杂，可分解为简单图形. .2,2,假设一个图形为曲线，另一个图形为折线，那假设一个图形为

30、曲线，另一个图形为折线，那么应分段思索。么应分段思索。(1) 曲曲-折组合折组合1 1223 3diKjjMMxAyA yA yA y1A2A3A1A2A3A单位荷载弯矩图由假设干直线段组成时，单位荷载弯矩图由假设干直线段组成时，就应该分段图乘。就应该分段图乘。(2) 梯梯-梯同侧组合梯同侧组合1A1 12 2diKMM xAyAy3)2(3)2(21dcydcy2A两个梯形相乘时，不用找出梯形的形心，两个梯形相乘时，不用找出梯形的形心，而将一个梯形分解为两个三角形，然后而将一个梯形分解为两个三角形，然后分别与另一梯形图乘。分别与另一梯形图乘。(3) 梯梯-梯异侧组合梯异侧组合1A1y2A2y

31、ABCDabcdKM图图M图图b c取取负负值值1 12 2diKMM xAyAy3)2(3)2(21dcydcy两个图形都呈直线变化，但均含有不两个图形都呈直线变化，但均含有不同符号的两部分，图乘时也将其中一同符号的两部分，图乘时也将其中一图形分解为三角形。图形分解为三角形。(4) 阶梯形截面杆阶梯形截面杆331 1221 12 23 3djjiKjjA yM MA yAyA yxEIEIE IE IE II I1 1I I2 2I I3 31A2A2A当当EIEI分段为常数时，应分段图乘再叠加分段为常数时，应分段图乘再叠加=+抛物线非规范图形的分解抛物线非规范图形的分解 MAMBqa2/8

32、MAMBdxqa2/8ABMAMBaqABMAMBqa2/8aMAMBdxqa2/8ABaMAMBABq=+(5)均布荷载作用区均布荷载作用区段的弯矩图与直线段的弯矩图与直线段图乘。段图乘。PPaaa例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4M3243122223 2222324aaPa aaaPaEIPaEI （）a/2a/2PaaaEI343211？结果中的正号表示的实践方向与结果中的正号表示的实践方向与P的方向一样，即竖直向下。的方向一样，即竖直向下。Pl/2l/2C例：求图示梁C点的挠度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123PlEIC212EIPl4853Pl65l

33、lEIyC22210w5Pl/6？（）例例. 设设 EI 为常数，求为常数，求 和和 。Cy B 2l2l解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图BAq281qlPM图图CABFP=1M图图4l)(38452)485()81232(142EIqllqllEICy 对吗？对吗？CABM图图121EIqlqllEIB3224121)8132(1 BAq281qlPM图图结果中的负号结果中的负号表示表示B 的实践方的实践方向与的方向向与的方向相反，即逆时针方相反，即逆时针方向。向。例例. 知知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架C、D两点间隔两点间隔的改动的改动 。CD 解：

34、作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图231238()12cC DA yqllhE IE IqhlE I hyc2A例例. 知知 EI 为常数，求刚架为常数，求刚架A点的竖向位点的竖向位移移 ，并绘出刚架的变形曲线。，并绘出刚架的变形曲线。Ay FP解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图在在 图求面积，在图求面积，在 图取竖标，有：图取竖标，有：MPMPP3P11322224()16cAyAyF lF lllllEIEIEIF lEI M图图EI2EIPM图图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPlFP绘制变形图时，应根据弯矩图判别杆件

35、的绘制变形图时，应根据弯矩图判别杆件的凹凸方向，留意反弯点的利用。如：凹凸方向，留意反弯点的利用。如：PM图图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP例例. 知知 EI 为常数，求为常数，求 。Cy ABCq2l2l解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图A12lM图图解法一：解法一：24111()3222()24CyqlllEIqlEI A22qlB结果正确否？结果正确否？?A22ql82qlBCPM图图A12lM图图解法二：解法二：)(1285)128364(1)2438323121282(144422EIqlqlqlEIlqlllqllEICy

36、A22ql82qlBC结果正确否？结果正确否？?解法三：解法三：A12lM图图A82ql22ql322ql)(38417)432232()68221()32221(14222EIqllqlllqlllqllEICy 22ql82ql结果正确否？结果正确否？解法四：解法四：A22ql82qlBCPM图图A12lM图图22411()324117()( )3288384CyqlllEIlqllqlEI 结果正确否？结果正确否？例：试求图示伸臂梁例：试求图示伸臂梁A A端的角位移端的角位移AA及及C C端的端的竖向位移竖向位移CVCV。解：做出解：做出MPMP图和图和 图分图分别如图别如图b b、c

37、c所示。所示。M425 10EIKN m 将图将图b b与图与图c c相乘那么得相乘那么得411148 615 1023A 49.6 10rad 结果中的负号表示结果中的负号表示A 的实践方向与的实践方向与的方向相反，即逆的方向相反，即逆时针方向。时针方向。332.88 100.6525 1033.5325 10 m33.5 103.5( )mmmBC段在均布荷载和集段在均布荷载和集中荷载作用下，其弯矩图中荷载作用下，其弯矩图不是规范的抛物线图形。不是规范的抛物线图形。求cv作 图并相乘那么得M=+=+均布荷载按简支梁进展叠加均布荷载按简支梁进展叠加 。集中荷载、均布荷载分别做集中荷载、均布荷

38、载分别做弯矩图，然后进展叠加弯矩图，然后进展叠加 。例例. 知：知： E、I、A为常数，求为常数，求 。Cy ABCFP2l2laD解：作荷载内力图和单位荷载内力图解：作荷载内力图和单位荷载内力图03PPPPd21211()2243422484lPPCyMMNN lsEIEAF lFF lF allaEIEAEIEAABCFP2laD4PlFPM2PNFFP2lABC12laD4lM21NF2l例例. 知知 CD、BD杆的杆的 和和AC杆的杆的 为常数，为常数，求求 。Dy 11AE22IEFPABCD11AE11AE22IEaaaPP112211232PPPP2211221(2)(2)2(1

39、22)412()()233cPDyAyNN lFaFaE AE IE AF aF aF aaF aaE IE AE I 2+11aFP+ FPP2FFP a解：作荷载和单位荷载的内力图解：作荷载和单位荷载的内力图例例. 知知 EI 为常数，求为常数，求 。Cy 解：作荷载和单位荷载的内力图解：作荷载和单位荷载的内力图)(1284)832(3)821(83)2831(14222EIqlllqlllqlllqlEICy MPM分解分解6温度作用时的位移计算温度作用时的位移计算 一、关于温度变化的假定一、关于温度变化的假定第一，温度沿杆件长度均匀分布；第一，温度沿杆件长度均匀分布； 第二，温度沿截面

40、高度直线变化。第二，温度沿截面高度直线变化。 二、静定构造温度变形的特征二、静定构造温度变形的特征 静定构造当温度发生变化时，各杆件均能自在变形静定构造当温度发生变化时，各杆件均能自在变形但不产生内力，同样可采用单位荷载法。由于上但不产生内力，同样可采用单位荷载法。由于上述第一点假设，温度沿杆长度均匀分布，杆件不能够述第一点假设，温度沿杆长度均匀分布，杆件不能够出现剪切变形即微段出现剪切变形即微段d=0，同时留意到实践形状，同时留意到实践形状的支座位移为零。的支座位移为零。ddPPPMMNNkQQdsdsdsEIEAGAMN u 因此，位移公式可进一步简化为因此，位移公式可进一步简化为 式中，

41、式中，dq 和和du为实践温度形状下，因资料为实践温度形状下，因资料热胀冷缩所引起的各微段的弯曲变形和轴热胀冷缩所引起的各微段的弯曲变形和轴向变形。只需能求出向变形。只需能求出dq 和和du的表达式，即的表达式，即可利用上式求得构造的位移。可利用上式求得构造的位移。三、关于三、关于du的计算表达式的计算表达式截取一微段截取一微段ds ,截截面变形之后仍坚持面变形之后仍坚持为平面。其上侧、为平面。其上侧、下侧形心轴处纤维下侧形心轴处纤维伸长分别为伸长分别为du1 = at1dsdu2 = at2dsdu = at0ds式中，式中，a为资料的温为资料的温度线膨胀系数。度线膨胀系数。图示构造，设外侧

42、温度升高图示构造，设外侧温度升高 ，内侧温度升高，内侧温度升高2t1t按几何关系可得中性轴按几何关系可得中性轴温度的变化为温度的变化为hththtthhtt211212110 )(当截面对称于形心轴，即当截面对称于形心轴，即 时，那时，那么么221hhh2210ttt于是，温度变化引起的于是，温度变化引起的微段轴向变形微段轴向变形studd0四、关于四、关于dq 的计算表达式的计算表达式2121ddd()dtst shttsh假设令上下边缘温差为假设令上下边缘温差为12tttt1t2dsduhh1h21ds1ds2ds2ds0ds0dsdq形心轴形心轴那么温度引起的微段弯曲变形可表达为那么温度

43、引起的微段弯曲变形可表达为hstdd 图面积M00()ddddPPPKytMMNNkQQdsdsdsEIEAGAt sN tsMhM stN sth 对等对等 截截 面面 直直 杆杆0NMtt AAh 图面积N将温度引起的变形代入公式，可得将温度引起的变形代入公式，可得五、静定构造由于温度变化引起的位移计算公式五、静定构造由于温度变化引起的位移计算公式式中的正、负号：式中的正、负号：温度以升高为正，轴力以拉为正；温度以升高为正，轴力以拉为正；假设假设 和和 使杆件的同一边产生拉使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正。伸变形，其乘积为正。 Mt 对梁和刚架：对梁和刚架：对对 桁桁 架：架：0NM

44、tt AAh 0t Nl 几种情况：几种情况：温度引起的轴向温度引起的轴向变形影响不能少。变形影响不能少。例：例： 刚架施工时温度为刚架施工时温度为20 ，试求冬季，试求冬季外侧温度为外侧温度为 -10 ，内侧温度为，内侧温度为 0 时时A点的竖向位移点的竖向位移 。知。知 l=4 m, ,各各杆均为矩形截面杆，高度杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 mC0C0C0Ay 510 实践形状实践形状解：解：构造构造虚拟虚拟形状形状虚拟形状虚拟形状0120021( 1020)(020)25,2220( 30)10tttCtttC 单位荷载内力图为：单位荷载内力图为：M图图N图图022252510()

45、( 25)( 1)21515 1042525 1040.40.005()AyNMtt AAhlllhllhm 虚拟形状虚拟形状六、静定构造由于制造误差引起的位移计算六、静定构造由于制造误差引起的位移计算 对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为0tNl当桁架的杆件长度因制造误差而与设计长度不符时，当桁架的杆件长度因制造误差而与设计长度不符时，由此引起的位移计算与温度变化时相类似。设各杆长由此引起的位移计算与温度变化时相类似。设各杆长度的误差为度的误差为Dl伸长为正，缩短为负，那么位移计伸长为正，缩短为负，那么位移计算公式为算公式为 N l21CC【例】如

46、下图构造杆【例】如下图构造杆DE由于制造误差过长由于制造误差过长Dl=2cm，试求铰，试求铰C左右两侧截面左右两侧截面C1、C2的相对转角的相对转角 。 解：解： 1210.02m0.012mC CDENl( )ABCDEFGABCDEFG21CCC1 C2D1E1F1G12m2m2m2m2m1112mDEN7 静定构造支座挪动时的位移计算静定构造支座挪动时的位移计算 1c2c3cKKKC实践位移形状实践位移形状虚拟力形状虚拟力形状1K1RF2RF3RF 静定构造当支座发生位移时，并不产生内力，也不产生静定构造当支座发生位移时，并不产生内力，也不产生微段变形，而只发生刚体位移。这时，平面杆系构

47、造位移微段变形，而只发生刚体位移。这时，平面杆系构造位移计算的普通公式计算的普通公式kkR c 式中，式中， 为虚拟形状中由单位荷载引起的与支座位移相为虚拟形状中由单位荷载引起的与支座位移相应的支座反力，应的支座反力，c为实践形状中与相应的知的支座位移。为实践形状中与相应的知的支座位移。为反力虚功总和，当与为反力虚功总和，当与c方向一致时，其乘积取正；相反方向一致时，其乘积取正；相反时，取负。须留意，式中时，取负。须留意，式中S前面的负号，系原来推导公式前面的负号，系原来推导公式时所得，不可漏掉。时所得，不可漏掉。 R()kkMNQdsR c 可简化为可简化为例例1：求：求?CxCBAFP=1

48、1AxF1CyF1AyF虚拟力形状虚拟力形状解：构造虚设力形状解：构造虚设力形状1c2c3c实践位移形状实践位移形状CBAll)()111 (321321CCCCCCCx解：构造虚设力形状解：构造虚设力形状11() 0.0075 rad2Ak kByBxRclh ( )RAyRAx例例 2：知：知 l=12 m , h=8 m , m 04. 0Bx m 06. 0By ?A , 求求温度温度支座支座()kkMNQdsR c 多要素下的位移计算普通公式多要素下的位移计算普通公式0ddd PPPk kNMPCtNNkQQMMsssEAGAEItR ct AAh 例例 3：知：知Fp作用于作用于B

49、C中点，原室温中点，原室温0，后内侧增温。，后内侧增温。求求?Cx 1c2c3c实践位移形状实践位移形状CBAllFP=1C010解：构造虚设力形状解：构造虚设力形状03P123()10(1)16PCxkkNMMMtdsR ct AAEIhF llCCClEIh CBA1AxF1CyF1AyF虚拟力形状虚拟力形状FP=1同时思索荷载、温度和支座位移的影响同时思索荷载、温度和支座位移的影响刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合约束条刚体体系处于平衡的必要和充分条件是，对于符合约束条件的恣意微小虚位移，刚体体系上一切外力所做的虚功总件的恣意微小虚位移，刚体体系上一切外力所做的虚功总和等于零和

50、等于零 。 8 变形体的虚功原理变形体的虚功原理 关于变形体虚功原理的表述关于变形体虚功原理的表述变形体系处于平衡的必要及充分条件是，对于符合约束条变形体系处于平衡的必要及充分条件是，对于符合约束条件的恣意微小虚位移，变形体系上一切外力在虚位移上所件的恣意微小虚位移，变形体系上一切外力在虚位移上所做虚功总和等于各微段上内力在其变形虚位移上所做虚功做虚功总和等于各微段上内力在其变形虚位移上所做虚功总和。或者简单地说，外力虚功等于变形虚功数量上等总和。或者简单地说，外力虚功等于变形虚功数量上等于虚变形能。于虚变形能。WW外变微段总的虚功微段总的虚功 dW总总=dW刚刚+dW变变FPFR1FR2FR

51、3Mqdsdsdsdsdsdsds0000dddqMFNFQM+dMFN+dFNFQ+dFQAABCDA1B1C1D1C2D2力形状力形状位移形状位移形状对微段的虚位移那么区分为刚体虚位移和变形虚位移两对微段的虚位移那么区分为刚体虚位移和变形虚位移两类类 变形体虚功原理的的证明变形体虚功原理的的证明dW总总=dW刚刚+dW变变由刚体虚功原理，可知由刚体虚功原理，可知 dW刚刚=0于是，微段上总的虚功于是，微段上总的虚功 dW总总=dW变变 对于全构造，有对于全构造，有 变总WWdd因此，有因此，有 W总总=W变变 (b)由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量由于微段上弯矩、轴力和剪力的增量dM、dF

52、N和和dFQ以及分布荷载以及分布荷载q在这些变形上所做虚功为高阶微量而可在这些变形上所做虚功为高阶微量而可略去，因此微段上各力在其变形上所做的虚功为略去，因此微段上各力在其变形上所做的虚功为 dWMdNdQdPdddF MNQ平衡力系平衡力系位移形状位移形状对于全构造，有对于全构造，有 关于原理的阐明关于原理的阐明1虚功方程既可以用来替代平衡方程，也可以用来替代几何虚功方程既可以用来替代平衡方程，也可以用来替代几何方程即协调方程。方程即协调方程。 2虚功方程是个虚功方程是个“两用方程，详细运用时可有两种方式。两用方程，详细运用时可有两种方式。鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，假设力系是给定

53、的，鉴于力系与变形彼此是独立无关的，因此，假设力系是给定的，那么可虚设位移，称为变形体系的虚位移方程，它代表力系的那么可虚设位移，称为变形体系的虚位移方程，它代表力系的平衡方程，常可用于求力系中的某未知力；假设位移是实有的，平衡方程，常可用于求力系中的某未知力；假设位移是实有的，那么可虚设力系，称为变形体系的虚力方程，它代表几何协调那么可虚设力系，称为变形体系的虚力方程，它代表几何协调方程，常可用于务虚际位移形状中某个未知位移。本章即主要方程，常可用于务虚际位移形状中某个未知位移。本章即主要引见虚力方程及其运用。引见虚力方程及其运用。 3在推证时，没有涉及到资料性质。因此变形体系的虚功在推证时

54、，没有涉及到资料性质。因此变形体系的虚功方程是一个普遍方程，既适用于弹性问题，也适用于非弹方程是一个普遍方程，既适用于弹性问题，也适用于非弹性问题。性问题。 4变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系。由于刚体体变形体系的虚功原理同样适用于刚体体系。由于刚体体系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故变形虚系发生虚位移时，各微段不产生任何变形位移，故变形虚功功W变变=0，于是，于是W=0 刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。刚体体系的虚功原理只是变形体系虚功原理的一个特例。 8 8 互等定理互等定理 功的互等定理 位移互等定理 反力互等定理 本节讨论的四个普遍定理本节讨论的四个普遍

55、定理互等定理，是采用小变形和线互等定理，是采用小变形和线弹性的假定，并根据虚功原理导出的。其中，最根本的是虚弹性的假定，并根据虚功原理导出的。其中，最根本的是虚功互等定理亦简称功的互等定理；其它三个定理：位移功互等定理亦简称功的互等定理；其它三个定理：位移互等定理、反力互等定理、反力与位移互等定理，那么是运互等定理、反力互等定理、反力与位移互等定理，那么是运用虚功互等定理的三个特例。这些定理在以后有关章节的实用虚功互等定理的三个特例。这些定理在以后有关章节的实际推导和简化计算中，都有重要作用。际推导和简化计算中，都有重要作用。 一、功的互等定理一、功的互等定理(虚功互等定理虚功互等定理)表述表

56、述: 一个弹性构造，第一形状的外力在第二形状的一个弹性构造，第一形状的外力在第二形状的位移上所做的外力虚功位移上所做的外力虚功W12，等于第二形状的外，等于第二形状的外力在第一形状的位移上所做的外力虚功力在第一形状的位移上所做的外力虚功W21。即。即: 1221WW外虚功有两个下标，第一个表示受力形状，第二个表示外虚功有两个下标，第一个表示受力形状，第二个表示位移形状位移形状 。证明证明:设有两组外力设有两组外力FP1和和FP2分别作用于同一线弹性构造上，如分别作用于同一线弹性构造上，如下图，分别称为构造的第一形状和构造的第二形状。下图，分别称为构造的第一形状和构造的第二形状。第一形状的力在第二形状的位移上做虚功，那么根据虚功第一形状的力在第二形状的位移上做虚功，那么根据虚功方程方程W外外=W变，可得变，可得 222P112111dddMNQF MsNsQsEIEAGAa FP1FP2121221211122第一形状第一形状第二形状第二形状位移也有两个下标，第一个表示位移的位置，第二个表示引起位移的力形状位移也有两个下标，第一个表示位移的位置，第二个表示引起位移的力形状第二形状的力在第一形状的位移上做虚功，可得第二形状的力在第一形状的位移上做